高一數(shù)學常考點微專題提分精練(人教A版必修第一冊)微專題25任意角與三角函數(shù)的定義(原卷版+解析)

微專題25任意角與三角函數(shù)的定義【方法技巧與總結】知識點一：三角函數(shù)定義設是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關．我們只需計算點到原點的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號是一個整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個比值，而不是、、與的積．知識點二：三角函數(shù)在各象限的符號三角函數(shù)在各象限的符號：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識點三、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【題型歸納目錄】題型一：任意角弧度與角度題型二：扇形弧長與面積題型三：三角函數(shù)定義【典型例題】題型一：任意角弧度與角度例1．給出下列四個命題：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正確的命題有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．考生你好，本場考試需要2小時，在本場考試中，鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為A． B． C． D．例3．如果角與具有相同的終邊，角與具有相同的終邊，那么與之間的關系是A． B． C．， D．，變式1．已知為第二象限的角，則所在的象限是A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限變式2．已知是第二象限角，則與都不是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角變式3．下列終邊相同的角是A．與， B．與， C．與， D．與，變式4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并在范圍內找出與其終邊相同的角，判斷它是第幾象限角．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．變式5．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在軸的非負半軸上，在范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角．（1）；（2）；（3）．變式6．現(xiàn)在是8點5分，經過2小時15分鐘后，鐘表上的時針和分針轉過的角度分別是多少？變式7．用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（包括邊界，如圖所示）．變式8．如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（不包括邊界）．題型二：扇形弧長與面積例4．2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似．數(shù)學家阿爾卡西的方法是：當正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達式是A． B． C． D．例5．弧長為的扇形的圓心角為，則此扇形所在圓的半徑為，此扇形的面積為．例6．已知扇形的周長為，當它的半徑為和圓心角為弧度時，扇形的面積最大，這個最大面積是．變式9．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個半圓．在扇形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是．變式10．《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧和其所對弦圍成的圖形，若弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦長是，弧田的面積是．變式11．有一扇形其弧長為6，半徑為3，則該扇形面積為9該弧所對弦長為．變式12．有一扇形其弧長為6，半徑為3，則該弧所對弦長為，扇形面積為．變式13．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”（如圖陰影部分所示）是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，（1）當圓心角為，矢為2時，求弧田（如圖陰影部分所示）的面積；（2）已知該扇形圓心角是，半徑為，扇形周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形面積最大？變式14．已知一扇形的圓心角是，所在圓的半徑是．（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？題型三：三角函數(shù)定義例7．點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為A． B． C． D．例8．點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為A． B． C． D．例9．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則A．8 B． C． D．變式15．已知點在第二象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式16．若三角方程與的解集分別為，，則A． B． C． D．變式17．已知角的終邊經過點，且，則A． B． C． D．變式18．已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則可以是A． B． C． D．變式19．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在射線上，則的值為．變式20．已知點在第三象限，則角的終邊在第二象限．變式21．若角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，且，求，，的值．變式22．對于①，②，③，④，⑤與⑥，選擇恰當?shù)年P系式序號填空：（1）角為第一象限角的充要條件是①③⑤；（2）角為第二象限角的充要條件是；（3）角為第三象限角的充要條件是；（4）角為第四象限角的充要條件是．微專題25任意角與三角函數(shù)的定義【方法技巧與總結】知識點一：三角函數(shù)定義設是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關．我們只需計算點到原點的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號是一個整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個比值，而不是、、與的積．知識點二：三角函數(shù)在各象限的符號三角函數(shù)在各象限的符號：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識點三、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【題型歸納目錄】題型一：任意角弧度與角度題型二：扇形弧長與面積題型三：三角函數(shù)定義【典型例題】題型一：任意角弧度與角度例1．給出下列四個命題：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正確的命題有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】解：①是第三象限角，①不正確，②是第三象限角，②正確，③是第四象限角，③正確，④是第一象限角．