2024年高中數(shù)學(xué)專題6-3重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講排列與組合學(xué)生版新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

專題6.3排列與組合1．排列(1)排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素，并依據(jù)確定的依次排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是取出元素；二是依據(jù)確定的依次排列.

②兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列依次也相同.

③定義中“確定的依次”就是說(shuō)排列與位置有關(guān)，在實(shí)際問(wèn)題中，要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件進(jìn)行推斷，這一點(diǎn)要特別留意.

(3)排列的推斷

推斷一個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題的關(guān)鍵：推斷是否與依次有關(guān)，與依次有關(guān)且是從n個(gè)不同的元素中任取m(mn，n,m∈)個(gè)元素的問(wèn)題就是排列問(wèn)題，否則就不是排列問(wèn)題.而檢驗(yàn)一個(gè)問(wèn)題是否與依次有關(guān)的依據(jù)就是變換不同元素的位置，看其結(jié)果是否有變更，若有變更就與依次有關(guān)，就是排列問(wèn)題；若沒(méi)有變更，就與依次無(wú)關(guān)，就不是排列問(wèn)題.2．排列數(shù)(1)排列數(shù)定義

從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素的全部不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

(2)排列數(shù)公式

=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.(3)排列數(shù)公式的理解

①排列數(shù)公式推導(dǎo)的思路：第1步，排第1個(gè)位置的元素，有n種排法；第2步，排第2個(gè)位置的元素，有(n-1)種排法；第3步，排第3個(gè)位置的元素，有(n-2)種排法；；第m步，排第m個(gè)位置的元素，有(n-m+1)種排法.因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)種不同的排法.

②排列數(shù)公式的特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最終一個(gè)因數(shù)是n-m+1，共有m個(gè)因數(shù).3．全排列和階乘(1)全排列

特別地，我們把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，這時(shí)公式中m=n，即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.

(2)階乘

正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)可以寫成=n!，規(guī)定0!=1.

(3)排列數(shù)公式的階乘表示

==.4．組合(1)組合的定義

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

(2)組合概念的理解

①組合的概念中有兩個(gè)要點(diǎn)：要求n個(gè)元素是不同的；“只取不排”，即取出的m個(gè)元素與依次無(wú)關(guān)，無(wú)序性是組合的特征性質(zhì).

②兩個(gè)組合相同：只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，無(wú)論元素的依次如何，都是相同的組合.

(3)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)分

聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素.

區(qū)分：排列是把取出的元素按依次排成一列，它與元素的依次有關(guān)系，而組合只要把元素取出來(lái)就可以，取出的元素與依次無(wú)關(guān).可總結(jié)為：有序排列，無(wú)序組合.5．組合數(shù)與組合數(shù)公式(1)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素的全部不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

(2)組合數(shù)公式

①連乘表示：

==.

這里，n,m∈，并且mn.

②階乘表示：=.

規(guī)定：=1.6．組合數(shù)的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：=

這特性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性，其實(shí)際意義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素后，剩下(n-m)個(gè)元素，因而從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合，與剩下的(n-m)個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的，因此取法是一樣多的.

利用這特性質(zhì)，當(dāng)m>時(shí)，我們可以不干脆計(jì)算，而是改為計(jì)算，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

(2)性質(zhì)2：=+

這特性質(zhì)可以理解為分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素時(shí)，對(duì)于某一個(gè)特定元素，只存在取與不取兩種狀況，假如取這個(gè)元素，則只需從剩下的n個(gè)元素中再取(m-1)個(gè)元素，有種取法；假如不取這個(gè)元素，則需從剩下的n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，有種取法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：=+.

在應(yīng)用中，要留意這特性質(zhì)的變形、逆用等.

【題型1有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】解有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式的步驟：轉(zhuǎn)化：將有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式轉(zhuǎn)化為一般方程或不等式；求解：求轉(zhuǎn)化后的一般方程或不等式解或解集；檢驗(yàn)：代入原方程或原不等式中檢驗(yàn)，尤其留意條件n,m∈，并且mn對(duì)未知數(shù)取值的限制.【例1】（2024春·重慶永川·高二階段練習(xí)）計(jì)算：(1)A6(2)解方程5A【變式1-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2【變式1-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程：(1)A2(2)3A【變式1-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程或不等式．(1)3(2)A【題型2有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】利用組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）若C28x=（2）求C4【變式2-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求值：C（2）求關(guān)于n的不等式7C【變式2-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知1C5m（2）已知Cnx=Cn【變式2-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）求證：Cn（2）求證：Cn（3）若m、n、r均為正整數(shù)，試證明：Cn【題型3無(wú)限制條件的排列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】求解排列問(wèn)題時(shí)，正確理解題意是最關(guān)鍵的一步，要擅長(zhǎng)把題目中的文字語(yǔ)言翻譯成排列的相關(guān)術(shù)語(yǔ)；正確運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理也是特別重要的；還要留意分類時(shí)不重不漏，分步時(shí)只有依次做完各個(gè)步驟，事情才算完成.【例3】（2024秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）從6名員工中選出3人分別從事教化、培訓(xùn)、管理三項(xiàng)不同的工作，則選派方案共有（

