高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重點(diǎn)突破(人教A版必修第一冊(cè))19函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的三種?？键c(diǎn)方法總結(jié)(原卷版+解析)

?？碱}型19函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的三種?？键c(diǎn)方法總結(jié)必備知識(shí)必備知識(shí)1.函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn)。2.幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).3.零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)一、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間1.解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)=0易解時(shí)，可先解對(duì)應(yīng)方程，然后看所求的根是否落在給定區(qū)間上。2.定理法：當(dāng)容易判斷區(qū)間端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)時(shí)，利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷。3.圖象法：當(dāng)容易畫(huà)出函數(shù)的圖象時(shí)，畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷。二、判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1.解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)=0可解，通過(guò)解方程，則方程有幾個(gè)解，對(duì)應(yīng)函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)。2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理法：利用該定理時(shí)，不僅要求函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性（以后學(xué)到）、對(duì)稱(chēng)性）。3.數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。三、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍1.直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍。2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題加以解決。3.數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解。題型探究一題型探究一探究一：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)公共定義域內(nèi)判斷函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可求解.【變式練習(xí)】1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．探究二：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱(chēng)是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)思路分析：思路分析：根據(jù)已知可得：，當(dāng)時(shí)利用零點(diǎn)存在定理，可以判定區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而判定，，…，上均至少有一個(gè)零點(diǎn)，得到在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)．可以構(gòu)造“回旋函數(shù)”，使之恰好有1011個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可以得到，此時(shí)在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)．從而排除BC,判定D正確；舉特例函數(shù)，或者構(gòu)造函數(shù)，可以排除A.【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)，（），若關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．與的值有關(guān)2．已知函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．探究三：利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：使用換元的方法并畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后根據(jù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)有5個(gè)進(jìn)而可知，的范圍，然后根據(jù)根的分布進(jìn)行計(jì)算即可.【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)，若它們同時(shí)滿(mǎn)足：①，與中至少有一個(gè)小于0；②，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)（且）有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型突破訓(xùn)練題型突破訓(xùn)練一、單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，則整數(shù)k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-12．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．13．若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱(chēng)點(diǎn)是曲線(xiàn)的“優(yōu)美點(diǎn)”，已知，若曲線(xiàn)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，.若存在，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知a，b，，函數(shù)，，對(duì)任意的，，，兩兩相乘都不小于0，且，則一定有（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則（

）A． B．且C．若，則 D．函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)10．已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為C．若，則的取值范圍是D．若方程有三個(gè)解，則的取值范圍是11．已知定義域?yàn)镽的函數(shù),及關(guān)于x的方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)k>0時(shí)，若方程有且僅有3個(gè)不同解，則1+a+b=0B．當(dāng)k<0時(shí)，若方程有且僅有3個(gè)不同解，則1-a+b=0C．當(dāng)k<0時(shí)，方程最多有4個(gè)不同解，當(dāng)k>0時(shí)，方程最多有5個(gè)不同解D．當(dāng)k>0時(shí)，若方程有且僅有5個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（0，+∞）12．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D．若函數(shù)在上有6個(gè)根，則三、填空題13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)函數(shù)______.14．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，人們把函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)，則滿(mǎn)足方程的所有解之和為_(kāi)_______.15．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．16．設(shè)，若存在使得關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解，則b的取值范圍是______．四、解答題17．已知.