高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊(cè))第六章平面向量及其應(yīng)用單元綜合測(cè)試卷(原卷版+解析)

第六章平面向量及其應(yīng)用單元綜合測(cè)試卷一、單選題1．(2023·廣西·鹿寨縣鹿寨中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知平面向量，的夾角為45°，且，，則（）A．3 B．1 C． D．22．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是邊上一點(diǎn)，，則（）A． B．C． D．3．（2023·貴州金沙·高二階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形4．（2023·浙江義烏·高一期末）設(shè)向量與的夾角為，，，則（）A． B．1C． D．5．(2023·廣西河池·高二期末（文））若向量，則向量與的夾角為銳角的充要條件是（）A． B． C． D．6．(2023·北京朝陽(yáng)·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，滿足，，D為線段OA上一點(diǎn)，E為△AOB的外心，則的值為（）A． B． C． D．28．（2023·湖北·武鋼三中高一期中）在銳角中，若，則的范圍（）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·湖北·公安縣教學(xué)研究中心高三階段練習(xí)）已知平面向量，且，則（）A． B．向量與的夾角為C． D．10．（2023·河北·武安市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）△ABC中，，A=60°，AC=4，則邊AC上的高是（）A． B． C． D．11．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）人民英雄紀(jì)念碑位于北京天安門(mén)廣場(chǎng)中心，是中華人民共和國(guó)政府為紀(jì)念中國(guó)近現(xiàn)代史上的革命烈士而修建的紀(jì)念碑．正面鐫刻著毛澤東同志所題寫(xiě)的“人民英雄永垂不朽”八個(gè)金箔大字．在中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕到來(lái)之際，某學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生去瞻仰人民英雄紀(jì)念碑，并用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量其高度．現(xiàn)準(zhǔn)備了三種工具：測(cè)角儀（可測(cè)量仰角與俯角）、米尺（可測(cè)量長(zhǎng)度）、量角器（可測(cè)量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小組設(shè)計(jì)了如下不同的測(cè)量方案，其中一定能測(cè)量出紀(jì)念碑高度的方案有（）A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，分別測(cè)量紀(jì)念碑頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離B．在水平地面上尋找兩點(diǎn)，分別測(cè)量紀(jì)念碑頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離和兩點(diǎn)相對(duì)于紀(jì)念碑底部的張角C．在紀(jì)念碑正東方向找到一座建筑物（低于紀(jì)念碑），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物頂部和底部分別測(cè)得紀(jì)念碑頂端的仰角和D．在紀(jì)念碑的正前方處測(cè)得紀(jì)念碑頂端的仰角，正對(duì)紀(jì)念碑前行5米到達(dá)處再次測(cè)量紀(jì)念碑頂端的仰角12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，D，E分別是線段BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)（D，E兩點(diǎn)分別靠近B，C點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若F為AE的中點(diǎn)，則C．若，，，則D．若，且，則三、填空題13．(2023·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則____________.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，則在方向上的投影向量的模為_(kāi)_________.15．（2023·湖北·公安縣教學(xué)研究中心高三階段練習(xí)）如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，若為折線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.16．（2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，則的取值范圍是________.四、解答題17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面積．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圓半徑為，且，求的面積．19．(2023·北京昌平·高一期末）設(shè)向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求證：A，，三點(diǎn)共線.20．（2023·天津·南開(kāi)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，.(1)求角C的大?。?2)求的值；(3)求的值.21．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底邊上的中線，若動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求的最大值；（2）若，求的范圍．22．（2023·河南新鄭·高二階段練習(xí)（文））鉸鏈又稱(chēng)合頁(yè)，是用來(lái)連接兩個(gè)固體并允許兩者之間做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械裝置.鉸鏈可由可移動(dòng)的組件構(gòu)成，或者由可折疊的材料構(gòu)成.合頁(yè)主要安裝于門(mén)窗上，而鉸鏈更多安裝于櫥柜上.