正確，故選：．例2．考生你好，本場考試需要2小時，在本場考試中，鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為A． B． C． D．【解析】解：鐘表的時針按順時針旋轉，轉過的弧度數(shù)為，故選：．例3．如果角與具有相同的終邊，角與具有相同的終邊，那么與之間的關系是A． B． C．， D．，【解析】解：，整數(shù)故選：．變式1．已知為第二象限的角，則所在的象限是A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限【解析】解：因為為第二象限的角，所以為第一或第三象限的角，所以為第二或第四象限的角，所以為第二或第四象限的角．故選：．變式2．已知是第二象限角，則與都不是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解析】解：是第二象限角，，，，，是第一象限或第三象限角，，是第一象限或第四象限角，與都不是第二象限角．故選：．變式3．下列終邊相同的角是A．與， B．與， C．與， D．與，【解析】解：與都表示奇數(shù)，與，表示終邊相同的角．故選：．變式4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并在范圍內找出與其終邊相同的角，判斷它是第幾象限角．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】解：在平面直角坐標系中：由圖形可知：（4）是第三象限角，在范圍內，是與其終邊相同的角；（2）是第四象限角，在范圍內，是與其終邊相同的角；（3）是第一象限角，在范圍內，是與其終邊相同的角；（4）是第三象限角，在范圍內，是與其終邊相同的角；（5）是第二象限角，在范圍內，是與其終邊相同的角．變式5．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在軸的非負半軸上，在范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角．（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）因為，所以在范圍內，終邊與相同的角是，它是第一象限角；（2）因為，所以在范圍內，終邊與相同的角是，它是第四象限角；（3）因為，所以在范圍內，終邊與相同的角是，它是第三象限角．變式6．現(xiàn)在是8點5分，經過2小時15分鐘后，鐘表上的時針和分針轉過的角度分別是多少？【解析】解：時針每小時轉過了，即，則每分鐘轉過了，而分針每分鐘轉過了，即，故2小時15分鐘后，時針轉過了；分針轉過了，2小時15分鐘后為10點20分．此時如右圖所示，分針指向4，時針則由10轉過了．變式7．用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（包括邊界，如圖所示）．【解析】解：（1）圖（1）陰影部分內的角的集合為，（2）圖（2）陰影部分內的角的集合為，變式8．如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（不包括邊界）．【解析】解：圖1所表示的角的集合：，．圖2終邊落在陰影部分的角的集合．，或．題型二：扇形弧長與面積例4．2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似．數(shù)學家阿爾卡西的方法是：當正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達式是A． B． C． D．【解析】解：內接正邊形的邊長為，故其周長為，外切正邊形的邊長為，故其周長為，兩個周長的算術平均數(shù)為，故．故選：．例5．弧長為的扇形的圓心角為，則此扇形所在圓的半徑為12，此扇形的面積為．【解析】解：設圓的半徑為，扇形面積為，由弧長，扇形的圓心角為，得，則；．故答案為：12；．例6．已知扇形的周長為，當它的半徑為和圓心角為弧度時，扇形的面積最大，這個最大面積是．【解析】解：扇形的周長為，，即，當半徑時，扇形的面積最大為，此時，，故答案為：，2，變式9．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個半圓．在扇形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是．【解析】解：如圖所示：，設的中點為，兩半圓交于點，連接，則，設扇形的半徑為，，，，，兩個圓的弧圍成的陰影部分的面積為，圖中陰影部分的面積為，此點取自陰影部分的概率是．故答案為：．變式10．《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧和其所對弦圍成的圖形，若弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦長是，弧田的面積是．【解析】解：如圖，弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為6，，可得，，，弧田的面積．故答案為：，．變式11．有一扇形其弧長為6，半徑為3，則該扇形面積為9該弧所對弦長為．【解析】解：扇形其弧長為6，半徑為3，扇形所對的圓心角，扇形面積．由余弦定理可得該弧所對弦長為：．故答案為：9，．變式12．有一扇形其弧長為6，半徑為3，則該弧所對弦長為，扇形面積為．【解析】解：扇形其弧長為6，半徑為3，扇形所對的圓心角，由余弦定理可得該弧所對弦長為：．扇形面積．故答案為：，9．變式13．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”（如圖陰影部分所示）是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，（1）當圓心角為，矢為2時，求弧田（如圖陰影部分所示）的面積；（2）已知該扇形圓心角是，半徑為，扇形周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形面積最大？【解析】解：（1）由題意，如下圖所示，，令圓弧的半徑為，為，，即，解得，弧田面積，，．（2）由題意知弧長為，即該扇形周長，扇形面積，，當且僅當，即時，等號成立，故為2弧度時，該扇形面積最大．變式14．已知一扇形的圓心角是，所在圓的半徑是．（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？【解析】解：（1）設弧長為，弓形面積為，，，．．（2）扇形周長，，．當且僅當，即時，扇形面積最大．題型三：三角函數(shù)定義例7．點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為A． B． C． D．【解析】解：點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，所以，所以，，所以．故選：．例8．點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為A． B． C． D．【解析】解：點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，所以，所以，，所以．故選：．例9．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則A．8 B． C． D．【解析】解：角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點，，，，，故選：．變式15．已知點在第二象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：已知點在第二象限，，，則角的終邊在第三象限，故選：．變式16．若三角方程與的解集分別為，，則A． B． C． D．【解析】解：由題意，，由，得出，．故，，，可以得出，反之不成立，故是的真子集，符