第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法-高考一輪復習人教A版(適用于新高考新教材)

第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領航備考路徑新課標核心考點2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差數(shù)列模型第14題第15題第17題第17題

第3題第7題第20題第18題2.等比數(shù)列模型第18題第18題

第8題3.等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯模型

第17題

4.數(shù)列求和問題第18題第18題第16題

第17題

第18題優(yōu)化備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對本章考查多為“一大一小”的形式,有時也只考一道解答題.從內(nèi)容上看,小題主要考查等差、等比數(shù)列基本量的運算,等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關系等.解答題主要考查數(shù)列通項公式的求解、等差(等比)數(shù)列的判斷與證明、數(shù)列求和等綜合問題.復習策略:1.熟記公式:要熟練記憶等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、性質(zhì)等,并要注意各個公式應用的條件.2.重視提高運算正確率:本單元中數(shù)學運算素養(yǎng)無處不在,需要加強訓練,如乘公比錯位相減法求和等,要掌握方法,規(guī)避易錯點,不但要會做,還要做對.3.注重歸納規(guī)律:本章知識結(jié)構(gòu)清晰,題型規(guī)律明顯,要通過題目總結(jié)方法,并了然于胸,如什么情況下選擇什么樣的方法求數(shù)列的通項或前n項和,要對癥下藥,事半功倍.4.關注數(shù)學文化背景的數(shù)列試題:數(shù)列非常適宜與數(shù)學文化結(jié)合命題,尤其是中國古代數(shù)學名著中涉及的一些常見數(shù)列題,解決此類問題的關鍵是理解題意,轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列等模型.課標解讀1.掌握數(shù)列的有關概念和表示方法.2.能利用an與Sn的關系以及遞推關系求數(shù)列的通項公式.3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡單的問題.1強基礎固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎固本增分知識梳理1.數(shù)列的有關概念

概念含義數(shù)列按照

排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的

數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,這個式子叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項和并非每一個數(shù)列都有通項公式,數(shù)列有通項公式時也不一定是唯一的

確定的順序

每一個數(shù)微點撥1.從函數(shù)觀點看,數(shù)列{an}可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當自變量按照從小到大的順序依次取值時,所對應的一列函數(shù)值.2.對于一個數(shù)列,如果只知道它的前幾項,而沒有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個數(shù)列的.微思考數(shù)列的通項公式an=3n+5與函數(shù)y=3x+5有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

數(shù)列的通項公式an=3n+5是特殊的函數(shù),其定義域為N*,而函數(shù)y=3x+5的定義域是R,an=3n+5的圖象是離散的點,且排列在y=3x+5的圖象上.2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對應關系圖象法把點(n,an)畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數(shù)列的通項用公式表示遞推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示數(shù)列的方法給出了數(shù)列相鄰兩項或多項之間的關系

數(shù)列的圖象是坐標系中的一些孤立的點

3.an與Sn的關系

誤區(qū)警示1.切記公式an=Sn-Sn-1成立的條件是n≥2,當n=1時,只能用a1=S1求解,根據(jù)Sn求an時一定要注意檢驗a1的值是否適合an=Sn-Sn-1.2.類比an與Sn的關系,若設數(shù)列{an}前n項的積為Tn(Tn≠0),則有S1Sn-Sn-14.數(shù)列的分類

分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列an+1>ann∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項微思考數(shù)列的單調(diào)性與對應函數(shù)的單調(diào)性相同嗎?提示

不同.數(shù)列作為特殊的函數(shù),也具有單調(diào)性,但其單調(diào)性與對應函數(shù)的單調(diào)性又有所不同,由于數(shù)列中項數(shù)n只能取正整數(shù),所以當函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)時,數(shù)列{f(n)}也是單調(diào)數(shù)列,但當數(shù)列{f(n)}是單調(diào)數(shù)列時,函數(shù)f(x)不一定是單調(diào)函數(shù),例如函數(shù)f(x)=(x-)2在[1,+∞)上不單調(diào),但數(shù)列{an}(an=f(n))是遞增數(shù)列.常用結(jié)論

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(

)2.1,1,1,1,…,不能構(gòu)成一個數(shù)列.(

)3.相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.(

)4.如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√××√題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第二冊4.1節(jié)第8頁練習第4題改編)已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=-2n2,則{an}的通項公式是

.