(1)若，，求方程的解；(2)若關(guān)于的方程在上有兩解.①求的取值范圍；②證明：.18．已知，為常數(shù)，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；(2)對(duì)于給定的，，且，，證明：關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根；(3)若為偶函數(shù)，且，設(shè)，若對(duì)任意，均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)甲同學(xué)在探究“若恰有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍”這一問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)分類(lèi)討論研究后甲同學(xué)給出了如下解答：由，解得.據(jù)此他得出實(shí)數(shù)的取值范圍為．請(qǐng)你評(píng)判甲同學(xué)的解答完整嗎？如果不夠完整．請(qǐng)你補(bǔ)充甲同學(xué)遺漏的情況，并給出滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍．20．設(shè)函數(shù)，（，）.(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值及相應(yīng)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．22．已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)當(dāng)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的值；(3)若對(duì)于一切，不等式恒成立，求的取值范圍.常考題型19函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的三種?？键c(diǎn)方法總結(jié)必備知識(shí)必備知識(shí)1.函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn)。2.幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).3.零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)一、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間1.解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)=0易解時(shí)，可先解對(duì)應(yīng)方程，然后看所求的根是否落在給定區(qū)間上。2.定理法：當(dāng)容易判斷區(qū)間端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)時(shí)，利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷。3.圖象法：當(dāng)容易畫(huà)出函數(shù)的圖象時(shí)，畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷。二、判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1.解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)=0可解，通過(guò)解方程，則方程有幾個(gè)解，對(duì)應(yīng)函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)。2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理法：利用該定理時(shí)，不僅要求函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性（以后學(xué)到）、對(duì)稱(chēng)性）。3.數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。三、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍1.直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍。2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題加以解決。3.數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解。題型探究一題型探究一探究一：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)公共定義域內(nèi)判斷函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可求解.答案：B【詳解】由題意可知，的定義域?yàn)?，令，則，由在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以故，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.【變式練習(xí)】1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，故故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：B2．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)為定義在上的連續(xù)減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩函數(shù)值異號(hào)，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是，故選：B.探究二：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱(chēng)是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)思路分析：思路分析：根據(jù)已知可得：，當(dāng)時(shí)利用零點(diǎn)存在定理，可以判定區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而判定，，…，上均至少有一個(gè)零點(diǎn)，得到在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)．可以構(gòu)造“回旋函數(shù)”，使之恰好有1011個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可以得到，此時(shí)在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)．從而排除BC,判定D正確；舉特例函數(shù)，或者構(gòu)造函數(shù)，可以排除A.答案：D【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，令，得．若，則與異號(hào)，即，由零點(diǎn)存在定理得在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)．由于，得到，進(jìn)而，所以在區(qū)間，，…，內(nèi)均至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)．構(gòu)造函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有1011個(gè)零點(diǎn).若，則，此時(shí)在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)，且可能有1011個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確；可能零點(diǎn)各數(shù)個(gè)數(shù)至少1012，大于1011，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A,[解法一]取函數(shù)，滿(mǎn)足，但在上處處是零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.[解法二]構(gòu)造函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有2023個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.故選：D．【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)，（），若關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．與的值有關(guān)答案：A【詳解】解：因?yàn)?