人教A版普通高中數學一輪復習第八章學科特色微專題“設而不求”在解析幾何中的應用學案

微專題“設而不求”在解析幾何中的應用解析幾何歷年是高考壓軸題，難度大，綜合性強，如何破解是廣大考生的巨大困惑．“設而不求”是解析幾何中的一種很常用的手段，采用“設而不求”的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果．“設而不求”運用了整體思想、轉化思想等數學思想方法，這也是數學核心抽象、數學建模等數學核心素養(yǎng)的集中體現．類型一整體代入【例1】已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑．解：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯立x+2y-3=0消去x，得5y2－20y＋12＋m＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝12+m5因為OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，而x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，所以9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，解得m＝3，此時Δ＞0.圓的方程為x2＋y2＋x－6y＋3＝0，所以該圓的圓心坐標為-12，(1)直線與曲線相交于兩點，設為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線方程與曲線方程聯立后消元得到一元二次方程，根據根與系數的關系表示出x1＋x2，x1x2后整體代入．(2)在運用“設而不求”的技巧時，要注意將條件坐標化，注意運算的合理性、目的性，思路要清晰，這樣就可以使運算簡化，迅速解決問題．類型二轉化圖形【例2】已知△ABC內接于橢圓x2＋4y2＝8，其重心為G2，23，已知點A解：設B(x1，y1)，C(x2，y2)，則有x12+4y1又C12，23為△由①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由③④，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，所以kBC＝y(tǒng)1又BC的中點坐標為2，所以直線BC的方程為y－12＝－(x即2x＋2y－5＝0.通過挖掘題目中隱含的幾何背景，設而不求，可轉化成幾何問題求解．如通過對式子的合理變形、構造，賦予變量相應的幾何意義，如斜率、距離等，進而利用相關的曲線的性質解題．類型三適當引參【例3】已知對任何滿足(x－1)2＋y2＝1的實數x，y，如果x＋y＋k≥0恒成立，求實數k的取值范圍．解：設x=1+cosθ，y=sin則g(θ)＝x＋y＋k＝sinθ＋cosθ＋1＋k＝2sinθ+π4≥－2＋1＋k，令－2＋1＋k≥0，得k≥2－1.根據圓錐曲線方程的特點，恰當合理地引入參數，可使解題目標更加明確，已知和欲求之間的聯系得以明朗化，使問題能夠得到解決．如引入三角函數，可以利用三角函數的性質、恒等變換等解決問題．類型四巧設坐標【例4】設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，求證：直線AC經過原點O.證明：設點A(2pt_(1)^(2)，2pt_1)，B(2pt22因為直線AB過焦點F，所以2pt1·2pt2＝－p2，得t1t2＝－14又直線OC的斜率kOC＝2pt2-p2＝－4直線OA的斜率kOA＝2pt1-02pt12-0＝故A，O，C三點共線，即直線AC經過原點O.在解析幾何問題中，對于有關點的坐標采用設而不求的策略，能促使