高考數學一輪復習知識點講解+真題測試專題11.3《計數原理》真題+模擬試卷(原卷版+解析)

專題11.3《計數原理》真題+模擬試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．(2023·北京·高三開學考試）在的展開式中，x的系數為（

）A．1 B．3 C．6 D．92．（2023·江西·金溪一中高二階段練習（理））將五輛車停在5個車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車方案有（

）A．24種 B．78種 C．96種 D．120種3．(2023·全國·高二課時練習）從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中偶數的個數為（

）A．24 B．18 C．12 D．64．(2023·陜西·延安市第一中學高二階段練習（理））若，則的值是（）A． B．127 C．128 D．1295．(2023·全國·高考真題（理））展開式中的系數為()A． B．C． D．6．(2023·黑龍江·佳木斯一中三模（理））佳木斯市第一中學校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進行志愿服務.由于中門學生出入量較大，要求中門志愿者人數不少于另兩個門志愿者人數，若每個樓門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數為（

）A．240 B．180 C．690 D．1507．（2023·全國·高三專題練習）的展開式中項的系數為（）A． B． C．80 D．2008．（2023·江西·金溪一中高二階段練習（理））將二項式的展開式中所有項重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．(2023·山東泰安·高二期末）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．10．(2023·吉林·長春吉大附中實驗學校高二期末）現(xiàn)有5名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組（

）A．若報名沒有任何限制，則共有種不同的安排方法B．若報名沒有任何限制，則共有種不同的安排方法C．若每個小組至少要有1人參加，則共有540種不同的安排方法D．若每個小組至少要有1人參加，則共有150種不同的安排方法11．(2023·全國·高二課時練習）對于的展開式，下列說法正確的是（

）A．所有項的二項式系數和為64 B．所有項的系數和為64C．常數項為1215 D．系數最大的項為第3項12．(2023·吉林·高二期末）甲、乙、丙、丁、戊五個人并排站在一起拍照，下列說法錯誤的是（

）A．若甲站正中間，則共有24種排法B．若甲、乙相鄰，則共有36種排法C．若甲不站兩端，則共有48種排法D．若甲、乙、丙各不相鄰，則共有12種排法第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．(2023·天津·高考真題）的展開式中的常數項為______.14．(2023·江蘇·睢寧縣菁華高級中學有限公司高三階段練習）為豐富學生的校園生活，拓寬學生的視野，某學校為學生安排了豐富多彩的選修課，每學期每名同學可任選2門進行學習.甲同學計劃從，，，，，，這7門選修課中任選2門，其中至少從課程，，中選一門，則甲同學的選擇方法有______種.15．(2023·云南師大附中高三階段練習）各數位數字之和等于8(數字可以重復)的四位數個數為_____．16．(2023·全國·高二專題練習）已知在的展開式中，第6項為常數項，則含項的系數為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．(2023·全國·高二課時練習）全運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加、、三個項目的志愿者工作．因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加1個項目，若甲不能參加、項目，乙不能參加、項目，那么共有多少種不同的選拔志愿者的方案？18．(2023·全國·高二課時練習）由2、3、5、7組成無重復數字的四位數，求：(1)這些數的數字和；(2)這些數的和．19．（2023·上海市奉賢中學高二階段練習）用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？(1)偶數：(2)左起第二?四位是奇數的偶數；(3)比21034大的偶數.20．(2023·全國·高二課時練習）已知在的展開式中，第4項是常數項.(1)求第6項的二項式系數；(2)若，求的值.21．(2023·全國·高二課時練習）現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？22．(2023·全國·高二課時練習）在二項式展開式中，第3項和第4項的系數比為．(1)求n的值及展開式中的常數項；(2)求展開式中系數最大的項是第幾項．專題11.3《計數原理》真題+模擬試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．(2023·北京·高三開學考試）在的展開式中，x的系數為（

）A．1 B．3 C．6 D．9答案：B分析：根據二項式展開式的特征即可求解.【詳解】的展開式中，含x的項為，故x的系數為3，故選：B2．（2023·江西·金溪一中高二階段練習（理））將五輛車停在5個車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車方案有（

）A．24種 B．78種 C．96種 D．120種答案：C分析：根據分步計數原理，先讓車選車位，再讓剩余車輛選車位，即可得出結論.【詳解】第一步：先讓車選車位，有種；第二步：讓剩余四輛車選車位，有種，所以共有：種.故選：C.3．(2023·全國·高二課時練習）從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中偶數的個數為（