，且關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，當(dāng)時(shí)的開(kāi)口向上，與沒(méi)有交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)的開(kāi)口向下，與沒(méi)有交點(diǎn)，則，綜上可得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，故，故當(dāng)時(shí)，無(wú)解，而當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，而對(duì)任意，恒成立，故，故時(shí)，無(wú)解，故方程無(wú)實(shí)數(shù)根，同理當(dāng)時(shí)，方程也無(wú)實(shí)數(shù)根；故選：A2．已知函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】令，則，①當(dāng)時(shí)，，，，即，②當(dāng)時(shí)，，，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，即，無(wú)解；若，直線(xiàn)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)不同實(shí)根；若，直線(xiàn)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)不同實(shí)根；綜上所述，方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故選：．探究三：利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：使用換元的方法并畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后根據(jù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)有5個(gè)進(jìn)而可知，的范圍，然后根據(jù)根的分布進(jìn)行計(jì)算即可.答案：A【詳解】設(shè)，則原方程即，的圖象如圖所示，函數(shù)關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程必有兩根為，，，且其中一個(gè)根為1，不妨設(shè)，即與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，方程有2個(gè)根，由圖知，，即.故選：A.【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)，若它們同時(shí)滿(mǎn)足：①，與中至少有一個(gè)小于0；②，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，成立，只需當(dāng)時(shí)，恒成立即可，，解得：；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則只需，即可；令，解得：，；由①得：，，，若，，則只需，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：D.2．已知函數(shù)（且）有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】由可得，在等式兩邊平方得，令，可知方程有兩個(gè)不等的正根、，所以，，解得.故選：A.題型突破訓(xùn)練題型突破訓(xùn)練一、單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，則整數(shù)k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-1答案：A【詳解】∵，，在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴零點(diǎn)所在區(qū)間為，∴．故選：A.2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：B【詳解】，或，，，或，時(shí)，不合題意，舍去，滿(mǎn)足題意．因此方程有三個(gè)解，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．故選：B．3．若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且的圖象是連續(xù)不斷的，所以，解得．故選：B.4．函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】令，解得：，只有一個(gè)零點(diǎn).而，，由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是.故選：C.5．對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱(chēng)點(diǎn)是曲線(xiàn)的“優(yōu)美點(diǎn)”，已知，若曲線(xiàn)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】解：由題意得：點(diǎn)是曲線(xiàn)的“優(yōu)美點(diǎn)”，則點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，當(dāng)時(shí)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)與有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，由與聯(lián)立得，在時(shí)有解；而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：B6．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【詳解】不妨設(shè)，，如圖所示，，由，故，，故.故選：D7．已知函數(shù)，.若存在，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，的值域是，的對(duì)稱(chēng)軸是，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，的值域是，因?yàn)榇嬖?，，使得，所?若，則或，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，故選：A8．已知a，b，，函數(shù)，，對(duì)任意的，，，兩兩相乘都不小于0，且，則一定有（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】對(duì)任意的，，，兩兩相乘都不小于0，故，，的零點(diǎn)相同，設(shè)為，恒成立，，故，解得，故，即，，故，，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤，，D正確.故選：D.二、多選題9．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則（

）A． B．且C．若，則 D．函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)答案：AC【詳解】由有兩個(gè)零點(diǎn)可知：，故，故A正確，由韋達(dá)定理可得：，由于，故可正可負(fù)可為0，因此無(wú)法判斷，的正負(fù)，故B錯(cuò)誤；時(shí)，則，故C正確，，比如當(dāng)時(shí)，令，可得,此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選:AC10．已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為C．若，則的取值范圍是D．若方程有三個(gè)解，則的取值范圍是答案：ACD【詳解】，A正確；畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為和，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，故，C正確；，方程有三個(gè)解，根據(jù)圖像知，，D正確.故選：ACD

