2024-2025學(xué)年度北師版七上數(shù)學(xué)-專題1-數(shù)軸與絕對值【課件】

第二章有理數(shù)及其運算專題1數(shù)軸與絕對值數(shù)學(xué)七年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS◎問題綜述數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)與直線上的點建

立起對應(yīng)關(guān)系，可以用來揭示數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是數(shù)

形結(jié)合的基礎(chǔ)，通常與絕對值問題綜合考查.◎要點歸納1.

數(shù)軸的三要素：

、

和

?.原點

正方向

單位長度

（1）有理數(shù)

a

的相反數(shù)為

；若

a

，

b

互為相反數(shù)，則

a

＋

b

＝

?.（2）在數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點位于原點的兩側(cè)，并且到原

點的距離

?.－

a

0

相等

2.

相反數(shù).3.

絕對值.（1）正數(shù)的絕對值是

，負數(shù)的絕對值是

?

，0的絕對值是

?；（2）幾何意義：一個數(shù)的絕對值，就是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的

點到原點的

?.它本身

它的相反

數(shù)

0

距離

數(shù)學(xué)七年級上冊BS版典例講練02類型一

有理數(shù)在數(shù)軸上的表示

【思路導(dǎo)航】先化簡這些數(shù)，在數(shù)軸上表示出來；再根據(jù)數(shù)軸

上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的大將它們連接起來.

在數(shù)軸上表示數(shù)，如圖所示：

【點撥】解答此類問題的步驟：（1）化簡；（2）按規(guī)范畫出

數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)記各數(shù)；（3）根據(jù)“數(shù)軸上，右邊的數(shù)始

終比左邊的數(shù)大”，按大小順序排列連接各數(shù).

如圖，已知數(shù)軸上的刻度為1個單位長度，點

A

表示的數(shù)是－3.（1）在數(shù)軸上標(biāo)出原點，并指出點

B

所表示的數(shù)是

?；（1）【解析】如圖，點

O

為原點，點

B

所表示的數(shù)是4.故答案為4.4

（2）在數(shù)軸上找一點

C

，使它與點

B

的距離為2個單位長度，

則點

C

表示的數(shù)為

?；（2）【解析】由題意，知點

C

表示的數(shù)為4－2＝2或4＋2＝6.

故答案為2或6.2或6

（3）解：在數(shù)軸上表示數(shù)，如圖所示：

（3）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“＜”把這些數(shù)連接起來.類型二

利用數(shù)軸、絕對值比較大小

如圖，已知

a

＜0，

b

＞0，且｜

a

｜＞｜

b

｜，試把

a

，－

a

，

b

，－

b

這四個數(shù)用“＜”連接起來.【思路導(dǎo)航】在數(shù)軸上找到表示數(shù)－

a

，－

b

的點，按照在數(shù)軸

上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)排列即可.解：如圖所示：由數(shù)軸可知，

a

＜－

b

＜

b

＜－

a

.【點撥】（1）我們常常通過圖形（如此題中的數(shù)軸）來幫助理

解，以數(shù)的形式（如此題中的答案）作答；（2）數(shù)形結(jié)合是初

中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法.

若有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的

是（

D

）A.

b

＞

a

＞

c

B.

b

＞－

a

＞

c

C.

a

＞

c

＞

b

D.

｜

b

｜＞－

a

＞

c

D類型三

利用數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值進行計算

已知有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示：（1）判斷正負，用“＞”或“＜”填空：

b

＋

c

0，

c

－

a

0；＜

＞

【思路導(dǎo)航】（1）先判斷

a

，

b

，

c

的正負，再根據(jù)加法、減法

法則確定

b

＋

c

，

c

－

a

的正負；（2）化簡：－｜－

a

｜＋｜

c

－

a

｜＋｜

b

＋

c

｜.【思路導(dǎo)航】（2）先判斷正負，再化簡絕對值，進行加減.（1）【解析】由數(shù)軸可知，

b

＜

a

＜0＜

c

，且｜

b

｜＞｜

c

｜.所以

b

＋

c

＜0，

c

－

a

＞0.故答案為＜，＞.（2）解：由（1）可知，

a

＜0，

b

＋

c

＜0，

c

－

a

＞0，所以｜－

a

｜＝－

a

，｜

b

＋

c

｜＝－（

b

＋

c

）＝－

b

－

c

，｜

c

－

a

｜＝

c

－

a

.所以原式＝－（－

a

）＋

c

－

a

＋（－

b

－

c

）＝

a

＋

c

－

a

－

b

－

c

＝－

b

.【點撥】正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù)，0的絕對值是0.我們常用這一規(guī)律去掉絕對值符號.