6.(人教A版選擇性必修第二冊4.1節(jié)第8頁練習第2(2)題改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an=+1(n≥2),則a12=

.

an=-4n+2

解析

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2.當n

=1時,a1=S1=-2,適合上式,故數(shù)列{an}的通項公式為an=-4n+2.3

題組三連線高考

B8.(2007·廣東,文13)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2-9n,則其通項公式an=

;若它的第k項滿足5<ak<8,則k=

.

2n-108

解析

當n=1時,a1=1-9=-8,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,經(jīng)檢驗當n=1時,也滿足上式,因而an=2n-10.由5<ak=2k-10<8,得7.5<k<9,k∈N*,所以k=8.2研考點精準突破考點一

由an與Sn的關系求通項公式(多考向探究預測)考向1已知Sn求an例1已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=3n2+2n,則數(shù)列{an}的通項公式an=

.

6n-1

解析

由題知Sn=3n2+2n,則Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).變式探究(變條件)本例中將“Sn=3n2+2n”改為“Sn=3n2+2n+1”,其余不變,則{an}的通項公式an=

.

解析

由題知Sn=3n2+2n+1,則Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)+1=3n2-4n+2(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=6,不符合上式.所以an=[對點訓練1](2024·四川成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,則{an}的通項公式為(

)B解析

當n=1時,有2a1=1·21,所以a1=1.由2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(n-1)·2n-1,n≥2,兩式相減得2nan=n·2n-(n-1)2n-1考向2已知Sn與an的關系式求an例2數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1),則an=(

)A.5×6n

B.5×6n+1C

變式探究(變條件)在本例中,若其他條件不變,將“an+1=5Sn(n≥1)”改為“an+1=5Sn+1(n≥1)”,再求an.解

由已知an+1=5Sn+1(n≥1),得當n≥2時,an=5Sn-1+1,兩式相減得an+1-an=5an,即an+1=6an,因此數(shù)列{an}是首項為1,公比為6的等比數(shù)列,因此其通項公式為an=6n-1.考點二由數(shù)列的遞推關系求通項公式(多考向探究預測)例3(1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),則an等于(

)A.2+ln

n B.2+(n-1)ln

nC.2+nln

n D.1+n+ln

nA解析

因為an+1-an==ln(n+1)-ln

n,所以a2-a1=ln

2-ln

1,a3-a2=ln

3-ln

2,a4-a3=ln

4-ln

3,…,an-an-1=ln

n-ln(n-1)(n≥2).把以上各式分別相加得an-a1=ln

n-ln

1,則an=2+ln

n,n≥2.又a1=2也符合上式,因此an=2+ln

n.(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=

.

考向2累乘法例4(2024·遼寧葫蘆島模擬)在數(shù)列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,則數(shù)列{an}的通項公式為an=

.

2n(n+1)

[對點訓練2](1)數(shù)列{an}的前五項分別是下列各數(shù):1,3,6,10,15,則{an}的一個通項公式為(

)C解析

依題意a2-a1=3-1=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,a5-a4=15-10=5,(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=(n+1)2an-3,則{an}的通項公式為

.

考點三數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究預測)考向1數(shù)列的周期性

A

[對點訓練3]斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領域都有著廣泛的應用.斐波那契數(shù)列{an}可以用如下方法定義:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列{bn},則數(shù)列{bn}的前2022項和為(

)A.2698 B.2697 C.2696 D.2695C解析

∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴數(shù)列{an}為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列{bn}為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,所以數(shù)列{bn}是以6為周期的周期數(shù)列,考向2數(shù)列的單調(diào)性例6(2024·北京