人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章學(xué)科特色微專題“設(shè)而不求”在解析幾何中的應(yīng)用學(xué)案

微專題“設(shè)而不求”在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何歷年是高考?jí)狠S題，難度大，綜合性強(qiáng)，如何破解是廣大考生的巨大困惑．“設(shè)而不求”是解析幾何中的一種很常用的手段，采用“設(shè)而不求”的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運(yùn)算，從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡捷的解題效果．“設(shè)而不求”運(yùn)用了整體思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法，這也是數(shù)學(xué)核心抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)．類型一整體代入【例1】已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．解：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立x+2y-3=0消去x，得5y2－20y＋12＋m＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝12+m5因?yàn)镺P⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，而x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，所以9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，解得m＝3，此時(shí)Δ＞0.圓的方程為x2＋y2＋x－6y＋3＝0，所以該圓的圓心坐標(biāo)為-12，(1)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線方程與曲線方程聯(lián)立后消元得到一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1＋x2，x1x2后整體代入．(2)在運(yùn)用“設(shè)而不求”的技巧時(shí)，要注意將條件坐標(biāo)化，注意運(yùn)算的合理性、目的性，思路要清晰，這樣就可以使運(yùn)算簡化，迅速解決問題．類型二轉(zhuǎn)化圖形【例2】已知△ABC內(nèi)接于橢圓x2＋4y2＝8，其重心為G2，23，已知點(diǎn)A解：設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則有x12+4y1又C12，23為△由①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由③④，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，所以kBC＝y(tǒng)1又BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為2，所以直線BC的方程為y－12＝－(x即2x＋2y－5＝0.通過挖掘題目中隱含的幾何背景，設(shè)而不求，可轉(zhuǎn)化成幾何問題求解．如通過對(duì)式子的合理變形、構(gòu)造，賦予變量相應(yīng)的幾何意義，如斜率、距離等，進(jìn)而利用相關(guān)的曲線的性質(zhì)解題．類型三適當(dāng)引參【例3】已知對(duì)任何滿足(x－1)2＋y2＝1的實(shí)數(shù)x，y，如果x＋y＋k≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：設(shè)x=1+cosθ，y=sin則g(θ)＝x＋y＋k＝sinθ＋cosθ＋1＋k＝2sinθ+π4≥－2＋1＋k，令－2＋1＋k≥0，得k≥2－1.根據(jù)圓錐曲線方程的特點(diǎn)，恰當(dāng)合理地引入?yún)?shù)，可使解題目標(biāo)更加明確，已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，使問題能夠得到解決．如引入三角函數(shù)，可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)、恒等變換等解決問題．類型四巧設(shè)坐標(biāo)【例4】設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.證明：設(shè)點(diǎn)A(2pt_(1)^(2)，2pt_1)，B(2pt22因?yàn)橹本€AB過焦點(diǎn)F，所以2pt1·2pt2＝－p2，得t1t2＝－14又直線OC的斜率kOC＝2pt2-p2＝－4直線OA的斜率kOA＝2pt1-02pt12-0＝故A，O，C三點(diǎn)共線，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.在解析幾何問題中，對(duì)于有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)采用設(shè)而不求的策略，能促使