高考數(shù)學微專題集專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點4橢圓與雙曲線共焦點綜合訓練(原卷版+解析)

專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點4橢圓與雙曲線共焦點綜合訓練專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點4橢圓與雙曲線共焦點綜合訓練一、單選題1．已知雙曲線：（，）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（

）A． B．C． D．(2023浙江·高二期中）2．如圖是橢圓與雙曲線的公共焦點分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（

）A． B． C． D．3．已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點，點M是它們的一個公共點，且，分別為，的離心率，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．34．雙曲線與橢圓有兩個公共焦點，，其中在軸左側(cè)且該雙曲線與直線相切，則的值是（

）A． B． C． D．15．設，為橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別為左?右焦點，與在第一象限的交點為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023·浙江·舟山中學高三月考）6．設、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023江蘇·高二單元測試）7．已知橢圓C：與雙曲線：共焦點，過橢圓C上一點P的切線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點為橢圓C的兩個焦點又O為坐標原點，當?shù)拿娣e最小時，下列說法正確的是（

）A．B．C．直線OP的斜率與切線l的斜率之積為定值D．的平分線長為(2023江蘇·泰州中學高二月考）8．已知雙曲線：與橢圓有公共焦點，的左?右焦點分別為，，且經(jīng)過點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的標準方程為B．若直線與雙曲線無交點，則C．設，過點的動直線與雙曲線交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率存在，且分別記為，，則D．若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，則（為坐標原點）的面積為定值1三、填空題(2023·遼寧·建平縣實驗中學高二期末）9．已知橢圓：（）和雙曲線：（，）有共同的焦點，，P是它們在第一象限的交點，當時，與的離心率互為倒數(shù)，則橢圓的離心率是___________.(2023全國·高三月考）10．設橢圓與雙曲線的公共焦點為，將的離心率記為，點A是在第一象限的公共點，若點A關于的一條漸近線的對稱點為，則________．（2023·江蘇·南京市秦淮中學高二期末）11．已知點，為橢圓（）和雙曲線（，）的公共焦點，點P為兩曲線的一個交點，且滿足，設橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則___________．(2023·云南·會澤縣實驗高級中學校高二月考）12．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點?，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.(2023全國·高二單元測試）13．橢圓與雙曲線有相同的左、右焦點分別為，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且兩曲線在第一象限的公共點滿足，則的值為_____．(2023北京交通大學附屬中學高二期末）14．已知、為橢圓和雙曲線的公共焦點，為它們的一個公共點，且，那么橢圓和雙曲線的離心率之積為_____________.15．已知橢圓：()與雙曲線：(，)有相同的焦點，，其中為左焦點，點P為兩曲線在第一象限的交點，，分別為曲線，的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是與的一個公共點，是一個以為底的等腰三角形，，的離心率為，則的離心率是______．17．設是橢圓與雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且，則當這兩條曲線的離心率之積最小時，雙曲線的漸近線的方程是_______(2023·安徽省舒城中學高二月考）18．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，P為橢圓與雙曲線的一個公共點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，且，則的取值范圍為_________．(2023·安徽省臨泉第一中學高二月考）19．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線的第一象限的交點，且，則的取值范圍是___________.(2023江蘇·南京市人民中學高二月考）20．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2－＝1與橢圓C2的公共焦點，點A是C1，C2在第一象限的公共點．若|F1F2|＝|F1A|，則C2的離心率是________．(2023·河南洛陽·模擬預測）21．已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為______．(2023·陜西·交大附中模擬預測）22．如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別是，在第二、四象限的公共點，若，且，則與的離心率之積為_____.(2023·吉林長春·模擬預測）23．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦點，雙曲線C2實軸的兩頂點將橢圓C1的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線C2的離心率為__________．(2023·浙江嘉興·高二期末）24．已知橢圓，雙曲線與橢圓共焦點，且與橢圓在四個象限的交點分別為，則四邊形面積的最大值是___________.(2023·吉林·希望高中高二期末）25．橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.26．已知，分別是具有公共焦點，的橢圓和雙曲線的離心率，點是兩曲線的一個公共點，是的中點，且，則______．四、雙空題(2023重慶市江津中學校高二期中）27．已知橢圓與雙曲線x2－＝1的離心率分別為e1，e2，且有公共的焦點F1，F(xiàn)2，則＝________，若P為兩曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|＝________．28．已知橢圓與雙曲線的公共焦點為左焦點，右焦點，點是兩條曲線在第一象限內(nèi)的一個公共點，則________，的值為________．五、解答題29．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，，且兩曲線的一個公共點P滿足：是直角三角形且，求雙曲線的標準方程．30．已知雙曲線的方程為，橢圓與雙曲線有相同的焦距，，是橢圓的上、下兩個焦點，已知為橢圓上一點，且滿足，若的面積為9.（1）求橢圓的標準方程；（2）點為橢圓的上頂點，點是雙曲線右支上任意一點，點是線段的中點，求點的軌跡方程.(2023·上海市實驗學校模擬預測）31．（1）設橢圓與雙曲線有相同的焦點、，是橢圓與雙曲線的公共點，且△的周長為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；（3）由拋物線?。ǎ┡c第（1）小題橢圓弧（）所合成的封閉曲線為“盾圓”，設過點的直線與“盾圓”交于、兩點，，，且（），試用表示，并求的取值范圍.(2023·福建泉州·高二期中）32．平面直角坐標系中，橢圓C與雙曲線共焦點，點A，B是C上不關于長軸對稱的兩點，且的最大值為8．(1)求C的方程；(2)若A，B到點的距離相等，求m的取值范圍．專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點4橢圓與雙曲線共焦點綜合訓練專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點4橢圓與雙曲線共焦點綜合訓練一、單選題1．已知雙曲線：（，）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（

