陜西省安康市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科試題含解析

陜西省安康市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科試題一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡得復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，則，,所以，故.故選：B.2.記集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式確定集合，然后再依據(jù)交集的定義求其交集即可.【詳解】或所以集合，，所以.故選：B.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得正確答案.【詳解】由，得，所以故選：C4.設(shè)，則成立的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】成立的一個必要不充分條件就是可以推出這個條件，但是這個條件并不能推出.依次對每個選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】A:,是的充分條件，A錯；B：為其反例，不是必要條件，B錯；C：在上遞增，，是充要條件，C錯；D：可得，又，可得，反之不肯定成立，D對；故選：D5.在正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】平移到,再連接，再解三角形即可求出答案.【詳解】平移到,再連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，易得，，，由余弦定理得故選：A.6.已知函數(shù)，則該函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再賦值法求出，然后得到的函數(shù)解析式可得切點(diǎn)，后將數(shù)據(jù)代入點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，即切點(diǎn)所以切線方程為：，即.故選：A.7.記函數(shù)的最小正周期為T，若，且的最小值為1.則曲線的一個對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)求得，依據(jù)的最小值求得，依據(jù)三角函數(shù)對稱中心的求法求得正確答案.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿意，得，解得，又因?yàn)?，所以，所以，又函?shù)的最小值為1，所以，所以，令，所以對稱中心為，只有選項(xiàng)C符合題意（）.故選：C8.南京市地鐵S8號線經(jīng)擴(kuò)建后于2024年國慶當(dāng)天正式運(yùn)行，從起點(diǎn)站長江大橋北站到終點(diǎn)站金牛湖站總行程大約為51.3千米，小張是陜西來南京游玩的一名旅客，從起點(diǎn)站起先，他利用手機(jī)上的里程表測出前兩站的距離大約為2千米，以后每經(jīng)過一站里程約增加0.1千米，據(jù)此他測算出本條地鐵線路的站點(diǎn)（含起始站與終點(diǎn)站）數(shù)一共有（）A.18 B.19 C.21 D.22【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的求和公式求解即可【詳解】由題意設(shè)前兩站的距離為千米，其次站與第三站之間的距離為千米，…，第n站與第站之間的距離為千米，則是等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差，則，解得，則站點(diǎn)數(shù)一共有19個.故選：B.9.已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由確定點(diǎn)的位置，再利用與的面積之比列方程來求得的值.【詳解】由得，設(shè)，則.由于，所以A，B，D三點(diǎn)共線，如圖所示，∵與反向共線，，∴，∴，∴.故選：D10.定義在R上的函數(shù)滿意對隨意的x恒有，且，則的值為（）A.2026 B.1015 C.1014 D.1013【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)遞推和夾逼準(zhǔn)則將不等條件轉(zhuǎn)化為等式，再將其看成一個等差數(shù)列可得的值.【詳解】依據(jù)得，又，所以，又所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；所以故選：B.11.若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用分別變量法將與分開，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像有三個交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合簡單得到答案.【詳解】由，得，設(shè)，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，且，其圖象如圖所示：若使得函數(shù)有3個零點(diǎn)，則.故選：A.12.如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，，點(diǎn)M在棱上，且，平面與平面的夾角為，則下列說法錯誤的是（）A.平面平面 B.C.點(diǎn)M到平面的距離為 D.多面體的體積為【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，作出協(xié)助線，證明出，⊥平面，故平面，從而證明面面垂直；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解出平面的法向量，依據(jù)平面夾角列出方程，求出；C選項(xiàng)，在第一問的基礎(chǔ)上，求出平面的法向量，從而利用點(diǎn)到平面距離公式求出答案.D選項(xiàng)，求出，相加得到答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)G，連接交于N，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危浴?，且N是的中點(diǎn)，所以且，又，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以⊥平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；對于B，取中點(diǎn)H，由四邊形是菱形，，則，所以是正三角形，所以，所以，又平面，以A為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，，當(dāng)時，重合，此時平面與平面的夾角為，不合題意，舍去；當(dāng)時，設(shè)平面的一個法向量，則，兩式相減得：，令，得，故，平面的法向量可取，所以，解得，故B正確；對于C，結(jié)合B，所以，則，設(shè)平面的一個法向量，則，解得：，取，得，故，所以點(diǎn)M到平面的距離，故C正確；對于D，，故，梯形的面積為，，故，故D錯誤.故選：D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知命題，使得，則為___________.【答案】【解析】【分析】由存在量詞命題的否定求解即可【詳解】命題，使得，則為，故答案為：14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則___________.【答案】4【解析】【分析】將化簡，可得一個邊角關(guān)系，然后再結(jié)合正弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，若，所以，所以，即，由正弦定理得，化簡得，所?故答案為：415.已知圓錐的側(cè)面由函數(shù)的圖象繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得，圓錐的側(cè)面由函數(shù)的圖象繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得，記圓錐與圓錐的體積分別為和，則___________.