如圖所示，就是一個(gè)合頁(yè)的抽象圖，可以在變化，其中，正常把合頁(yè)安裝在家具上時(shí)，的變化范圍是.根據(jù)合頁(yè)的安裝和使用經(jīng)驗(yàn)可知，要使得安裝的家具門(mén)開(kāi)關(guān)并不受影響，在以為邊長(zhǎng)的正三角形區(qū)域內(nèi)不能有障礙物.（1）若時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)是多大時(shí)，求面積的最大值.第六章平面向量及其應(yīng)用單元綜合測(cè)試卷一、單選題1．(2023·廣西·鹿寨縣鹿寨中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知平面向量，的夾角為45°，且，，則（）A．3 B．1 C． D．2答案：B【解析】分析：給兩邊平方化簡(jiǎn)可求得答案【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面向量，的夾角為45°，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.故選：B2．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是邊上一點(diǎn)，，則（）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】故選：A3．（2023·貴州金沙·高二階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形答案：A【解析】分析：根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得，即可得到答案.【詳解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形狀一定是等腰三角形，故選：A．4．（2023·浙江義烏·高一期末）設(shè)向量與的夾角為，，，則（）A． B．1C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)題意先求出，再利用數(shù)量積關(guān)系即可求出.【詳解】設(shè)，則，所有，解得，所以.故選：D.5．(2023·廣西河池·高二期末（文））若向量，則向量與的夾角為銳角的充要條件是（）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：依題意可得且與不共線，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量共線的充要條件得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)榍蚁蛄颗c的夾角為銳角，所以且與不共線，所以，解得且，所以；故選：D6．(2023·北京朝陽(yáng)·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：設(shè)，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點(diǎn)在直線AB上求解.【詳解】設(shè)，如圖所示：則，因?yàn)榕c的夾角為120°，所以，因?yàn)?，且的起點(diǎn)相同，所以其終點(diǎn)共線，即在直線AB上，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，無(wú)最大值，所以的取值范圍為，故選；A7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，滿足，，D為線段OA上一點(diǎn)，E為△AOB的外心，則的值為（）A． B． C． D．2答案：D【解析】分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得的值.【詳解】由得，以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，則，∴，∴.故選：D.8．（2023·湖北·武鋼三中高一期中）在銳角中，若，則的范圍（）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由正弦定理得，再由三角形是銳角三角形和已知角的關(guān)系得出，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】由正弦定理得，∵是銳角三角形，∴三個(gè)內(nèi)角均為銳角，即有，，解得，余弦函數(shù)在此范圍內(nèi)是減函數(shù)．故．∴.故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、二倍角公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解決本題時(shí)要注意到三角形是銳角三角形要求每個(gè)角都是銳角，屬于中檔題.二、多選題9．（2023·湖北·公安縣教學(xué)研究中心高三階段練習(xí)）已知平面向量，且，則（）A． B．向量與的夾角為C． D．答案：BD【解析】分析：由條件可得，，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】由得，由得，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.向量與的夾角為，選項(xiàng)B正確；，而，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)D正確.故選：BD.10．（2023·河北·武安市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）△ABC中，，A=60°，AC=4，則邊AC上的高是（）A． B． C． D．答案：AB【解析】分析：先用余弦定理求出的長(zhǎng)，再求出邊AC上的高.【詳解】由余弦定理得：，解得：或3，經(jīng)檢驗(yàn)均符合，設(shè)邊AC上的高是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故選：AB11．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）人民英雄紀(jì)念碑位于北京天安門(mén)廣場(chǎng)中心，是中華人民共和國(guó)政府為紀(jì)念中國(guó)近現(xiàn)代史上的革命烈士而修建的紀(jì)念碑．正面鐫刻著毛澤東同志所題寫(xiě)的“人民英雄永垂不朽”八個(gè)金箔大字．在中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕到來(lái)之際，某學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生去瞻仰人民英雄紀(jì)念碑，并用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量其高度．