高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題多維練(新高考專用)專題07立體幾何初步(原卷版+解析)

專題07立體幾何初步1．(2023·全國(guó)·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．2．(2023·河北邯鄲·模擬）已知正三棱柱，各棱長(zhǎng)均為2，且點(diǎn)為棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球B．四棱錐的體積是C．直線與直線恒不垂直D．直線與平面所成角最大為3．(2023·福建省福州格致中學(xué)模擬）已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．4．(2023·山東煙臺(tái)·三模）若和分別為空間中的直線和平面，則“”是“垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．(2023·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個(gè)球，衛(wèi)星信號(hào)像一條條直線一樣發(fā)射到達(dá)球面，所覆蓋的范圍即為一個(gè)球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號(hào)的覆蓋面積．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得較短的一段叫做球冠的高．設(shè)球面半徑為R，球冠的高為h，則球冠的表面積為．已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星距地球表面的最近距離與地球半徑之比為5，則它的信號(hào)覆蓋面積與地球表面積之比為（

）A． B． C． D．6．(2023·湖南永州·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》記錄形似“楔體”的“羨除”．所謂“羨除”，就是三個(gè)側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個(gè)平行四邊形），兩個(gè)不平行對(duì)面是三角形的五面體．如圖，在羨除中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，均為正三角形，平面，且，則羨除的體積為（

）A． B．C． D．7．(2023·廣東韶關(guān)·二模）對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上單位面積的積水厚度（mm）進(jìn)行如下規(guī)定：積水厚度區(qū)間級(jí)別小雨中雨大雨暴雨小明用一個(gè)圓臺(tái)形容器（如圖）接了24小時(shí)雨水，則這天的降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨8．(2023·江蘇南京·模擬）足球運(yùn)動(dòng)成為當(dāng)今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育項(xiàng)目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽．比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場(chǎng)舉行．已知某足球的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足，二面角的大小為，則該足球的體積為（

）A． B． C． D．9．(2023·河北唐山·三模）（多選題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O，，其高為2，為圓O的內(nèi)接三角形，且，P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若平面，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則C．三棱錐體積的最大值為D．點(diǎn)A到平面距離的最大值為10．(2023·福建三明·模擬）（多選題）已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且總滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為5 B．點(diǎn)P的軌跡過(guò)棱上靠近的四等分點(diǎn)C．點(diǎn)P的軌跡上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6 D．直線與直線MP所成角的余弦值的最大值為11．(2023·山東聊城·三模）（多選題）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均2，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B．若平面，則AQ的最小值為C．若的外心為M，則為定值2D．若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為12．(2023·湖北·武漢二中模擬）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積13．(2023·湖南常德·一模）已知是球的球面上的四點(diǎn)，為球的直徑，球的表面積為，且，，則直線與平面所成角的正弦值是___________.14．(2023·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）如圖，直三棱柱，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，D為AA1的中點(diǎn)，則四棱錐D-BB1FE的外接球表面積為___________.15．(2023·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬）已知圓錐頂點(diǎn)為P，底面的中心為O，過(guò)直線OP的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為___________.16．(2023·江蘇連云港·模擬）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，側(cè)面底面ABCD，，若四棱錐存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為_______，此時(shí)四棱錐的體積為_______．專題07立體幾何初步1．(2023·全國(guó)·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．2．(2023·河北邯鄲·模擬）已知正三棱柱，各棱長(zhǎng)均為2，且點(diǎn)為棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球B．四棱錐的體積是C．直線與直線恒不垂直D．直線與平面所成角最大為答案：D【解析】如圖所示，設(shè)，取?的中點(diǎn)分別為?，連接?過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，顯然平面，又，故平面即為直線與平面所成角，又因?yàn)椋?，所以因此?dāng)時(shí)，有的最大值，選項(xiàng)D正確；由于內(nèi)切圓半徑為，所以該正三棱柱有外接球，無(wú)內(nèi)切球，選項(xiàng)A不正確；顯然平面，因此點(diǎn)到側(cè)面的高故棱錐的體積為，選項(xiàng)B不正確；當(dāng)位于時(shí)，平面，即又，故平面，從而，故選項(xiàng)C不正確；故選：D3．(2023·福建省福州格致中學(xué)模擬）已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由斜二測(cè)畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖如圖所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面積為.故選：C4．(2023·山東煙臺(tái)·三模）若和分別為空間中的直線和平面，則“”是“垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】若，則垂直內(nèi)所有直線，因此，命題“若，則垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”正確，垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，若這無(wú)數(shù)條直線中無(wú)任何兩條直線相交，此時(shí)直線可以在平面內(nèi)，即不能推出，所以“”是“垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的充分不必要條件.故選：A5．(2023·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個(gè)球，衛(wèi)星信號(hào)像一條條直線一樣發(fā)射到達(dá)球面，所覆蓋的范圍即為一個(gè)球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號(hào)的覆蓋面積．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得較短的一段叫做球冠的高．設(shè)球面半徑為R，球冠的高為h，則球冠的表面積為．已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星距地球表面的最近距離與地球半徑之比為5，則它的信號(hào)覆蓋面積與地球表面積之比為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如下截面圖，若O為球心，P為衛(wèi)星位置，故，，，所以，所以，即，所以．故選：D.6．(2023·湖南永州·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》記錄形似“楔體”的“羨除”．所謂“羨除”，就是三個(gè)側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個(gè)平行四邊形），兩個(gè)不平行對(duì)面是三角形的五面體．如圖，在羨除中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，均為正三角形，平面，且，則羨除的體積為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)槠矫嫠訣F∥AB，EF∥CD，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以AB⊥AD，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，連接DG，則AG⊥AB，因?yàn)?，所以AB⊥平面ADG，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，連接CH則AB⊥平面BCH，因?yàn)?，均為正三角形，邊長(zhǎng)相等，所以羨除被分割為三棱柱ADG-BCH和兩個(gè)相同的三棱錐E-ADG和F-BCH，其中FG=FH=1，GH=AB=CD=2，由勾股定理可得：，取AD中點(diǎn)M，連接GM，則GM⊥AD，由勾股定理得：，則所以，故羨除的體積為故選：B7．(2023·廣東韶關(guān)·二模）對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上單位面積的積水厚度（mm）進(jìn)行如下規(guī)定：積水厚度區(qū)間級(jí)別小雨中雨大雨暴雨小明用一個(gè)圓臺(tái)形容器（如圖）接了24小時(shí)雨水，則這天的降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨答案：B【解析】由題意知降雨量是雨水的體積除以容器口面積，因?yàn)閳A臺(tái)形容器中水的高度為圓臺(tái)形容器高度的一半，且下底面半徑是40mm，上底面半徑是80mm，可得圓臺(tái)中雨水的上底面半徑是mm，所以雨水的厚度為mm，是中雨，故選：B．8．(2023·江蘇南京·模擬）足球運(yùn)動(dòng)成為當(dāng)今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育項(xiàng)目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽．比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場(chǎng)舉行．已知某足球的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足，二面角的大小為，則該足球的體積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意，三棱錐如圖所示，圖中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，分別是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，所以和均為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以分別為和的中線，因?yàn)榉謩e是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以分別為和的外心，過(guò)分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，即為足球的球心，所以線段為球的半徑，因?yàn)?，，所以，則，因?yàn)椋浴?，所以，在直角中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槭堑耐庑?，所以，所?所以，所以足球的體積為，故選：A9．(2023·河北唐山·三模）（多選題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O，，其高為2，為圓O的內(nèi)接三角形，且，P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若平面，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則C．三棱錐體積的最大值為D．點(diǎn)A到平面距離的最大值為答案：ACD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，易得，則為三棱錐外接球的球心，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以三棱錐外接球的表面積為.故A正確；對(duì)于B，過(guò)過(guò)平面，垂足為，連，則，又因?yàn)?，，所以平面，所以，只有?dāng)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)時(shí)，才有，故B不正確；對(duì)于C，在中，由余弦定理得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以三棱錐體積的最大值為.故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)A到平面距離為，則，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)A到平面距離的最大值為，故D正確.故選：ACD10．(2023·福建三明·模擬）（多選題）已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且總滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為5 B．點(diǎn)P的軌跡過(guò)棱上靠近的四等分點(diǎn)C．點(diǎn)P的軌跡上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6 D．直線與直線MP所成角的余弦值的最大值為答案：ACD【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)M作，在上取一點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，連接，易知，四點(diǎn)共面；又，，面，即點(diǎn)的軌跡為矩形（不含點(diǎn)），設(shè)，則又