【答案】##【解析】【分析】分別求出線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時與線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周時，所成的圓錐的體積，即可求解【詳解】當(dāng)線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時，圍成一個半徑為2，高為4的圓錐，其體積為，當(dāng)線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周時，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，此時線段旋轉(zhuǎn)一四周成一個半徑為，高為的圓錐，其體積為，所以.故答案為：16.設(shè)等比數(shù)列滿意，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和___________.【答案】114【解析】【分析】由題意求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此確定數(shù)列中的項(xiàng)的取值，進(jìn)而求得的前50項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得，故，因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故,故答案為：114.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）存在，實(shí)數(shù)【解析】【分析】（1）利用求得，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得的單調(diào)區(qū)間.（2）依據(jù)的最小值為列方程，從而求得的值.【小問1詳解】∵，∴，即，，由，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋吆瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵在上為增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0，，∵函數(shù)的最小值為0，∴函數(shù)的最小值為1，所以①，且②，聯(lián)立①②解得：，∴存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為0.18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的基本公式聯(lián)立方程可解出的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；對，考慮整理說明其為等比數(shù)列可得其通項(xiàng)公式；（2）將的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)，可以求出其和，進(jìn)而證明不等式.【小問1詳解】設(shè)的公差為d，由題意得：解得所以，由，得，又，所以是公比為等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】證明：，.要證，即證，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以得證.19.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）若，求外接圓的面積；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理與圓的面積公式即可求解；（2）由（1）得，依據(jù)為銳角三角形，求得，利用正弦定理和面積公式，以及三角恒等變換的公式化簡得到，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【小問1詳解】由題知：，由正弦定理可化為，即，由余弦定理知，又，故.設(shè)外接圓的半徑為R，則，所以，所以外接圓的面積為.【小問2詳解】由（1）知：，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，又由正弦定理，得，所以.又，則，所以，故面積的取值范圍是.20.如圖，已知為圓錐底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，，，平分，D是上一點(diǎn)，且平面平面.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用等邊三角形三線合一得出，再利用平面平面，是兩個平面的交線得出平面，進(jìn)而得出結(jié)論.（2）取的中點(diǎn)M，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋移椒?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】取的中點(diǎn)M，連接，則兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系則，，，，，由（1）知平面，所以是平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋?，則取，則，因此，所以二面角正弦值為.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象上全部的點(diǎn)向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時，方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特別點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，得到函數(shù)解析式；（2）先依據(jù)平移變換和伸縮變換得到，令，換元后利用整體法求出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，得到，再依據(jù)對稱性得到，相加后得到，求出答案.【小問1詳解】由圖示得：，解得：，又，所以，所以，所以.又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.【小問2詳解】圖象上全部的點(diǎn)向右平移個單位長度，得到，將所得圖象上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到，當(dāng)時，，令，則，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，,所以時，.當(dāng)時，方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根.因?yàn)橛腥齻€不同的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，則，兩式相加得：，即，所以.22.設(shè)向量.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若存在兩個極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用平面對量數(shù)量積得到，定義域?yàn)?，求?dǎo)后，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)特征，分，，，四種狀況，得到函數(shù)單調(diào)性；（2）定義域?yàn)椋髮?dǎo)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)特征得到與不合題意，當(dāng)時，滿意要求，且由知，整理得到等價于，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出當(dāng)時，，證畢.【小問1詳解】依據(jù)已知得，定義域?yàn)?，則，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，由，得或；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，