2025八年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)15.2.2 第2課時(shí) 分式的混合運(yùn)算1

2025八年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)15.2.2第2課時(shí)分式的混合運(yùn)算1第2課時(shí)分式的混合運(yùn)算1．掌握分式加減乘除法的法則，并會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行分式加減乘除法的計(jì)算．(重點(diǎn))2．能夠運(yùn)用分式加減乘除法則來(lái)解決混合運(yùn)算的實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入提出問(wèn)題：1．說(shuō)出有理數(shù)混合運(yùn)算的順序．2．類(lèi)比有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，同學(xué)們能說(shuō)出分式的混合運(yùn)算順序嗎？今天我們共同探究分式的混合運(yùn)算．二、合作探究探究點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算【類(lèi)型一】分式的化簡(jiǎn)計(jì)算：(1)(eq\f(3a,a－3)－eq\f(a,a＋3))·eq\f(a2－9,a)；(2)(x＋eq\f(x,x2－1))÷(2＋eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1))．解析：(1)原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果；(2)原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．解：(1)原式＝eq\f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）)·eq\f(（a＋3）（a－3）,a)＝2a＋12；(2)原式＝eq\f(x3,（x＋1）（x－1）)÷eq\f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(x3,（x＋1）（x－1）)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x2)＝eq\f(x,2).方法總結(jié)：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．【類(lèi)型二】分式的化簡(jiǎn)求值先化簡(jiǎn)代數(shù)式eq\f(x2－2x＋1,x2－1)÷(1－eq\f(3,x＋1))，再?gòu)模?＜x＜4的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)x代入求值．解析：先計(jì)算括號(hào)里的減法運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，最后從x的取值范圍內(nèi)選取一數(shù)值代入即可．解：原式＝eq\f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)÷(eq\f(x＋1,x＋1)－eq\f(3,x＋1))＝eq\f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)×eq\f(x＋1,x－2)＝eq\f(x－1,x－2)，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝eq\f(1,2).方法總結(jié)：把分式化成最簡(jiǎn)分式是解題的關(guān)鍵，通分、因式分解和約分是基本環(huán)節(jié)，注意選數(shù)時(shí)，要求分母不能為0.【類(lèi)型三】利用公式變形對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)已知a＋eq\f(1,a)＝5，求eq\f(a2,a4＋a2＋1)的值．解析：本題若先求出a的值，再代入求值，顯然現(xiàn)在解不出a的值，如果將eq\f(a2,a4＋a2＋1)的分子、分母顛倒過(guò)來(lái)，即求eq\f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq\f(1,a2)的值，再利用公式變形求值就簡(jiǎn)單多了．解：因?yàn)閍＋eq\f(1,a)＝5，所以(a＋eq\f(1,a))2＝25，即a2＋eq\f(1,a2)＝23，所以eq\f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq\f(1,a2)＝23＋1＝24.所以eq\f(a2,a4＋a2＋1)＝eq\f(1,24).方法總結(jié)：利用x和eq\f(1,x)互為倒數(shù)的關(guān)系，溝通已知條件與所求未知代數(shù)式的關(guān)系，可以使一些分式求值問(wèn)題的思路豁然開(kāi)朗，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔．【類(lèi)型四】分式混合運(yùn)算的應(yīng)用甲、乙兩人同時(shí)在同一個(gè)超市分兩次購(gòu)買(mǎi)同一種水果，甲每次都買(mǎi)了20千克水果，乙每次都用20元去買(mǎi)水果．兩次水果的價(jià)格分別為a元/千克和b元/千克(a、b為正整數(shù)且a≠b)．(1)甲、乙兩人所購(gòu)水果的平均價(jià)格各是多少？(2)誰(shuí)的購(gòu)買(mǎi)方式更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)用總錢(qián)數(shù)除以總質(zhì)量即可表示出各自的平均價(jià)格；(2)利用作差法求出甲平均價(jià)格減去乙平均價(jià)格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均價(jià)格為eq\f(20a＋20b,20＋20)＝eq\f(a＋b,2)；乙的平均價(jià)格為eq\f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b))＝eq\f(2ab,a＋b)；(2)甲的平均價(jià)格－乙的平均價(jià)格為eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2,2（a＋b）)－eq\f(4ab,2（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)，∵a≠b，∴eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)＞0，∴甲的平均價(jià)格＞乙的平均價(jià)格，則乙的購(gòu)買(mǎi)方式更合算．方法總結(jié)：靈活運(yùn)用作差法判斷兩個(gè)式子的大小，要掌握分式的加減混合運(yùn)算．三、板書(shū)設(shè)計(jì)分式的混合運(yùn)算分式混合運(yùn)算的順序：先乘方，再乘除，然后加減，遇到括號(hào)要先算括號(hào)內(nèi)的．在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生的具體情況，適當(dāng)增加例題和習(xí)題，讓學(xué)生熟練掌握分式的運(yùn)算法則并提高運(yùn)算能力．但與整式、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算相比，分式的運(yùn)算步驟多，符號(hào)變化復(fù)雜，所以在增加例題和習(xí)題時(shí)，要注意控制難度，特別是不要在分子、分母的因式分解上增加難度．關(guān)鍵是讓學(xué)生通過(guò)基本的練習(xí)，弄清運(yùn)算依據(jù)，做到步步有據(jù)，降低計(jì)算的錯(cuò)誤率．第2課時(shí)分式的混合運(yùn)算一、教學(xué)目標(biāo)：明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1．重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.2．