）A． B．C． D．(2023浙江·高二期中）2．如圖是橢圓與雙曲線的公共焦點分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（

）A． B． C． D．3．已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點，點M是它們的一個公共點，且，分別為，的離心率，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．34．雙曲線與橢圓有兩個公共焦點，，其中在軸左側(cè)且該雙曲線與直線相切，則的值是（

）A． B． C． D．15．設，為橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別為左?右焦點，與在第一象限的交點為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023·浙江·舟山中學高三月考）6．設、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023江蘇·高二單元測試）7．已知橢圓C：與雙曲線：共焦點，過橢圓C上一點P的切線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點為橢圓C的兩個焦點又O為坐標原點，當?shù)拿娣e最小時，下列說法正確的是（

）A．B．C．直線OP的斜率與切線l的斜率之積為定值D．的平分線長為(2023江蘇·泰州中學高二月考）8．已知雙曲線：與橢圓有公共焦點，的左?右焦點分別為，，且經(jīng)過點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的標準方程為B．若直線與雙曲線無交點，則C．設，過點的動直線與雙曲線交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率存在，且分別記為，，則D．若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，則（為坐標原點）的面積為定值1三、填空題(2023·遼寧·建平縣實驗中學高二期末）9．已知橢圓：（）和雙曲線：（，）有共同的焦點，，P是它們在第一象限的交點，當時，與的離心率互為倒數(shù)，則橢圓的離心率是___________.(2023全國·高三月考）10．設橢圓與雙曲線的公共焦點為，將的離心率記為，點A是在第一象限的公共點，若點A關于的一條漸近線的對稱點為，則________．（2023·江蘇·南京市秦淮中學高二期末）11．已知點，為橢圓（）和雙曲線（，）的公共焦點，點P為兩曲線的一個交點，且滿足，設橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則___________．(2023·云南·會澤縣實驗高級中學校高二月考）12．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點?，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.(2023全國·高二單元測試）13．橢圓與雙曲線有相同的左、右焦點分別為，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且兩曲線在第一象限的公共點滿足，則的值為_____．(2023北京交通大學附屬中學高二期末）14．已知、為橢圓和雙曲線的公共焦點，為它們的一個公共點，且，那么橢圓和雙曲線的離心率之積為_____________.15．已知橢圓：()與雙曲線：(，)有相同的焦點，，其中為左焦點，點P為兩曲線在第一象限的交點，，分別為曲線，的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是與的一個公共點，是一個以為底的等腰三角形，，的離心率為，則的離心率是______．17．設是橢圓與雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且，則當這兩條曲線的離心率之積最小時，雙曲線的漸近線的方程是_______(2023·安徽省舒城中學高二月考）18．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，P為橢圓與雙曲線的一個公共點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，且，則的取值范圍為_________．(2023·安徽省臨泉第一中學高二月考）19．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線的第一象限的交點，且，則的取值范圍是___________.(2023江蘇·南京市人民中學高二月考）20．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2－＝1與橢圓C2的公共焦點，點A是C1，C2在第一象限的公共點．