吉林省吉林市第一中學2024屆高三 數(shù)學適應性試卷（二）【含答案】

2024年吉林一中高考數(shù)學適應性試卷（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，底面直徑為，高為30m，則該建筑的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．已知的二項展開式中只有第3項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．24 B．18 C．12 D．64．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，“”是“”（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．為調(diào)查某地區(qū)中學生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為８小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為（

）A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.756．已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最小值為3 D．的最小值為310．已知，且是方程的兩根，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．11．設三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：成立．我們把叫做基底，把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標．已知三棱錐．以為坐標原點，以為軸正方向，以為y軸正方向，以為軸正方向，以同方向上的單位向量為基底，建立斜坐標系，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的重心坐標為C．若，則 D．異面直線AP與BC所成角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為．13．已知點，，若圓上有且只有一點，使得，則實數(shù)的一個取值為.（寫出滿足條件的一個即可）14．在中，點O滿足，且AO所在直線交邊BC于點D，有，，，則的值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個數(shù).16．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，側(cè)面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.(1)求證：BD⊥PA；(2)已知平面PAD與平面PBC的交線為l，在l上是否存在點N，使二面角P-DC-N的余弦值為？若存在，請確定N點位置，若不存在，請說明理由.17．為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.(1)當時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；有二項分布中（即男性員工的人數(shù)）男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數(shù)據(jù)：）18．如圖，已知雙曲線的離心率為2，點在C上，A，B為雙曲線的左、右頂點，為右支上的動點，直線AP和直線x＝1交于點N，直線NB交C的右支于點Q．(1)求C的方程；(2)探究直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點坐標，請說明理由；(3)設S1，S2分別為△ABN和△NPQ的外接圓面積，求的取值范圍．19．數(shù)列中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，…．如果一個數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列滿足，．（ⅰ）求，，；（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值．1．D【分析】分別解二次不等式，對數(shù)不等式化簡集合A，B，后由補集，交集定義可得答案.【詳解】由，得，所以；由，得，解得，所以.所以或，所以.故選：D．2．C【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐的母線長，進而直接根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求解即可.【詳解】如圖，由題底面直徑，高，所以底面半徑r＝OC＝4，母線長．所以圓錐的側(cè)面積為：．故選：C．3．A【分析】首先根據(jù)題意求得，然后結(jié)合二項式定理即可求解.【詳解】已知的二項展開式中只有第3項的二項式系數(shù)最大，則只能，從而的展開式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為.故選：A.4．C【分析】根據(jù)正弦定理和正切函數(shù)的性質(zhì)以及充要條件的判定即可得到答案.【詳解】當，根據(jù)正弦定理得，顯然A，，則，因為A，B為三角形內(nèi)角，則,則充分性成立；當，因為A，B為三角形內(nèi)角，則不會存在的情況，則A，，則，則，根據(jù)正弦定理則，故必要性成立；則“”是“”的充分必要條件.故選：C．5．B【分析】利用抽樣中樣本平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式即可算出．【詳解】該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)為：（小時），該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為：．故選：B．6．A【分析】令，求導可得在上單調(diào)遞減，由已知可得，可得，可得不等式的解集.【詳解】由題意知，當時，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，不等式等價于，即為，所以，解得.故選：A.7．D【分析】利用三角恒等變換整理得，結(jié)合最值可得，解得，，代入即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，則，解得，且為第一象限角，則，故.故選：D.8．D【分析】設中點為，的外心為，的外心為，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，兩條垂線的交點，則點即為三棱錐外接球的球心，求出三棱錐外接球的半徑，假設球心到平面的距離得答案．【詳解】解：設中點為，的外心為，的外心為，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，兩條垂線的交點，則點即為三棱錐外接球的球心，因為和都是邊長為的正三角形，可得，因為平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四邊形是邊長為1的正方形，所以外接球半徑，所以到平面的距離，即點到平面距離的最大值為.故選：D.9．ABD【分析】借助復數(shù)的基本概念與模長運算可得A；借助復數(shù)的幾何意義計算可得B；借助圓與直線的距離可得C、D.【詳解】對A：為純虛數(shù)，可設選項A正確；對B：設，，則，即，則所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，，選項B正確；對C：為純虛數(shù)，對應點在軸上（除去原點），所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，的取值范圍為，無最小值，選項C錯誤；對D：，表示點到以為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，為純虛數(shù)或0，在軸上（除去點），當時取得最小值3，∴選項D正確.