解得，即，對(duì)于A，矩形的面積為：，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，到的距離范圍是：上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；在中，到的距離范圍是：上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；但在、中不存在到點(diǎn)C的距離為6的點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，直線與直線所成的最小角就是直線與平面所成的角，直線與平面所成的即是直線與平面所成的角，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則即是直線與平面所成的角，在中，，D正確；故選：ACD.11．(2023·山東聊城·三模）（多選題）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均2，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B．若平面，則AQ的最小值為C．若的外心為M，則為定值2D．若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為答案：ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，又因?yàn)槊妫?，所以面，所以直線到平面的距離相等，又的面積為定值，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，則易證明：，面，面，所以面，又因?yàn)?，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面?dāng)時(shí)，AQ有最小值，則易求出，所以重合，所以則AQ的最小值為，故B正確；對(duì)于C，若的外心為M，，過(guò)作于點(diǎn)，則.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作于點(diǎn)，易知平面，在上取點(diǎn)，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樗裕瑒t圓弧等于，故D正確.故選：ABD.12．(2023·湖北·武漢二中模擬）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積答案：AD【解析】由題意知：勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離為a，故A正確；勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖1，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知BOE三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為，則由題意得：，解得：，所以，易知，故B錯(cuò)誤；勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體ABCD表面的截面，如圖2，則勒洛四面體截面面積最大值為三個(gè)半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積，即，故C錯(cuò)誤；勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球體積之間，正四面體底面面積為，底面所在圓的半徑為，故正四面體的高為，所以正四面體ABCD的體積，設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為，則由題意得：，解得：，所以外接球體積所以勒洛四面體的體積，D正確.故選：AD13．(2023·湖南常德·一模）已知是球的球面上的四點(diǎn)，為球的直徑，球的表面積為，且，，則直線與平面所成角的正弦值是___________.答案：【解析】依題意，是中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，使，連接，如圖，則有，且四邊形是平行四邊形，，因，則是平面截球O所得截面小圓的圓心，于是得平面，平面，因此，是直線與平面所成角，由球的表面積為得球半徑，而，則，而，從而得，，中，，，所以直線與平面所成角的正弦值是.故答案為：14．(2023·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）如圖，直三棱柱，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，D為AA1的中點(diǎn)，則四棱錐D-BB1FE的外接球表面積為_