人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）同步講義第38講 5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（教師版）

第06講5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。②會(huì)求正、余弦函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸及最值，及結(jié)合函數(shù)的圖象會(huì)求函數(shù)的解析式，并能求出相關(guān)的基本量。會(huì)求正、余弦函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)區(qū)間，會(huì)求兩類(lèi)函數(shù)的最值.知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0,如果存在一個(gè)非零常數(shù)SKIPIF1<0,使得對(duì)每一個(gè)SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,那么函數(shù)SKIPIF1<0就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)SKIPIF1<0叫做這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期的定義如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做SKIPIF1<0的最小正周期.

【即學(xué)即練1】（2023春·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.知識(shí)點(diǎn)02：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)奇偶性SKIPIF1<0奇函數(shù)SKIPIF1<0偶函數(shù)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)；【即學(xué)即練2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】12【詳解】由于SKIPIF1<0，依題意可知SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)03：正弦、余弦型函數(shù)的常用周期函數(shù)最小正周期SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0無(wú)周期SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即學(xué)即練3】（2023秋·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不恒相等，故SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)04：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象定義域定義域SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0周期性SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個(gè)閉區(qū)間SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間SKIPIF1<0(SKIPIF1<0上都單調(diào)遞減在每一個(gè)閉區(qū)間SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都單調(diào)遞減最值當(dāng)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)時(shí)，SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)時(shí)，SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)時(shí)，SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)時(shí)，SKIPIF1<0;圖象的對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),對(duì)稱(chēng)軸為直線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)對(duì)稱(chēng)中心為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),對(duì)稱(chēng)軸為直線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）y＝cosSKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即所求單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型01三角函數(shù)的周期問(wèn)題及簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，最小正周期為SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故A不符合；函數(shù)SKIPIF1<0，其最小正周期為SKIPIF1<0，故B不符合；因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故C符合；因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故D不符合.故選：C.【典例2】（多選）（2023秋·河北秦皇島·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是SKIPIF1<0的函數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】對(duì)于A，函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即SKIPIF1<0是奇函數(shù)，且注意到其周期為SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B：函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：SKIPIF1<0，由A選項(xiàng)分析易知SKIPIF1<0是奇函數(shù)，同時(shí)也是最小正周期是SKIPIF1<0的周期函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【典例3】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的最小正周期．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以自變量SKIPIF1<0至少要增加到SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值才能重復(fù)出現(xiàn)，所以函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0的最小正周期為π，且函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是將函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在x軸下方的部分對(duì)折到SKIPIF1<0軸上方，并且保留在SKIPIF1<0軸上方圖象而得到的．由此可知所求函數(shù)的最小正周期為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對(duì)于A，函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故A不符合題意；對(duì)于B，作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，

由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)SKIPIF1<0，其圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0不是周期函數(shù)，故D不符合題意.故選：B.【變式2】（多選）（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0；對(duì)于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0；對(duì)于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0；對(duì)于D，∵SKIPIF1<0，∴函數(shù)圖象關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)，不具有奇偶性，故錯(cuò)誤.故選：ABC【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求下列函數(shù)的最小正周期．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)最小正周期為SKIPIF1<0．(2)最小正周期為SKIPIF1<0．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又最小正周期SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0．（2）畫(huà)出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，如圖所示，