故選：ABD．10．AD【分析】由方程解出，利用兩角和與差的正弦余弦正切公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，求解各選項中的算式，驗證選項.【詳解】是方程的兩根，又，解得，，A選項正確；，B選項錯誤；，C選項錯誤；，，則，有，，，D選項正確.故選：AD.11．AB【分析】根據(jù)新定義判斷A，由新定義得出三點坐標，再由重心坐標公式判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積是否等于0判斷C，由向量的夾角公式判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；因為，，所以,所以，即，故B正確；因為，，所以，所以錯誤，故C錯誤；因為，，所以，故面直線AP與BC所成角的余弦值為，故D錯誤.故選：AB12．【分析】根據(jù)題意，設，則，利用復合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上為減函數(shù)，且恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用復合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上為減函數(shù)且恒成立，即，解得，即a的取值范圍為．故答案為：．13．(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心坐標以及半徑，設中點為，由的坐標分析的坐標以及的值，可得以為直徑的圓，進而分析，原問題可以轉(zhuǎn)化為圓與圓相切，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題知，圓，即，圓心為，半徑，設中點為，因，，則，，以為直徑的圓為，因為圓上有且只有一點，使得，則圓與圓相切，又，即有或，解得或.故答案為：14．2【分析】由題干條件得到點為的內(nèi)心，再由切線長定理和向量數(shù)量積公式變形得到答案.【詳解】，變形為，即，其中表示方向上的單位向量，表示方向上的單位向量，故在的平分線上，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因為，所以，故，因為，所以，故，故平分，故點為的內(nèi)心，過點作⊥于點，作⊥于點，作⊥于點，則，因為，所以，又，所以，由向量數(shù)量積得，故.故答案為：2【點睛】方法點睛：點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的重心，點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的垂心，點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的外心，點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的內(nèi)心.15．(1)減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：.(2)【分析】（1）求導，利用導函數(shù)的符號可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號和最值，可確定方程零點的個數(shù).【詳解】（1）因為（）.所以：.由，又函數(shù)定義域為，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因為，所以：當時，，方程無解；當，函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個數(shù)為.16．(1)證明見解析(2)存在，N為PM的中點【分析】（1）先證明AD⊥BD，PE⊥BD，即可證明BD⊥平面PAD，從而BD⊥PA；（2）建立坐標系，用向量法求解即可【詳解】（1）取AD的中點E，連接PE，CDAB，，，，，∴∠DBA=45°，，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∴PA=PD，E是AD的中點，∴PE⊥AD∵平面PAD⊥半面ABCD，平面平面ABCD=AD，半面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PE⊥BD又平面PAD，平面PAD，∴BD⊥平面PAD，又平面PAD∴BD⊥PA.（2）延長BC，AD，設BC的延長線和AD的延長線交點為M，連接PM，則平面PAD和平面PBC的交線l為直線PM，以B為原點，以BM?BA?平面ABCD的過點B的垂線為坐標軸建立空間直角坐標系B-xyz，則，，設，則，設平面PCD的法向量為，則，，即令可得，設平面CDN的法向量為，則，，即，令可得，，若二面角P-DC-N的余弦值，則解得：或，令可得，解得，故當時，二面角P-DC-N為銳二面角，當時，二面角P-DC-N為鈍二面角，，即在直線l上存在點N，當N為PM的中點時，二面角P-DC-N的余弦值為.17．(1)分布列見解析，數(shù)學期望為(2)N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布【分析】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數(shù)學期望；（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.【詳解】（1）當時，男性員工有8人，女性員工有12人.服從超幾何分布，，，，，，∴的分布列為0123數(shù)學期望為.（2），，由于，則，即，即，由題意易知，從而，化簡得，又，于是.由于函數(shù)在處有極小值，從而當時單調(diào)遞增，又，.因此當時，符合題意，而又考慮到和都是整數(shù)，則一定是5的整數(shù)倍，于是.即N至少為145，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.18．(1)(2)直線PQ過定點（4，0），理由見解析(3)【分析】（1）因為離心率，將點代入雙曲線方程得，又，解得a，b，即可得出答案．（2）設，直線PQ的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，結(jié)合韋達定理可得，，寫出直線AP的方程，進而可得N點的坐標，又N，B，Q三點共線，則，解得，即可得出答案．（3）設△ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為R1，R2，由正弦定理可得，又，可得，設直線PQ的方程為，與雙曲線C的方程，可得，，由韋達定理得m的范圍，結(jié)合弦長公式及函數(shù)性質(zhì)進而可得答案．【詳解】（1）因為離心率，所以雙曲線的方程為，將點代入雙曲線方程得，所以，所以雙曲線C的方程為．（2）直線PQ過定點，理由如下：設，直線PQ的方程為，聯(lián)立，整理得，則，直線，所以，又N，B，Q三點共線，所以，即，即，即．因為，所以，代入上式得，所以．所以PQ過定點.（3）設△ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為由正弦定理可得，又，所以，即．設直線PQ的方程為x＝my+4，與C的方程聯(lián)立，整理得，則，又，即，解得，又因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用代換整理得直線過定點解決第2問.19．(1)（?。?，，；（ⅱ）證明見解析(2)當時，為整數(shù).【分析】（1）（ⅰ）根據(jù)的定義，結(jié)合通項公式求解即可；（ⅱ）根據(jù)遞推公式構(gòu)造即可證明；（2）由題意的二階等差數(shù)列為等比數(shù)列，設公比為，可得，結(jié)合進而可得，從而分析為整數(shù)當且僅當為整數(shù)，再根據(jù)二項展開式，結(jié)合整除的性質(zhì)分析即可.【詳解】（1）（?。┯?，易得，……由一階等差數(shù)列的定義得：，，.（ⅱ）因為，