若|F1F2|＝|F1A|，則C2的離心率是________．(2023·河南洛陽·模擬預測）21．已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為______．(2023·陜西·交大附中模擬預測）22．如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別是，在第二、四象限的公共點，若，且，則與的離心率之積為_____.(2023·吉林長春·模擬預測）23．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦點，雙曲線C2實軸的兩頂點將橢圓C1的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線C2的離心率為__________．(2023·浙江嘉興·高二期末）24．已知橢圓，雙曲線與橢圓共焦點，且與橢圓在四個象限的交點分別為，則四邊形面積的最大值是___________.(2023·吉林·希望高中高二期末）25．橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.26．已知，分別是具有公共焦點，的橢圓和雙曲線的離心率，點是兩曲線的一個公共點，是的中點，且，則______．四、雙空題(2023重慶市江津中學校高二期中）27．已知橢圓與雙曲線x2－＝1的離心率分別為e1，e2，且有公共的焦點F1，F(xiàn)2，則＝________，若P為兩曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|＝________．28．已知橢圓與雙曲線的公共焦點為左焦點，右焦點，點是兩條曲線在第一象限內(nèi)的一個公共點，則________，的值為________．五、解答題29．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，，且兩曲線的一個公共點P滿足：是直角三角形且，求雙曲線的標準方程．30．已知雙曲線的方程為，橢圓與雙曲線有相同的焦距，，是橢圓的上、下兩個焦點，已知為橢圓上一點，且滿足，若的面積為9.（1）求橢圓的標準方程；（2）點為橢圓的上頂點，點是雙曲線右支上任意一點，點是線段的中點，求點的軌跡方程.(2023·上海市實驗學校模擬預測）31．（1）設橢圓與雙曲線有相同的焦點、，是橢圓與雙曲線的公共點，且△的周長為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；（3）由拋物線?。ǎ┡c第（1）小題橢圓?。ǎ┧铣傻姆忾]曲線為“盾圓”，設過點的直線與“盾圓”交于、兩點，，，且（），試用表示，并求的取值范圍.(2023·福建泉州·高二期中）32．平面直角坐標系中，橢圓C與雙曲線共焦點，點A，B是C上不關于長軸對稱的兩點，且的最大值為8．(1)求C的方程；(2)若A，B到點的距離相等，求m的取值范圍．參考答案：1．B分析：由橢圓方程求得，結(jié)合雙曲線漸近線方程得的值，從而寫出雙曲線的方程.【詳解】由雙曲線：（，）的一條漸近線方程為，可得.橢圓的焦點為，可得.雙曲線中，即，解得，，則雙曲線的方程為.故選：B2．D分析：設，利用橢圓的定義及四邊形為矩形，列出方程組求得的值，結(jié)合雙曲線的定義和離心率的計算公式，即可求解.【詳解】設，由點為橢圓上的點，可得且，即，又由四邊形為矩形，所以，即，聯(lián)立方程組，解得，設雙曲線的實軸長為，焦距為，則，，即，所以雙曲線的離心率為.故選：D.3．A分析：設橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，利用橢圓、雙曲線定義及余弦定理建立關系，再借助均值不等式計算作答.【詳解】設橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，由橢圓、雙曲線對稱性不妨令點M在第一象限，由橢圓、雙曲線定義知：，且，則有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，當且僅當，即時取“=”，從而有，所以的最小值為.故選：A4．D分析：利用公共焦點得到，再運用雙曲線與直線相切得到，兩式聯(lián)解得解.【詳解】因為雙曲線與橢圓有兩個公共焦點，，，，又雙曲線與直線相切，化簡得：，，把代入方程化簡得，，解得(舍負).故選：D.5．C分析：根據(jù)雙曲線和橢圓的定義建立半焦距與長半軸長和實半軸長的關系，再利用雙曲線的離心率范圍可得橢圓離心率范圍．【詳解】設橢圓長軸長為2，雙曲線實軸長為，焦點為，，則，又，所以，即，又，所以橢圓的離心率為．故選：C．6．A分析：設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.7．ABC分析：對于A，B，C利用橢圓，雙曲線的性質(zhì)以及基本不等式和平面向量的基礎知識比較容易判斷，對于D，需要根據(jù)橢圓定義，判斷的特征，利用正弦定理完成求解．【詳解】橢圓C：與雙曲線：共焦點，.，故A正確；這時，是橢圓C：上一點，設，，則，橢圓C上一點P的切線l的方程為，，，

