高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.通過考查空間線面關(guān)系，凸顯邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．2.通過考查空間角的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）平面的基本性質(zhì)(1)基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)基本事實(shí)2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)．(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（二）空間兩直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)))2.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．（三）異面直線所成的角1.異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：.2.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．（四）空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)---有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；相交---有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行---沒有公共點(diǎn)．后兩種情況直線不在平面內(nèi)，也稱直線在平面外.(2)平面與平面的位置關(guān)系有兩種情況：平行---沒有公共點(diǎn)；相交---有一條公共直線．（五）常用結(jié)論唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．【?？碱}型剖析】題型一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1.（四川·高考真題（文）），，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．， B．，C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面例2.(2023·山東·高考真題（文））已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．(2023·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接.空間任意兩點(diǎn)，若線段上不存在點(diǎn)在線段上，則稱兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)B C．點(diǎn)R D．點(diǎn)Q例4.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【方法技巧】1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在交線上同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.2.證明線共點(diǎn)問題的方法證明若干線共點(diǎn)的基本思路是先找出兩條直線的交點(diǎn)，再證明其他直線都經(jīng)過該點(diǎn)．而證明直線過該點(diǎn)的方法是證明點(diǎn)是以該直線為交線的兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.題型二：空間兩直線的位置關(guān)系例5.（廣東·高考真題（文））若空間中四條直線、、、，滿足、、，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B．C．、既不平行也不垂直 D．、位置關(guān)系不確例6.（湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件例7.（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.①②③④【總結(jié)提升】判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．題型三：異面直線所成的角例8.(2023·全國(guó)·高考真題（文））在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．例9.(2023·全國(guó)·高考真題（文））平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．例10.（皖豫名校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期階段性測(cè)試（期末）數(shù)學(xué)試題）在正三棱臺(tái)中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，且，則異面直線AE與BF所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°例11.（內(nèi)蒙古赤峰市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例12.(2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．例13.（2023·天津西青·高一期末）已知為正方體，，分別是，的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為_______例14.(2023·福建漳州·高二期末）在如圖所示的直四棱柱中，，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則直線與直線所成角的正弦值的最大值為________．【規(guī)律方法】1.平移法：求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行．具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法．提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.通過考查空間線面關(guān)系，凸顯邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．2.通過考查空間角的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）平面的基本性質(zhì)(1)基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)基本事實(shí)2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)．(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（二）空間兩直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)))2.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．（三）異面直線所成的角1.異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：.2.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．（四）空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)---有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；相交---有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行---沒有公共點(diǎn)．后兩種情況直線不在平面內(nèi)，也稱直線在平面外.(2)平面與平面的位置關(guān)系有兩種情況：平行---沒有公共點(diǎn)；相交---有一條公共直線．（五）常用結(jié)論唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．【?？碱}型剖析】題型一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1.（四川·高考真題（文）），，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．， B．，C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面答案：B【解析】【詳解】解：因?yàn)槿绻粭l直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項(xiàng)A，可能相交．選項(xiàng)C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側(cè)棱，選項(xiàng)D，三線共點(diǎn)，可能是棱錐的三條棱，因此錯(cuò)誤．選B.例2.(2023·山東·高考真題（文））已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】【詳解】當(dāng)“直線a和直線b相交”時(shí)，平面α和平面β必有公共點(diǎn)，即平面α和平面β相交，充分性成立；當(dāng)“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點(diǎn)”，即必要性不成立.故選A.例3．(2023·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接.空間任意兩點(diǎn)，若線段上不存在點(diǎn)在線段上，則稱兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)B C．點(diǎn)R D．點(diǎn)Q答案：D【解析】分析：利用排除法，如圖，連接，則可得四點(diǎn)共面，∥，然后進(jìn)行分析判斷即可【詳解】如圖連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以,∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥,因?yàn)椤?，所以∥，所以四點(diǎn)共面，所以與相交，所以點(diǎn)與點(diǎn)不可視，所以排除A，因?yàn)椤危怨裁?，所以由圖可知與相交，與相交，所以點(diǎn)，點(diǎn)都與點(diǎn)不可視，所以排除BC，故選：D例4.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．答案：見解析【解析】證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．【方法技巧】1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在交線上同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.2.證明線共點(diǎn)問題的方法證明若干線共點(diǎn)的基本思路是先找出兩條直線的交點(diǎn)，再證明其他直線都經(jīng)過該點(diǎn)．而證明直線過該點(diǎn)的方法是證明點(diǎn)是以該直線為交線的兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.題型二：空間兩直線的位置關(guān)系例5.（廣東·高考真題（文））若空間中四條直線、、、，滿足、、，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B．C．、既不平行也不垂直 D．、位置關(guān)系不確答案：D【解析】【詳解】分析：試題分析：如下圖所示，在正方體中，取為，為，取為，為，；取為，為，則；取為，為，則與異面，因此、的位置關(guān)系不確定，故選D.例6.（湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案：A【解析】【詳解】若p：是異面直線，由異面直線的定義知，不相交，所以命題q：不相交成立，即p是q的充分條件；反過來(lái)，若q：不相交，則可能平行，也可能異面，所以不能推出是異面直線，即p不是q的必要條件，故應(yīng)選．例7.（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.①②③④答案：①③④【解析】分析：利用兩交線直線確定一個(gè)平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，所以，，即，命題為真命題；對(duì)于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，命題為假命題；對(duì)于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對(duì)于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，，為真命題，，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【總結(jié)提升】判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．題型三：異面直線所成的角例8.(2023·全國(guó)·高考真題（文））在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.例9.(2023·全國(guó)·高考真題（文））平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．答案：A【解析】【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫?，所以，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.例10.（皖豫名校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期階段性測(cè)試（期末）數(shù)學(xué)試題）在正三棱臺(tái)中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，且，則異面直線AE與BF所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°答案：C【解析】分析：連接，則可得四邊形為平行四邊形，則可得∥，所以為異面直線AE與BF所成的角，然后計(jì)算即可【詳解】連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以∥,，因?yàn)檎馀_(tái)中，，所以∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以為異面直線AE與BF所成的角，設(shè)，則，在等腰梯形中，，因?yàn)椋?，因?yàn)?所以為等邊三角形，所以，同理,所以為等邊三角形，所以，所以異面直線AE與BF所成的角為，故選：C例11.（內(nèi)蒙古赤峰市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：作圖，構(gòu)造三角形，將與的夾角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蝺?nèi)角，運(yùn)用余弦定理求解.【詳解】依題意作上圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，，∴四邊形是平行四邊形，，異面直線與的夾角就是與的夾角，，，，由余弦定理得，，∴；故選：B.例12.(2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：連接交于，若是的中點(diǎn)，連接，易得，即直線與直線夾角為或補(bǔ)角，進(jìn)而求其余弦值.【詳解】連接交于，若是的中點(diǎn)，連接，由為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：是的中點(diǎn)，所以，故直線與直線夾角，即為與的夾角或補(bǔ)角，若，則，，面，面，則，而，又，面，故面，又面，所以.所以，，在△中.故選：C例13.（2023·天津西青·高一期末）已知為正方體，，分別