現(xiàn)準(zhǔn)備了三種工具：測(cè)角儀（可測(cè)量仰角與俯角）、米尺（可測(cè)量長(zhǎng)度）、量角器（可測(cè)量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小組設(shè)計(jì)了如下不同的測(cè)量方案，其中一定能測(cè)量出紀(jì)念碑高度的方案有（）A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，分別測(cè)量紀(jì)念碑頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離B．在水平地面上尋找兩點(diǎn)，分別測(cè)量紀(jì)念碑頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離和兩點(diǎn)相對(duì)于紀(jì)念碑底部的張角C．在紀(jì)念碑正東方向找到一座建筑物（低于紀(jì)念碑），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物頂部和底部分別測(cè)得紀(jì)念碑頂端的仰角和D．在紀(jì)念碑的正前方處測(cè)得紀(jì)念碑頂端的仰角，正對(duì)紀(jì)念碑前行5米到達(dá)處再次測(cè)量紀(jì)念碑頂端的仰角答案：BCD【解析】分析：根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定紀(jì)念碑高度即可.【詳解】A：如果，兩點(diǎn)與紀(jì)念碑底部不在一條直線上時(shí)，就不能測(cè)量出紀(jì)念碑高度，故不正確．B：在直角三角形△和△中用來(lái)表示，，在△中用余弦定理就可以計(jì)算出紀(jì)念碑高度，故正確．C：如下圖，△中由正弦定理求，則紀(jì)念碑高，正確；D：如下圖，△中由正弦定理求，則紀(jì)念碑高，正確；故選：BCD.12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，D，E分別是線段BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)（D，E兩點(diǎn)分別靠近B，C點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若F為AE的中點(diǎn)，則C．若，，，則D．若，且，則答案：ACD【解析】分析：取的中點(diǎn)，則也是的中點(diǎn)，根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)平面向量基本定理及線性運(yùn)算即可判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷C；根據(jù)平面向量基本定理及線性運(yùn)算結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，取的中點(diǎn)，則也是的中點(diǎn)，則有，所以，故A正確；對(duì)于B，若F為AE的中點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镈，E分別為線段BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，，故C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)得，，由，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，平分，在中，，所以，所以為等邊三角形，所以，故選：D.故選：ACD.三、填空題13．(2023·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則____________.答案：【解析】分析：已知，可借助兩邊平方帶入、即可完成求解.【詳解】將兩邊平方，得，得.故答案為：.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，則在方向上的投影向量的模為_(kāi)_________.答案：【解析】分析：由得到，再根據(jù)得到，即得解.【詳解】解：在中，即所以，故，即，故解得或，B為直角的內(nèi)角，故，又，故在方向上的投影向量的模為.故答案為：15．（2023·湖北·公安縣教學(xué)研究中心高三階段練習(xí)）如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，若為折線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.答案：【解析】分析：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，所在直線為軸，DA所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只需求解點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小值即可.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，所在直線為軸，DA所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以因?yàn)?，所以，所以的最小值?故答案為：16．（2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，則的取值范圍是________.答案：【解析】分析：由正弦定理可以把表示為角的函數(shù)，由銳角三角形得出角的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理，可得，，所，由是銳角三角形，可得，，則，所以，.所以.故答案為：四、解答題17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解析】(1)由，而，，，由余弦定理得：．(2)由（1）知，，又，則．而，得，．．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圓半徑為，且，求的面積．【解析】(1)由已知及正弦定理得，又，∴，∴，∴，∴，即，∴，又，∴．(2)∵的外接圓半徑，∴，∴，由余弦定理得，即，則，∴的面積．19．(2023·北京昌平·高一期末）設(shè)向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求證：A，，三點(diǎn)共線.【解析】(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因?yàn)?，所以，所以A，，三點(diǎn)共線.20．（2023·天津·南開(kāi)中學(xué)高