）A．24 B．18 C．12 D．6答案：C分析：由分步乘法計數原理結合排列直接求解即可.【詳解】根據題意，要使組成無重復數字的三位數為偶數，則從0，2中選一個數字為個位數，有2種可能，從1，3，5中選兩個數字為十位數和百位數，有種可能，故這個無重復數字的三位數為偶數的個數為．故選：C．4．(2023·陜西·延安市第一中學高二階段練習（理））若，則的值是（）A． B．127 C．128 D．129答案：D分析：利用賦值法計算可得.【詳解】解：因為，令，可得，令，可得，所以；故選：D5．(2023·全國·高考真題（理））展開式中的系數為()A． B．C． D．答案：C分析：化簡已知代數式，利用二項式展開式的通項公式可以求出展開式中的系數．【詳解】因為，則展開式中含的項為；展開式中含的項為，故的系數為，故選：C．6．(2023·黑龍江·佳木斯一中三模（理））佳木斯市第一中學校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進行志愿服務.由于中門學生出入量較大，要求中門志愿者人數不少于另兩個門志愿者人數，若每個樓門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數為（

）A．240 B．180 C．690 D．150答案：A分析：根據中門志愿者的人數，分情況討論，再按照分組分配問題，即可求解.【詳解】第一種情況，當中門的志愿者有3人時，其他兩個門有1個門1人，1個門2人，有種，第二種情況，當中門有2人時，其他兩個門也分別是2人，種，第三種情況，當中門有4人時，其他兩個們分別1人，有種，所以不同的分配方法種數是.故選：A7．（2023·全國·高三專題練習）的展開式中項的系數為（）A． B． C．80 D．200答案：B分析：先利用二項式定理求出的展開式通項，再利用多項式相乘進行求解.【詳解】的展開式的通項為，因為，在中，令，得，在中，令，得，所以展開式中項的系數為.故選：B.8．（2023·江西·金溪一中高二階段練習（理））將二項式的展開式中所有項重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數為（

）A． B． C． D．答案：C分析：先利用二項式定理判斷其展開式中有理式的項數，再利用插空法進行排列即可.【詳解】根據題意，得，因為且，當時，，即為有理式；當時，，即為有理式；當時，，即為有理式；當時，，即為無理式；所以展開式一共有9個項，有3個有理式，6個無理式，先對6個無理式進行排列，共有種方法；再將3個有理式利用“插空法”插入這6個無理式中，共有種方法；利用分步乘法計數原理可得，一共有種方法.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．(2023·山東泰安·高二期末）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．答案：ABD分析：由通項公式可判斷B，由特值法可判斷ACD【詳解】令得，，故A正確；因為的通項為，所以，故B正確；令，則，又，所以，故C錯誤；令，則，故D正確；故選：ABD10．(2023·吉林·長春吉大附中實驗學校高二期末）現(xiàn)有5名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組（

）A．若報名沒有任何限制，則共有種不同的安排方法B．若報名沒有任何限制，則共有種不同的安排方法C．若每個小組至少要有1人參加，則共有540種不同的安排方法D．若每個小組至少要有1人參加，則共有150種不同的安排方法答案：BD分析：利用分步計數原理及排列組合分析即得.【詳解】5名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組，若報名沒有任何限制，則每人都有3種選擇，故共有種不同的安排方法，故B正確，A錯誤；若每個小組至少要有1人參加，則先分組后排列，先將5名同學分為三組有種方法，再將分好的三組分到3個不同的課后服務小組有種情況，所以每個小組至少要有1人參加，則共有種不同的安排方法，故C錯誤，D正確.故選：BD.11．(2023·全國·高二課時練習）對于的展開式，下列說法正確的是（

）A．所有項的二項式系數和為64 B．所有項的系數和為64C．常數項為1215 D．系數最大的項為第3項答案：ABC分析：根據二項系數和為判斷A；利用賦值法求得各項系數和，判斷B；利用二項式展開式的通項公式可求得常數項，判斷C;利用二項式展開式的通項公式可判斷第2，4，6項系數為負值，求得第1，3，5,7項系數，即可判斷D.【詳解】的展開式中所有項的二項式系數和為，A正確；中，令x＝1，得，B正確；展開式的通項為，令12－3k=0，得k=4，所以常數項為，C正確；由C的分析可知第2，4，6項系數為負值，第1項系數為1，第3項系數為，第5項系數為，第7項系數為，則系數最大的項為第5項，D不正確．故選：ABC．12．(2023·吉林·高二期末）甲、乙、丙、丁、戊五個人并排站在一起拍照，下列說法錯誤的是（

