八年級(jí)數(shù)學(xué)上 冪的運(yùn)算和整式乘法

-.教學(xué)內(nèi)容：

事的運(yùn)算和整式乘法

二.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.掌握基的三種運(yùn)算，并能靈活運(yùn)用其解決一些數(shù)學(xué)問題。

2.掌握進(jìn)行整式乘法的方法。

三.知識(shí)講解：

（一）幕的運(yùn)算

1.同底數(shù)嘉的乘法

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

「nt*n^ni+n

a"（m、n為正整數(shù)）

推廣：aaa=a（m、n、p為正整數(shù)）

2.幕的乘方

嘉的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

—amn

V/-（m、n為正整數(shù)）

（/am\}n'=anmp

推廣：P7（m、n、p為正整數(shù)）

3.積的乘方

積的乘方是把積中每一個(gè)因式分別乘方，然后把所得的嘉相乘。

（町‘（m為正整數(shù)）

b，n

推廣：（曲C）'"=優(yōu),，,c"（m為正整數(shù)）

（二）整式的乘法

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，相同字母的幕相乘，對(duì)于只在一個(gè)

單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式。

2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式就用這個(gè)單項(xiàng)式去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，如

m^a+b+c）=ma+mb+me

3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的

積相加。

如.（?+Z?）（/n+n）=am+an+bm+bn

【典型例題】

例1.下列算式是否正確？如果錯(cuò)誤指出原因，并加以改正。

⑴/"3=2"(2)x5+x5=X10

⑶"?CJ=”9(4)b?b2?b4=b(,

(5)lOxlO8=1018

分析：要判斷以上各算式是否正確，主要是要搞清楚累的乘法與合并同類項(xiàng)的區(qū)別，而且

還要分清底數(shù)和指數(shù)。

33

解答：(1)錯(cuò)。錯(cuò)在將G混同于蘇+。3,正確結(jié)果為

(2)錯(cuò)。將/+/混同于/?丁,正確結(jié)果為2/。

(3)錯(cuò)。同底數(shù)嘉相乘的法則運(yùn)用錯(cuò)誤，底數(shù)不變，指數(shù)相加，誤為底數(shù)不變，指數(shù)相

乘，正確結(jié)果為。6。

(4)錯(cuò)。誤認(rèn)為b的指數(shù)為0,正確結(jié)果為小7。

(5)錯(cuò)。錯(cuò)在計(jì)算時(shí)把底數(shù)10與指數(shù)8相加，正確結(jié)果為10，

例2.計(jì)算：

⑴a3,a4,a'"

(2)3?(-4

⑶(一或一獷?(一4

(4)(a-bXb-a)2(a-b)3

⑸3x3?x9+x2,x'°-lx?xi?x8

⑹(a+by',(a+b)"2?(a+b)3+(a+by，+2?(a+b)"2

此例題中主要應(yīng)用同底數(shù)塞相乘法則。

分析：(1)指數(shù)有常數(shù)有未知數(shù)，但方法是一致的。

(2)(一y)=V注意符號(hào)。

(3)第一項(xiàng)指數(shù)為1,相加時(shí)不要忘。

(4)底數(shù)是多項(xiàng)式，并且是互為相反數(shù)，可適當(dāng)變形。

(5)(6)此兩題都為混合運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序和正確運(yùn)用相應(yīng)的計(jì)算法則，

并要正確區(qū)分同底數(shù)幕的乘法和整式的加減法的計(jì)算法則，在第(6)題的計(jì)算過程中要把

("+")看成一個(gè)整體計(jì)算。

解：⑴a3-a4?am=a3+4+m=a1+m

(2)?㈠)，=-J??/*=一/

⑶(W?(r)4=(-?+*=(-?=y8

(4)(a-bXb-a)2(a-b)3

二(Q-b)[a_/?)2(a-4

=(a-b)1+2+3

=("b)6

⑸原式=3x3+9+x2+,°—2X""8

=3X,2+X12-2X12

=2x'2

/7\//?-l+?-2+3/.\/H+2+n-2

(6)原式=("+")+(a+與

m+nm+n

=(a+b)+(a+b)