）A．60種 B．80種 C．100種 D．120種【變式3-1】（2024春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，則不同的送書方法的種數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．60【變式3-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)火車站有8股岔道，每股道只能停放1列火車，現(xiàn)需停放4列不同的火車，則不同的停放方法共有（

）A．84種 B．48種 C．C8【變式3-3】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從4名高校生中選三個(gè)人支配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)支配1名高校生，不同的支配方法數(shù)為（

）A．120 B．24 C．48 D．6【題型4有限制條件的排列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】在解有限制條件的排列應(yīng)用題時(shí)，先分析限制條件有哪些，哪些是特別元素，哪些是特別位置，當(dāng)限制條件較多時(shí)，要抓住關(guān)鍵條件(主要沖突)，通過(guò)正確分類、分步，把困難問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題.【例4】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)有7本不同的書，其中語(yǔ)文書2本?英語(yǔ)書2本?數(shù)學(xué)書3本.現(xiàn)在該同學(xué)把這7本書放到書架上排成一排，要求2本語(yǔ)文書相鄰?2本英語(yǔ)書相鄰?3本數(shù)學(xué)書中隨意2本不相鄰，則不同的排法種數(shù)（

）A．12 B．24 C．48 D．720【變式4-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，五個(gè)音分別稱為宮?商?角?徵?羽，假如將這五個(gè)音排成一排，宮?羽兩個(gè)音不相鄰，且位于角音的同側(cè)，則不同的排列依次有（

）A．20種 B．24種 C．32種 D．48種【變式4-2】（2024春·上海浦東新·高二期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（

）A．960種 B．720種 C．480種 D．240種【變式4-3】（2024春·湖南衡陽(yáng)·高二階段練習(xí)）在某場(chǎng)新冠肺炎疫情視頻會(huì)議中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控專家輪番發(fā)言，其中甲必需排在前兩位，丙、丁必需排在一起，則四位專家的不同發(fā)言依次共有（

）A．12種 B．8種 C．6種 D．4種【題型5組合問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】(1)特別元素問(wèn)題：若要選取的元素中有特別元素，則要以有無(wú)特別元素及有多少特別元素作為分類依據(jù).(2)含有“至多”“至少”的問(wèn)題：要分清限制語(yǔ)句中所包含的狀況，可以此作為分類依據(jù)，或接受間接法求解.(3)分類探討思想的應(yīng)用：解題的過(guò)程中要擅長(zhǎng)利用分類探討思想，將困難問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解.【例5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）新課程改革后，一般高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機(jī)選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（

）A．14種 B．15種 C．16種 D．17種【變式5-1】（2024春·黑龍江佳木斯·高二期末）北京2024年冬奧會(huì)祥瑞物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)祥瑞物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完備結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣揚(yáng)2024年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校確定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)祥瑞物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必需安裝不同的祥瑞物，且每個(gè)祥瑞物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【變式5-2】（2024春·河北衡水·高二階段練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是（

）A．20 B．40 C．68 D．96【變式5-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）今年中國(guó)空間站將進(jìn)入到另一個(gè)全新的階段—正式建立階段，首批參加中國(guó)空間站建立的6名航天員，將會(huì)分別搭乘著神舟十四號(hào)和神舟十五號(hào)載人飛船，接連去往中國(guó)空間站，并且在上面“會(huì)師”.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天試驗(yàn)艙和夢(mèng)天試驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要支配甲，乙，丙，丁等6名航天員開(kāi)展試驗(yàn)，其中天和核心艙支配3人，問(wèn)天試驗(yàn)艙支配2人，夢(mèng)天試驗(yàn)艙支配1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做試驗(yàn)，則不同的支配方案共有（）A．44種 B．48種 C．60種 D．50種【題型6排列、組合的綜合問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解決先選后排問(wèn)題,應(yīng)遵循三大原則：(1)先特別后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步.【例6】（2024春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）4月1日，依據(jù)當(dāng)前疫情防控工作須要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發(fā)布通告，要求我市全域內(nèi)除特別人員外，全部人員保持居家，不出小區(qū)（村）等待全員核酸檢測(cè)．為了保障廣袤居民的生活須要，某小區(qū)征集了多名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負(fù)責(zé)一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．300【變式6-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2024年北京冬奧會(huì)共計(jì)有7大項(xiàng)?15個(gè)分項(xiàng)以及109個(gè)小項(xiàng)目，其中北京承辦全部冰上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦全部的雪上項(xiàng)目北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市.現(xiàn)有4名同學(xué)要報(bào)名參加冰雪愛(ài)好小組，要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有1人參加，則不同的報(bào)名方案有（

）A．8 B．14 C．6 D．20【變式6-2】（2024秋·吉林長(zhǎng)春·高二階段練習(xí)）消退貧困、改善民生、逐步實(shí)現(xiàn)共同富有，是社會(huì)主義的本質(zhì)要求，是中國(guó)共產(chǎn)黨的重要使命．某中學(xué)主動(dòng)參加脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，確定派6名老師到A、B、C、D、E五個(gè)貧困山區(qū)支教，每位老師去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少支配一名老師前去支教學(xué)?？紤]到老師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，確定派老師甲到山區(qū)A，同時(shí)考慮到老師乙與丙為同一學(xué)科，確定將老師乙與丙支配到不同山區(qū)，則不同支配方法共有（

）A．120種 B．216種 C．336種