有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示，且表示數(shù)

a

的點、

數(shù)

b

的點與原點的距離相等.（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：①

b

0；

②

a

＋

b

0；＜

＝

③

b

－

c

0；

④1－

a

0.（1）【解析】由有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置可知，

b

＜－

1＜

c

＜0＜1＜

a

.又因為表示數(shù)

a

的點、數(shù)

b

的點與原點的距離相等，所以

b

＜0，

a

＋

b

＝0，

b

－

c

＜0，1－

a

＜0.故答案為＜，＝，＜，＜.＜

＜

（2）化簡：｜

a

＋

b

｜＋｜

a

－

c

｜＋｜

b

｜－｜

b

－

c

｜.（2）解：由（1）可知，

a

＋

b

＝0，

a

－

c

＞0，

b

－

c

＜0，

b

＜0，所以原式＝0＋

a

－

c

－

b

＋

b

－

c

＝

a

－2

c

.類型四

利用數(shù)軸、絕對值解決距離問題

我們知道｜

a

｜的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)

a

的點與原點

的距離，即｜

a

｜＝｜

a

－0｜.這個結(jié)論可以推廣為：①｜

a

－

b

｜表示在數(shù)軸上表示數(shù)

a

，

b

的兩點間的距離；②｜

a

＋

b

｜表示在數(shù)軸上表示數(shù)

a

，－

b

的兩點間的距離.根據(jù)以上結(jié)論探究下面問題：（1）數(shù)軸上表示3和7的兩點之間的距離是

；數(shù)軸上表示

－3和－8的兩點之間的距離是

；數(shù)軸上表示3和－8的兩點

之間的距離是

?.4

5

11

【思路導(dǎo)航】（1）分別根據(jù)結(jié)論列式計算即可得解；【解析】（1）｜3－7｜＝4，｜（－3）－（－8）｜＝｜－3＋8｜＝5，｜3－（－8）｜＝｜3＋8｜＝11.故答案為4，5，11.（2）數(shù)軸上表示

x

和－3的點

A

和點

B

之間的距離是

；如果｜

AB

｜＝5，那么

x

為

?.｜

x

＋3｜

2或－8

【思路導(dǎo)航】（2）根據(jù)結(jié)論列出絕對值式子，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)計算即可得解；

【解析】（2）由題意，得｜

x

－（－3）｜＝｜

x

＋3｜.因為｜

AB

｜＝5，所以｜

x

＋3｜＝5.所以

x

＋3＝5或

x

＋3＝－5.所以

x

＝2或

x

＝－8.故答案為｜

x

＋3｜，2或－8.（3）當(dāng)｜

x

＋2｜＋｜

x

－1｜取最小值時，相應(yīng)的整數(shù)

x

的值

是

?.【思路導(dǎo)航】（3）根據(jù)兩點間的距離的表示，數(shù)

x

在－2和1之間時有最小值即可求解.－2，－1，0，1

【解析】（3）因為｜

x

＋2｜＋｜

x

－1｜表示數(shù)

x

到－2和1的距離的和，所以當(dāng)

x

在－2和1之間時，有最小值.所以相應(yīng)的整數(shù)

x

的值是－2，－1，0，1.故答案為－2，－1，0，1.【點撥】若點

A

表示的數(shù)為

x

，點

B

表示的數(shù)為

y

，則

A

，

B

兩

點間的距離可表示為｜

x

－

y

｜＝｜

y

－

x

｜.

結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識解決下面問題：（1）｜5－2｜表示5與2這兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的

距離，所以｜5－2｜＝

；｜5＋2｜表示5與－2這兩個數(shù)在

數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離，所以｜5＋2｜＝

?.（2）數(shù)軸上表示數(shù)

x

的點在1與5之間移動時，｜

x

－1｜＋｜

x

－5｜的值是一個固定的值，為

?.3

7

4

（3）｜

x

＋1｜可理解為

x

與

?這兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)

的兩點之間的距離，要使｜

x

－3｜＋｜

x

＋2｜＝7，則

x

＝

?

?.－1

－3或4

（3）【解析】｜

x

＋1｜可理解為

x

與－1這兩個數(shù)在數(shù)軸上所

對應(yīng)的兩點之間的距離.