，，當且僅當時，取得最小值．這時，，對于B，，，，故B正確；對于C，直線OP的斜率，切線l的斜率，，故C正確；對于D，不妨設P在第一象限，則，這時，在中，由，知，．設的平分線交于點Q，則，在中，由正弦定理得，．故D錯誤．故選：ABC8．ACD分析：對A，根據(jù)橢圓與雙曲線共焦點及雙曲線過點T建立方程組解出a,b，進而得到答案；對B，結(jié)合雙曲線的漸近線即可判斷B；對C，設出動直線方程并代入雙曲線方程，進而結(jié)合根與系數(shù)的關系求得答案；對D，考慮動直線斜率存在和不存在兩種情況，若斜率存在，設出直線的斜截式，并代入雙曲線方程，根據(jù)判別式為0得到間的關系，然后解出點M的坐標，求出和O到直線的距離，最后求出面積.【詳解】對于A選項，由題意，且，聯(lián)立解得，所以雙曲線的標準方程為，故A正確；對于B選項，因為雙曲線的漸近線方程為，所以直線與雙曲線無交點，則，故B錯誤；對于C選項，過點的動直線斜率存在且不為0，故設該動直線為.設，，聯(lián)立得，所以解得且且，，，則，故C正確；對于選項D，由于動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，當直線的斜率不存在時，：，，；當動直線的斜率存在時，且斜率時，不妨設直線：，故由，從而，化簡得.又因為雙曲線的漸近線方程為，故由從而點.同理可得，，所以，又因為原點到直線：的距離，所以，又由，所以，故的面積為定值1，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題的選項D比較復雜，對于此類問題要注意兩個方面：①設直線方程（斜截式結(jié)構(gòu)簡單）時一定要考慮直線的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面積，那么最直接的方法就是求出三角形的底和高.9．分析：先根據(jù)橢圓定義和雙曲線定義，在中利用余弦定理，再結(jié)合橢圓和雙曲線的離心率關系，可解得橢圓的離心率為【詳解】設，的離心率分別為，，焦距為由，，可得：，由余弦定理，可得：即有：化簡，得，兩邊同除以，可得：又，則有：又，則有：故答案為：10．2分析：由雙曲線以及橢圓的定義可得，由曲線的一條漸近線是線段的中垂線可知，由勾股定理化簡可得，由離心率概念可得結(jié)果.【詳解】由題意可得焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，則由雙曲線的定義可得，由橢圓的定義可得，所以，因為點A關于的一條漸近線的對稱點為，所以雙曲線的一條漸近線是線段的中垂線，所以，所以，所以，即，所以，所以，故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：通過點A關于的一條漸近線的對稱點為，得到.11．2【解析】先結(jié)合橢圓及雙曲線的定義可得，再結(jié)合離心率公式求解即可.【詳解】解：設P為雙曲線右支上的任意一點，點，分別為左、右交點，由橢圓定義有，由雙曲線定義有，則，即，又，則，即，所以，即2，故答案為：2.【點睛】本題考查了橢圓及雙曲線的定義，重點考查了離心率的求法，屬中檔題.12．分析：設，由橢圓、雙曲線的定義可得，，由余弦定理可建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率的關系式，根據(jù)橢圓離心率范圍，計算即可得到雙曲線離心率范圍.【詳解】設橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因為，所以，，可得，故，故答案為：13．2分析：P為雙曲線和橢圓的公共點，既滿足雙曲線定義，也滿足橢圓定義，在焦點三角形中，橢圓的離心率，雙曲線的離心率，再結(jié)合即可解答﹒【詳解】橢圓與雙曲線有相同的左、右焦點分別為，，且兩曲線在第一象限的公共點滿足，可設，橢圓的離心率，雙曲線的離心率，．故答案為：2．14．【解析】本題首先可通過橢圓與雙曲線共焦點得出，然后設，依次代入橢圓與雙曲線方程中，得出以及，即，最后聯(lián)立，求出、以及橢圓與雙曲線的離心率，即可得出結(jié)果.【詳解】因為、為橢圓和雙曲線的公共焦點，所以，因為為它們的一個公共點，且，所以可設，則，，，，，，即，聯(lián)立，解得，，則橢圓，雙曲線，，故，，，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查通過橢圓與雙曲線共焦點求離心率，能否根據(jù)求出是解決本題的關鍵，橢圓中有，雙曲線中有，考查計算能力，是中檔題.15．分析：結(jié)合已知條件，利用橢圓和雙曲線的定義求出，和之間的關系式，然后結(jié)合離心率的定義用和表示出，再利用即可求解.【詳解】由是以為底邊的等腰三角形，即，根據(jù)橢圓的定義可得，根據(jù)雙曲線的定義可得，聯(lián)立方程組，可得，所以，易知，則，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為:.16．3分析：設橢圓的長軸為，雙曲線的實軸為，，由橢圓的離心率結(jié)合題意可得，再由雙曲線的離心率公式即可得解.【詳解】設橢圓的長軸為，雙曲線的實軸為，，由題意橢圓的離心率，又是一個以為底的等腰三角形，，，解得，雙曲線的離心率.故答案為：.【點睛】本題考查了橢圓性質(zhì)、雙曲線性質(zhì)的綜合應用，考查了運算求解能力，屬于中檔題.17．