橢圓軌跡求法

橢圓軌跡求法一.定義法：假設動點軌跡的條件符合某一根本軌跡的定義，可用定義直接探求.例1：兩圓C1：，C2：，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程分析：動圓滿足的條件為：①與圓C1相內切；②與圓C2相外切．依據(jù)兩圓相切的充要條件建立關系式解：設動圓圓心Ｍ〔，〕，半徑為，如下圖，由題意動圓Ｍ內切于圓C1，∴，圓Ｍ外切于圓C2，∴，∴，∴動圓圓心Ｍ的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且，，故所求軌跡方程為：．例2：在周長為定值的△ABC中,|AB|=6,且當頂點C位于定點P時,cosC有最小值為.建立適當?shù)淖鴺讼?求頂點C的軌跡方程.解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系,設|CA|+|CB|=2a(a>3)為定值,所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,所以焦距2c=|AB|=6

因為又,所以,由題意得此時,|PA|=|PB|,P點坐標為P(0,±4).所以C點的軌跡方程為例3.①,A(3,0),B(-3,0),且三邊長|AC|、|AB|、|BC|依次成等差數(shù)列，求頂點C的軌跡方程.②如圖,圓B：(x+1)2+y2=16及點A(1,0),C為圓B上任意一點，求線段AC的垂直平分l與線段CB的交點P的軌跡方程.③一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心的軌跡方程.解①:由題意,故C點的軌跡為以A,B為焦點,長軸長為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為②故P點的軌跡為以A,B為焦點,長軸長為4cm的橢圓.故P點的軌跡方程為③圓A:,圓B:,.設動圓半徑為r,那么由平面幾何得知:故P點的軌跡為A,B為焦點,長軸長為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為例4.設為直角坐標系內軸正方向的單位向量，，且．求點的軌跡的方程；解析：由可得又知，即點到兩定點的距離之和為定值8，又8>4所以的軌跡為以為焦點橢圓，故方程為例5.一束光線從點出發(fā),經(jīng)直線上一點反射后,恰好穿過點．求以、為焦點且過點的橢圓的方程;解析：設點關于直線的對稱點,那么,解得,∴∵,根據(jù)橢圓的定義,得===,∴,,．∴橢圓的方程為．二.待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求。例1.橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，求該橢圓的方程．分析：兩點，橢圓標準方程的形式不確定，我們可以設橢圓方程的一般形式：＝１〔，進行求解，防止討論。解：設所求的橢圓方程為＝１〔．∵橢圓經(jīng)過兩點，∴解得，故所求的橢圓標準方程為．例2.(08年江蘇)三點P(5,2),,求以為焦點且過點橢圓的標準方程.解:設橢圓方程為,由,(1)又點在橢圓上,故(2)由(1)、〔2〕得：.故橢圓方程為例3.中心在原點,焦點在x軸上的橢圓與圓交于兩點,恰是該圓的直徑,是的斜率為,求此橢圓方程.解:設橢圓方程為,.圓的方程可化為,圓心(2,1),直徑||=.那么而在橢圓上,故有相減得:故橢圓方程可化為.的方程為代入橢圓方程得:由得故所求橢圓方程為三.橢圓的另類作法考查軌跡方程1.定長線段的規(guī)那么移動考查軌跡方程.PyP1Mxo例1.如圖,線段的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，，點M是上一點，且PyP1Mxo解：設那么由得得oxoxyABMN例2．從圓上任意一點向軸作垂線段且線段上一點，滿足關系式,求點M的軌跡方程.解：設那么代入,得3.由橢圓的幾何作法考查軌跡方程.例3.如圖，以原點為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx,垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M.求當半徑OA繞點O旋轉時點M的軌跡方程。解:設那么消去得:評析:①第一類即橢圓規(guī)的理論依據(jù).②第二類很好地反映了橢圓經(jīng)過伸縮變換轉化為圓,反之亦然,以此為思路,可轉化橢圓問題為圓的相關問題解決.③第三類也是橢圓的參數(shù)方程的推導方法.4.由動弦的中點軌跡考查橢圓的軌跡方程例4.(06江西)如圖:橢圓右焦點為,過點的一動直線繞點轉動,并且交橢圓于兩點,為線段中點,求點的軌跡方程.解:設.那么相減得:當時,那么得mXyoFp當時,點mXyoFp故所求軌跡方程為5.斜率之積為常數(shù)考查軌跡方程例5.的兩個頂點A、B的坐標分別是(-6,0)、(6,0),邊AC、BC所在直線的斜率之積等于,求頂點C的軌跡方程.解:設那么而四：轉化條件例1：設Q、G分別為的外心和重心,,,?求點的軌跡解析:設,∵,∴又∵Q是外心,且∵

∴,即例2.M〔4，0〕、N〔1，0〕，假設動點P滿足。求動點P的軌跡方程；