新高考高中數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)全透視專題3.8函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系(專題訓(xùn)練卷)(原卷版+解析)

專題3.8函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系（專題訓(xùn)練卷）一、單選題1．（2023·山西晉中·高三（理））已知集合，，則等于（）A． B． C． D．2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．3.（2023·河南南陽市·南陽中學(xué)）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象可以為（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)a滿足f(a)＝f(a－1)，則f（）＝()A．2 B．4C．6 D．85．（2023·合肥市第六中學(xué)）已知函數(shù)滿足∶當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，且，設(shè)，則()A．沒有最小值 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為6．（2023·天津高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個不同的實(shí)根，則數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8.（2023·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)使，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國）已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，，則的可能是（）A．20 B．21 C．30 D．3210.（2023·普寧市普師高級中學(xué)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)在，之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時， B．C． D．11．（2023·全國高一課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程，則下列結(jié)論中正確的是（）A．方程有一個正根一個負(fù)根的充要條件是B．方程有兩個正根的充要條件是C．方程無實(shí)數(shù)根的必要條件是D．當(dāng)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根之和為012.（2023·遼寧高三月考）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，，則（）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于對稱C．在上有3個實(shí)數(shù)根 D．三、填空題13．（2023·浙江高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.14.（2023·江蘇省高三其他）設(shè)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)(如，)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_______.15．（2023·上海高三三模）函數(shù)，如果方程有四個不同的實(shí)數(shù)解、、、，則．16．（2023·懷仁市第一中學(xué)校（文））在下列命題中，正確命題的序號為___________.（寫出所有正確命題的序號）①函數(shù)的最小值為；②已知定義在上周期為4的函數(shù)滿足，則一定為偶函數(shù)；③定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則；④已知函數(shù)，若，則.四、解答題17.（2023·福建上杭一中高三月考）已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；18．（2023·全國高三專題練習(xí)）已知，，，試比較實(shí)數(shù)a?b?c的大小關(guān)系.19．（2023·全國高三專題練習(xí)）求二元函數(shù)的最小值．20．（2023·重慶市第二十九中學(xué)校）設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值．21．（2023·云南省玉溪第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)．（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（2023·浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高二月考）已知函數(shù)，若對于任意的與，且有，均滿足：（1）求a的取值范圍？（2）當(dāng)，函數(shù)的最小值為M（a），對于給定范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)a，求得M（a）的最小值.專題3.8函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系（專題訓(xùn)練卷）一、單選題1．（2023·山西晉中·高三（理））已知集合，，則等于（）A． B． C． D．答案：A分析：分別解出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，由，（1），（1）結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得方程的解在，內(nèi)．故選：．3.（2023·河南南陽市·南陽中學(xué)）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象可以為（）A． B．C． D．答案：C分析：由題可得和是方程的兩個根，求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出.【詳解】由題可得和是方程的兩個根，且，，解得，則，則函數(shù)圖象開口向下，與軸交于.故選：C.4．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)a滿足f(a)＝f(a－1)，則f（）＝()A．2 B．4C．6 D．8答案：D【解析】(1)由題意得a>0.當(dāng)0<a<1時，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，則f（）＝f(4)＝8.當(dāng)a≥1時，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．故選D.5．（2023·合肥市第六中學(xué)）已知函數(shù)滿足∶當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，且，設(shè)，則()A．沒有最小值 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為答案：B分析：根據(jù)已知條件，首先利用表示出，然后根據(jù)已知條件求出的取值范圍，最后利用一元二次函數(shù)并結(jié)合的取值范圍即可求解.【詳解】∵且，則，且，∴，即由，∴，又∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，故有最小值.故選：B.6．（2023·天津高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個不同的實(shí)根，則數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A【解析】作出函數(shù)的圖像和直線，如圖所示，當(dāng)，函數(shù)的圖像和直線有三個交點(diǎn)，所以.故選：A7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A分析：分析函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式，再根據(jù)條件列出不等式即可得解.【詳解】當(dāng)時，，則在上遞減，當(dāng)時，，則在上遞減，于是得在上是減函數(shù)，因此，不等式等價(jià)于，解得，依題意，存在，使成立，從而得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A8.（2023·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)使，且，則的最小值為（）A． B． C． D．答案：B分析：由題設(shè)可得，又即為方程兩個不等的實(shí)根，即有，結(jié)合、得，即可求其最小值.【詳解】由題意知：當(dāng)有，∵知：是兩個不等的實(shí)根.∴，而，∵，即，∴，令，則，∴當(dāng)時，的最小值為.故選：B二、多選題9．（2023·全國）已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，，則的可能是（）A．20 B．21 C．30 D．32答案：BC分析：由題意設(shè)，求得，（1），（3），設(shè)，求得，，再由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍，從而判斷出結(jié)果．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，設(shè)，由，（1），可得，，又（3），設(shè)，可得，，解得，，則（3）（1），，（1），可得（3）．即（3）的取值范圍是，，符合條件只有選項(xiàng)BC.故選：BC．10.（2023·普寧市普師高級中學(xué)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)在，之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時， B．C． D．