【解析】根據(jù)題意，設焦距為，P為第二象限的點，由已知條件結(jié)合橢圓與雙曲線的定義推出，運用離心率公式和基本不等式求出離心率之積的最小值，及取得最值的條件，可得，進而求得漸近線的方程.【詳解】由橢圓與雙曲線的對稱性，可設P為第二象限的點，如圖所示，根據(jù)題意，橢圓的長軸長為，雙曲線的長軸長為，設焦距為由橢圓定義知，；由雙曲線定義知，聯(lián)立可知：，又，由余弦定理可得：即，化簡得：，即又橢圓的離心率，雙曲線的離心率，則，當且僅當，即時，等號成立，即兩條曲線的離心率之積最小.由，得，又，可知，即故雙曲線的漸近線方程：故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查橢圓和雙曲線的定義與性質(zhì)，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．18．分析：根據(jù)題意得到等量關系，結(jié)合余弦定理得到，，利用求出，進而得到.【詳解】由題意得：，，，，解得：，，由余弦定理得：，解得：，因為，解得：，，因為，即，解得：，故故答案為：19．分析：設，則由橢圓和雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設，則可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其范圍【詳解】解：設，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，設，則，解得所以，當時，最大值為時，的值為2，所以的取值范圍是.故答案為：20．【解析】利用雙曲線與橢圓的定義及其離心率計算公式即可得出．【詳解】由雙曲線可得，，，……①，橢圓中，……②，由①②得，又，，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線與橢圓的定義及其離心率計算公式，屬于基礎題．21．分析：根據(jù)直線與的一條漸近線平行，得到，再結(jié)合雙曲線與橢圓共焦點得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：設的半焦距為c（），則，又，所以，又直線與的一條漸近線平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，當且僅當，即，時等號成立，即的最小值為．故答案為：22．2分析：根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的對稱性可求出，，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義以及離心率公式求出離心率即可求解.【詳解】解：連接，根據(jù)橢圓的對稱性可知：點是的中點，所以，四邊形為平行四邊形，若，所以，因為，所以，所以是等邊三角形，所以，，，所以，四邊形為矩形，所以，在直角三角形中，，所以，，在橢圓中，，可得在雙曲線中，，可得所以離心率之積，故答案為：.23．分析：先利用橢圓和雙曲線的定義得到，，再根據(jù)兩曲線的交點與兩焦點共圓，利用勾股定理求解.【詳解】不妨設焦點，在x軸上，兩者在第一象限的公共點為P，設的實半軸長為a，則的長半軸長為3a，半焦距為c，設，，則，由題意知：P在為直徑的圓上，所以，解得：．故答案為：24．分析：設雙曲線和橢圓在第一象限得交點為，根據(jù)對稱性易得四邊形是矩形且面積為，只需聯(lián)立雙曲線和橢圓，求出交點表達式即可.【詳解】依題意得，雙曲線的焦點是，設雙曲線方程為，且，不妨設在第一象限，根據(jù)對稱性易得四邊形是矩形，且面積為：，聯(lián)立，解得，注意到，化簡得，于是，所以四邊形面積為，又，取等號，則四邊形面積最大值為.故答案為：.25．分析：根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.26．分析：連接，．設，，在中，，得到，設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，焦距為，由求解.【詳解】如圖所示：連接，．設，，∵在中，，∴．記橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，焦距為，則，∴，∴，∴．故答案為：27．

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3【解析】分別求得兩個曲線的，根據(jù)焦點相同，可得m＋n＝3，求得的表達式，代入m＋n＝3即可求得結(jié)果，利用橢圓和雙曲線定義，可求得|PF1|，|PF2|的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意：對于橢圓，對于雙曲線，因為兩曲線有相同的焦點，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，則.不妨設F1，F(xiàn)2分別為兩曲線的左、右焦點，點P為兩曲線在第一象限的交點，則，解得所以|PF1|·|PF2|＝3，故答案為：0，3.28．

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分析：根據(jù)橢圓與雙曲線的定義以及焦點三角形的性質(zhì)直接求解.【詳解】因為，分別為左、右焦點，點在第一象限，由橢圓與雙曲線的定義可得，解得,