難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.三、課堂引入1．說(shuō)出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序.2．教師指出分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與分式的混合運(yùn)算的順序相同.五、例題講解例.計(jì)算（1）[分析]這道題先做括號(hào)里的減法，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，把分母的“-”號(hào)提到分式本身的前邊..解：====（2）[分析]這道題先做乘除，再做減法，把分子的“-”號(hào)提到分式本身的前邊.解：====六、隨堂練習(xí)計(jì)算(1)（2）（3）七、課后練習(xí)1．計(jì)算(1)(2)(3)2．計(jì)算，并求出當(dāng)-1的值.八、答案：六、（1）2x（2）（3）3七、1.(1)(2)（3）2.,-課后反思：15．2.3整數(shù)指數(shù)冪1．理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．(重點(diǎn))2．掌握整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．(難點(diǎn))3．會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的正數(shù)．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入同底數(shù)冪的除法公式為am÷an＝am－n，有一個(gè)附加條件：m＞n，即被除數(shù)的指數(shù)大于除數(shù)的指數(shù)．當(dāng)被除數(shù)的指數(shù)不大于除數(shù)的指數(shù)，即m＝n或m＜n時(shí)，情況怎樣呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算下列式子中正確的是()A．3－2＝－6B．3－2＝0.03C．3－2＝－eq\f(1,9)D．3－2＝eq\f(1,9)解析：根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則可知3－2＝eq\f(1,32)＝eq\f(1,9).故選D.方法總結(jié)：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等于對(duì)應(yīng)的正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)．探究點(diǎn)二：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【類(lèi)型一】整數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)計(jì)算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2·(x－2y)3；(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.解析：先進(jìn)行冪的乘方，再進(jìn)行冪的乘除，最后將整數(shù)指數(shù)冪化成正整數(shù)指數(shù)冪．解：(1)原式＝x6y－4＝eq\f(x6,y4)；(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y＝eq\f(y,x4)；(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7＝eq\f(9x10,y7)；(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝eq\f(3,1000).方法總結(jié)：正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)范圍后，計(jì)算的最后結(jié)果?；癁檎麛?shù)指數(shù)冪．【類(lèi)型二】比較數(shù)的大小若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＝cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：∵a＝(－eq\f(2,3))－2＝(－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq\f(3,2))0＝1，∴a＞c＞b，故選B.方法總結(jié)：關(guān)鍵是熟悉運(yùn)算法則，利用計(jì)算結(jié)果比較大?。?dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．【類(lèi)型三】0指數(shù)冪與負(fù)整指數(shù)冪中底數(shù)的取值范圍若(x－3)0－2(3x－6)－2有意義，則x的取值范圍是()A．x＞3B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2D．x＜2解析：根據(jù)題意，若(x－3)0有意義，則x－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意義，則3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故選B.方法總結(jié)：任意非0數(shù)的0指數(shù)冪為1，底數(shù)不能為0.【類(lèi)型四】含整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪與絕對(duì)值的混合運(yùn)算計(jì)算：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2016－π)0－|2－eq\r(3)|.解析：分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．解：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2016－π)0－|2－eq\r(3)|＝－4＋4＋1－2＋eq\r(3)＝eq\r(3)－1.方法總結(jié)：熟練掌握有理數(shù)的乘方、0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及絕對(duì)值的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法【類(lèi)型一】用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪表示科學(xué)記數(shù)法某一種重量為0.000106千克，機(jī)身由碳纖維制成，且只有昆蟲(chóng)大小的機(jī)器人是全球最小的機(jī)器人，0.000106用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A．1.06×10－4B．1.06×10－5C．10.6×10－5D．106×10－6解析：0.000106＝1.06×10－4，故選A.方法總結(jié)：絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10－n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【類(lèi)型二】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù)用小數(shù)表示下列各數(shù)：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.解析：小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)相應(yīng)的位數(shù)即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－1＝0.217.方法總結(jié)：將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)a×10－n“還原”