答案：AC分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象及對稱軸即可判斷；【詳解】解：依題意拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為，所以當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；拋物線與軸交于點(diǎn)，且，，，，，，，，，所以C正確，D錯誤；故選：AC．11．（2023·全國高一課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程，則下列結(jié)論中正確的是（）A．方程有一個正根一個負(fù)根的充要條件是B．方程有兩個正根的充要條件是C．方程無實(shí)數(shù)根的必要條件是D．當(dāng)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根之和為0答案：ABC分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合根的分布情況、對應(yīng)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】A選項(xiàng)中，方程有一個正根一個負(fù)根則即；同時時方程有一個正根一個負(fù)根；是方程有一個正根一個負(fù)根的充要條件.B選項(xiàng)中，方程有兩個正根則即；同時時方程有兩個正根；是方程有兩個正根的充要條件.C選項(xiàng)中，方程無實(shí)數(shù)根則即；而時方程可能無實(shí)根也可能有實(shí)根；故是方程無實(shí)數(shù)根的必要條件.D選項(xiàng)中，時知方程無實(shí)根；故選：ABC12.（2023·遼寧高三月考）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，，則（）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于對稱C．在上有3個實(shí)數(shù)根 D．答案：BC【解析】由為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對稱，可判定B正確；由是奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，得到和，根據(jù)題意，求得，可判定D不正確；由，可判定A不正確；由，可判定C正確.【詳解】根據(jù)題意，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即，所以B正確；由函數(shù)是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，可得，則，即函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，可得，即，所以D不正確；由函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，可得，因?yàn)?，令，可得，所以，所以函?shù)一定不是偶函數(shù)，所以A不正確；當(dāng)時，，所以，由，可得，又由，所以C正確.故選：BC.三、填空題13．（2023·浙江高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.答案：2分析：由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.14.（2023·江蘇省高三其他）設(shè)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)(如，)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_______.答案：2【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，即方程的根的個數(shù)..當(dāng)時，.當(dāng)時，或或（舍）.當(dāng)時，，方程無解.綜上，方程的根為，1.所以方程有2個根，即函數(shù)有2個零點(diǎn).故答案為：2.15．（2023·上海高三三模）函數(shù)，如果方程有四個不同的實(shí)數(shù)解、、、，則．答案：4【解析】作出函數(shù)的圖象，方程有四個不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)為和的圖象有4個交點(diǎn)，不妨設(shè)它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、、、，且，由、關(guān)于原點(diǎn)對稱，、關(guān)于對稱，可得，，則．故答案為：4．16．（2023·懷仁市第一中學(xué)校（文））在下列命題中，正確命題的序號為___________.（寫出所有正確命題的序號）①函數(shù)的最小值為；②已知定義在上周期為4的函數(shù)滿足，則一定為偶函數(shù)；③定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則；④已知函數(shù)，若，則.答案：②③④分析：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】①當(dāng)時，無最小值，故①錯誤；②因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又的周期為4，所以，救函數(shù)一定為偶函數(shù)，故②正確；③因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，所以，，，故.又，，所以，故③正確；④因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則，有，所以，故④正確.故答案為：②③④四、解答題17.（2023·福建上杭一中高三月考）已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；答案：（1）；（2）.分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)，偶函數(shù)的定義以及題意可知，，，即可求出，得到函數(shù)的解析式；（2）由偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性可得，即，即可解出．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范圍為．18．（2023·全國高三專題練習(xí)）已知，，，試比較實(shí)數(shù)a?b?c的大小關(guān)系.答案：分析：由題意化為，則點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到，，再利用作差比較得到，即可求解.【詳解】由，可得，則點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，由，可知是上方的點(diǎn)，如圖所示，故滿足的點(diǎn)應(yīng)為陰影內(nèi)的拋物線上除去的點(diǎn)，所以，，又由，所以，綜上可得：.故答案為：.19．（2023·全國高三專題練習(xí)）求二元函數(shù)的最小值．答案：分析：解法一看成關(guān)于x的二次函數(shù)，y為參數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；解法二由二元函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將函數(shù)關(guān)系看成是點(diǎn)和點(diǎn)的距離，再由點(diǎn)的軌跡是直線，點(diǎn)的軌跡是雙曲線，轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)和雙曲線上的點(diǎn)的距離平方的最小值求解.【詳解】解法一（二次函數(shù)極值法）：首先看成關(guān)于x的二次函數(shù)，y為參數(shù)．，頂點(diǎn)在，且開口向上的拋物線．所以（時最?。夥ǘ?gòu)造法）：由二元函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可將函數(shù)關(guān)系看成是點(diǎn)和點(diǎn)的距離，而點(diǎn)的軌跡是直線，點(diǎn)的軌跡是雙曲線，所以問題就轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)和雙曲線上的點(diǎn)的距離平方的最小值，如圖所示：由圖可知：連線過原點(diǎn)且與直線垂直時，其交點(diǎn)C到點(diǎn)B最近，此時A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，即的最小值是．20．（2023·重慶市第二十九中學(xué)校）設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值．答案：（1）；（2）．分析：（1）由不等式的解集．，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求，值；（2）由，得到，將所求變形為展開，利用基本不等式求最小值．【詳解】解：（1）∵的解集為，是的兩根，．（2）由于，，，則可知，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時成立，所以的最小值為.21．（2023·云南省玉溪第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)．（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：（1），；（2）.分析：（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系，可將問題轉(zhuǎn)化為，是一元二次方程的兩根，再根據(jù)韋達(dá)定理列方程組可解得；（2）不等式恒成立，分離參數(shù)可得，令轉(zhuǎn)化為求最小值即可．【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以的解集為，所?，是一元二次方程的兩根．可得，解得．（2）當(dāng)時，不等式恒成立，則對于恒成立，令，，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，所以，所以的取值范圍為．22．（2023·浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高二月考）已知函數(shù)，若對于任意的與，且有，均滿足：（1）求a的取值范圍？（2）當(dāng)，函數(shù)的最小值為M（