由圖象可知，函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0．題型02三角函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為奇函數(shù)的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，定義域?yàn)镽，此時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為奇函數(shù)，故充分性成立，而當(dāng)SKIPIF1<0為奇函數(shù)時(shí)，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不一定為SKIPIF1<0，故必要性不成立，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為奇函數(shù)的充分不必要條件.故選：B【典例2】（多選）（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0的取值可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】SKIPIF1<0為偶函數(shù)，因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確，故選：SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】∵SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【典例4】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0的最小正值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數(shù)，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0取最小正值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）使函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的一個(gè)值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由函數(shù)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為奇函數(shù)，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故選：D.【變式2】（多選）（2023秋·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則SKIPIF1<0的值不可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】由函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，無(wú)論SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0都不可能等于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：ABD．【變式3】（2023秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】2【詳解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)有SKIPIF1<0.故答案為：2【變式4】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為R上的奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型03函數(shù)奇偶性與周期性、單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性的綜合問(wèn)題【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是單調(diào)函數(shù)，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是單調(diào)函數(shù)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小正周期為2.若存在SKIPIF1<0，使得對(duì)于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由已知條件可得SKIPIF1<0的最小正周期為4，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，因?yàn)榇嬖赟KIPIF1<0，使得對(duì)于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選:A.【典例3】（2023秋·山西·高三統(tǒng)考期末）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)SKIPIF1<0的解析式.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，滿足條件即可）【詳解】解：由①SKIPIF1<0可知，函數(shù)SKIPIF1<0圖像關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)；由②SKIPIF1<0可知函數(shù)SKIPIF1<0圖像關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)；所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，故考慮余弦型函數(shù)，不妨令SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足性質(zhì)①②，由③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增可得SKIPIF1<0，故不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時(shí)滿足已知三個(gè)條件.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，若SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：A.【變式2】2023·河南·開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3 B．3或7 C．5 D．7【答案】D【詳解】由題意，函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（不符合題意，舍去）；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合題意，所以SKIPIF1<0.故選：D.【變式3】（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的值可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，要使SKIPIF1<0為奇函數(shù)，因?yàn)镾KIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)，所以只需使SKIPIF1<0為偶函數(shù)即可，所以SKIPIF1<0，故符合題意的有B、D；故選：BD【變式4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某函數(shù)SKIPIF1<0滿足以下三個(gè)條件：①SKIPIF1<0是偶函數(shù)；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最大值為4．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)SKIPIF1<0的解析式．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，所以4為SKIPIF1<0的一個(gè)周期，又SKIPIF1<0的最大值為4，所以SKIPIF1<0滿足條件.故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一）題型04求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，故單調(diào)增區(qū)間：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023·高一單元測(cè)試）函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)減區(qū)間為【答案】SKIPIF1<0【詳解】正弦函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，并指出它的最小正周期、最值及單調(diào)區(qū)間.【答案】圖象見(jiàn)解析，最小正周期為SKIPIF1<0，最大值為5，最小值為1，減區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，增區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【詳解】①列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<035313②描點(diǎn).③連線成圖，將這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象向左、右兩邊擴(kuò)展即得SKIPIF1<0的圖象.如圖所示.

函數(shù)的最小正周期SKIPIF1<0，最大值為5，最小值為1，函數(shù)的減區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，增區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增．故選：B.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）y＝cosSKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即所求單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【詳解】SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．題型05利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小【典例1】（2023春·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由誘導(dǎo)公式知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，所以SKIPIF1<0，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C選項(xiàng)正確.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【典例3】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小.(1)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；(2)cos1與sin2.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例4】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）不求值，分別比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。海?）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；

（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】解：（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范圍內(nèi)單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【變式1】（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┝頢KIPIF1<0，SKIPIF1<0，判斷a與b的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．無(wú)法判斷【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0．（2）由于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0．【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）比較下列各組數(shù)的大小：(1)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．利用誘導(dǎo)公式化為同一單調(diào)區(qū)間上的角．∵函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0．（中間值法）又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．題型06已知三角函數(shù)的單調(diào)情況求參數(shù)問(wèn)題【典例1】（2023秋·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)有最大值，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最大值，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)橐骃KIPIF1<0的最大值，所以這里可只考慮SKIPIF1<0的情況，又因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選：C.【典例2】（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在區(qū)SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)閷?duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最大值，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省當(dāng)涂第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意有SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，故必有SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0不單調(diào)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)軸方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0不單調(diào)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0滿足題意.故選：C.【變式2】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且最小值為負(fù)值，則SKIPIF1<0的值可以是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且最小值為負(fù)值，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且最小值為負(fù)值，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上所述SKIPIF1<0.故選：A.【變式3】（多選）（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值可以是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】AB【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0的值可以是SKIPIF1<0．故選：AB．【變式4】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高一朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)閰^(qū)間SKIPIF1<0的左端點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)軸，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型07三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，則它的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)榈腟KIPIF1<0最小正周期為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)軸為直線SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，其它各項(xiàng)均不符合，所以SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)軸，故選：A．【典例2】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一條對(duì)稱(chēng)軸，且函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，顯然此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，符合題意，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，顯然此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意，故選：D【典例3】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，其圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【典例4】（2023春·北京·高一校考期中）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0的值可以是．（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的值即可）【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0，S