）A．若甲站正中間，則共有24種排法B．若甲、乙相鄰，則共有36種排法C．若甲不站兩端，則共有48種排法D．若甲、乙、丙各不相鄰，則共有12種排法答案：BC分析：對于A，采用特殊元素優(yōu)先法；對于B，采用捆綁法；對于C，采用特殊元素優(yōu)先法；對于D，采用插空法.【詳解】若甲站在最中間，有種排法，A正確；若甲、乙兩人相鄰站在一起，共有種排法，B錯誤；若甲不站最邊上，則共有種排法，C錯誤；若甲、乙、丙各不相鄰，則共有種排法，D正確．故選：BC.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．(2023·天津·高考真題）的展開式中的常數項為______.答案：分析：由題意結合二項式定理可得的展開式的通項為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項為，令即，則，所以的展開式中的常數項為.故答案為：.14．(2023·江蘇·睢寧縣菁華高級中學有限公司高三階段練習）為豐富學生的校園生活，拓寬學生的視野，某學校為學生安排了豐富多彩的選修課，每學期每名同學可任選2門進行學習.甲同學計劃從，，，，，，這7門選修課中任選2門，其中至少從課程，，中選一門，則甲同學的選擇方法有______種.答案：分析：根據題意，分2種情況討論：①、當甲從，，中選1門時，另一門需要在、、、中選出，②、甲從，，中選2門，由加法原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，分2種情況討論：①、當甲從，，中選1門時，另一門需要在、、、中選出，有種選法，②、當甲從，，中選2門時，有種選法，則甲的選擇方法有種，故答案為：15．15．(2023·云南師大附中高三階段練習）各數位數字之和等于8(數字可以重復)的四位數個數為_____．答案：120分析：四個數位數字分別為，則，應用插空法求四位數個數.【詳解】設對應個位到千位上的數字，則，且，相當于將3個表示0的球與8個表示1的球排成一排，即10個空用3個隔板將其分開，故共種.故答案為：12016．(2023·全國·高二專題練習）已知在的展開式中，第6項為常數項，則含項的系數為______．答案：405分析：利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】解：通項公式為．因為第6項為常數項，所以時，有，解得．即．令，解得．所以含項的系數為．故答案為：405．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．(2023·全國·高二課時練習）全運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加、、三個項目的志愿者工作．因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加1個項目，若甲不能參加、項目，乙不能參加、項目，那么共有多少種不同的選拔志愿者的方案？答案：52分析：根據甲乙參加與否，分類計數，可分四種情況討論，分別計算選拔方法數量，最后匯總即可【詳解】根據題意，分4種情況討論：①甲乙都不參加志愿活動，在剩下的4人中任選3人參加即可，有種選拔方法；②甲參加但乙不參加志愿活動，甲只能參加C項目，在剩下的4人中任選2人參加A、B項目，有種選拔方法；③乙參加但甲不參加志愿活動，乙只能參加A項目，在剩下的4人中任選2人參加B、C項目，有種選拔方法；④甲乙都參加志愿活動，在剩下的4人中任選1人參加B項目，有種選拔方法.綜上，則有.∴共有52種不同的選拔志愿者的方案18．(2023·全國·高二課時練習）由2、3、5、7組成無重復數字的四位數，求：(1)這些數的數字和；(2)這些數的和．答案：(1)408(2)113322分析：（1）根據分步乘法原理計算所有的四位數，進而可得這24個數的數字之和，（2）確定24個數中，每個數位上2，3，5，7出現(xiàn)的次數，進而可求這些數的和,（1）共可組成4×3×2×1＝24個四位數，這24個四位數的數字和為．（2）這24個四位數中，數字2在千位的有3×2×1＝6個，同樣，3、5、7在千位的各有6個．同理，2、3、5、7在百位、十位、個位各出現(xiàn)6次．所以所有數之和為19．（2023·上海市奉賢中學高二階段練習）用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？(1)偶數：(2)左起第二?四位是奇數的偶數；(3)比21034大的偶數.答案：(1)個(2)個(3)個分析：（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算.（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算.（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算.（1）末位是0，有個，末位是2或4，有個，故滿足條件的五位數共有個.（2）法一：可分兩類，0是末位數，有個，2或4是末位數，則個.故共在個.法二：四位從奇數1，3中取，有；首位從2，4中取，有個：余下的排在剩下的兩位，有個；故共有個.（3）法一：可分五類，當末位數是0，而首位數是2時，有個；當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有個；當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有個；當末位數字是4，而首位數字是2時，有個；當末位數字是4，而首位數字是3吋，有個.故有個.法二：不大于21034的偶數可分為三類：萬位數字為1的偶數，有個；萬位數字為2，而千位數字是0的偶數，有個：還有21034本身.而由組成的五位偶數有個.故滿足條件的五位偶數共有個.20．(2023·全國·高二課時練習）已知在的展開式中，第4項是常數項.(1)求第6項的二項式系數；(2)若，求的值.答案：(1)126；(2)3.分析：（1）根據給定的二項式，求出其展開式的通項，再求出冪指數n即可計算作答.（2）利用（1）中n值，結合組合數性質計算作答.（1）二項式展開式的通項為，依題意，當時，，解得，所以二項式的第6項的二項式系數為.（2）由（1）知，，則化為，顯然無整數解，由組合數的性質得：，解得，經驗證符合題意，所以.21．(2023·全國·高二課時練習）現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？答案：(1)5040