11．已知定義域?yàn)镽的函數(shù),及關(guān)于x的方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)k>0時(shí)，若方程有且僅有3個(gè)不同解，則1+a+b=0B．當(dāng)k<0時(shí)，若方程有且僅有3個(gè)不同解，則1-a+b=0C．當(dāng)k<0時(shí)，方程最多有4個(gè)不同解，當(dāng)k>0時(shí)，方程最多有5個(gè)不同解D．當(dāng)k>0時(shí)，若方程有且僅有5個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（0，+∞）答案：AC【詳解】當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，其圖象如下：當(dāng)時(shí)，，其圖象如下：對(duì)于A，由方程有且僅有3個(gè)不同解，可得為其中的一個(gè)解，則，，故A正確；對(duì)于B，由方程有且僅有3個(gè)不同解，則有兩個(gè)值，由，結(jié)合圖象，則其中一個(gè)為，另外一個(gè)小于零，此時(shí)可得不一定滿(mǎn)足方程，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖象，當(dāng)時(shí)，若存在兩個(gè)不相等且小于零的值滿(mǎn)足方程，則方程有四個(gè)根；當(dāng)時(shí)，當(dāng)存在一個(gè)不為且大于零的值與1滿(mǎn)足方程時(shí)，方程有個(gè)根，故C正確；對(duì)于D，若方程有個(gè)不同的根，則且有兩個(gè)不相等的值，其中一個(gè)為滿(mǎn)足方程，等價(jià)于方程有兩個(gè)不相等且大于零的根，其中一個(gè)為，則，將，代入，則，由兩個(gè)根大于零，則，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D．若函數(shù)在上有6個(gè)根，則答案：BD【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖像，如圖所示，對(duì)于A中，當(dāng)，若，即，可得，當(dāng)時(shí)，為周期為的函數(shù)，畫(huà)出在區(qū)間的函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)為周期為的函數(shù)，又由，所以，，所以，所以B正確；對(duì)于C中，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)的圖像和函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，設(shè)與相切于點(diǎn)，則，解得，當(dāng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)與相切時(shí)，，則，即，綜上可得，當(dāng)函數(shù)的圖像和函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，又由函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，故直線(xiàn)與在上由6個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，由圖像可知關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以D正確.故選：BD.三、填空題13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)函數(shù)______.答案：（答案不唯一，只需滿(mǎn)足即可）【詳解】解：已知，∵的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴對(duì)稱(chēng)軸，∴，則方程即為，即，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴滿(mǎn)足條件的二次函數(shù)可以為.故答案為：.（答案不唯一，只需滿(mǎn)足即可）14．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，人們把函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)，則滿(mǎn)足方程的所有解之和為_(kāi)_______.答案：【詳解】方程的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩函數(shù)除以交點(diǎn)之外，其余的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，方程的解之和為.故答案為：15．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．答案：或【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，圖象始終在的下方；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，解得或，而和的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即有個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需有個(gè)實(shí)數(shù)根即可，即和的圖象有個(gè)交點(diǎn)，觀察可知，當(dāng)或時(shí)，符合題意，解得或.故答案為：或.16．設(shè)，若存在使得關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解，則b的取值范圍是______．答案：【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則f(x)圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．令，則，∵關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解，∴關(guān)于t的方程有兩個(gè)解、，設(shè)＜，則，，令，則，∴且，要存在a滿(mǎn)足條件，則，解得．故答案為：．四、解答題17．已知.(1)若，，求方程的解；(2)若關(guān)于的方程在上有兩解.①求的取值范圍；②證明：.答案：(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，因?yàn)?，舍去，所以；?），因?yàn)榉匠淘谏现炼嘤?個(gè)實(shí)根，方程，在，上至多有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合已知，可得方程在上的兩個(gè)解，中的1個(gè)在，1個(gè)在，不妨設(shè)，，，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可分析出，解得，，，，，令，，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕?8．已知，為常數(shù)，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；(2)對(duì)于給定的，，且，，證明：關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根；(3)若為偶函數(shù)，且，設(shè)，若對(duì)任意，均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)或.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)，則，，．因?yàn)?，所以，又函?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，由零點(diǎn)的判定定理可得：在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根得證.（3）由題意得，，，則因?yàn)閷?duì)任意恒成立，即對(duì)恒成立，則，即對(duì)恒成立，令，則，，該二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，，故，或.19．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)甲同學(xué)在探究“若恰有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍”這一問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)分類(lèi)討論研究后甲同學(xué)給出了如下解答：由，解得.據(jù)此他得出實(shí)數(shù)的取值范圍為．請(qǐng)你評(píng)判甲同學(xué)的解答完整嗎？如果不夠完整．請(qǐng)你補(bǔ)充甲同學(xué)遺漏的情況，并給出滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：(1)；(2)甲同學(xué)解答不完整，滿(mǎn)足題意的.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得.（2）甲同學(xué)解答不完整，補(bǔ)充如下：由恰有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，所以（不能同時(shí)為0），解得，經(jīng)檢驗(yàn)或滿(mǎn)足題意，所以.20．設(shè)函數(shù)，（，）.(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值及相應(yīng)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.答案：(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，即，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)；綜上，時(shí)，零點(diǎn)為2；，零點(diǎn)為4.（2）因?yàn)閷?duì)任意的，總，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，即，所以可得

解得