=2(a+h)"'+n

例3.已知22i=2'x26x2,且I。''?10、"=10”,求％+y的值。

分析：本題把同底數(shù)基相乘與解方程聯(lián)系起來，利用“同底數(shù)基相等，幕指數(shù)也相等”列

方程，從而解決問題。

例4.計(jì)算：

⑴（打⑵（-行

⑶KT（4）（叫2

⑹［（x+y）『［（"y）T

35332324

（7）a?a+a?（-a）+（-a）+（-a）

分析：此例題主要練習(xí)舞的乘方法則。

（1）中直接運(yùn)用球的乘方法則運(yùn)算。

（2）（3）注意一人與（一%）勿混淆。

（4）指數(shù)可含字母。

（5）題可按不同的順序進(jìn)行計(jì)算，但要正確運(yùn)用幕的乘方等性質(zhì)。

（6）題，要把（”+＞）視為一個(gè)整體。

（7）要注意按照運(yùn)算順序逐級(jí)運(yùn)算。

二3、43x4\2

a]=a=a

解：（1）

-%2\=-x2x7=-x14

(2)

[(-X)2]3=(X2)「=x2x3=X6

(3)

(4)

（5）解法1：

6]2]2

-a2一/『=a?a=々24

原式一

解法2：

2

-a6a6}2=a12?a'2a24

原式

(6)原式=(x+y)6(x+yr=a+?s

(7)原式=。8—。6—=2a8—2。6

例5.計(jì)算:

3

⑴Q班(a2an)2bnb

(2)

2

“J—2(m+n)3

(3)

a"5(a"+l.83”,-2)2_(優(yōu)一方“_2)3.(牙,"+2)

⑷

分析：（1）此題主要應(yīng)用積的乘方法則。

（2）題、（3）題，是同底數(shù)嘉的乘法，積的乘方和靠的乘方三個(gè)性質(zhì)的交替運(yùn)用，計(jì)算

時(shí)要分清運(yùn)算順序，可根據(jù)本題特點(diǎn)，靈活選擇解題順序。

（3）、（4）題要注意符號(hào)問題。

（4）題要注意合并同類項(xiàng)法則。

解：⑴Q孫2丫=23邛2）3=8壯6

?“3"

(a2aH)2^'=[a2+n)~bn+'

(2)

Q6/?+12〃3”+3

(3)氏+〃)11-2(加+〃)]

=33(/n+z?)~3(-2)"(m+

=27(/7?+H)6?4(m+〃)"

=108(m+n)12

⑷小51向?產(chǎn)-2)2_@T0吁2)3?1產(chǎn)+2)

a3n~3b6m~4+a3n~3b6m~4

例6.計(jì)算（一“）（。/°，〃為自然數(shù)）

分析：考慮到n是一個(gè)字母，它可以為偶數(shù)也可以為奇數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，要對(duì)

n分為偶數(shù)和奇數(shù)的情況進(jìn)行討論，才能作出正確的計(jì)算。

解答：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（一"）”=（-1）"優(yōu)=a"

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（一。）“=（T）"a"=一優(yōu)

例7,計(jì)算：已知10'"=2,10"=3,求io3m+2n。

分析：這一道題直接計(jì)算較為復(fù)雜，根據(jù)其特點(diǎn)逆向運(yùn)用幕的運(yùn)算法則較為簡(jiǎn)便。

103m+2“=103m.=的”丫.付丫

用?？冢?/\/

=23x32=8x9=72

例8.計(jì)算：

⑴（-9八（一|）x（l+J

22OO32005

（2）8X4X（-O.25）

分析：（1）將指數(shù)3、6、3化為同指數(shù)3,然后逆用積的乘方性質(zhì)。（2）將不同底數(shù)8、4、

-025化成相同的底數(shù)，然后重新組合逆用積的乘方性質(zhì)。

解答：（1）

43

XX

--

=(-6)3=9-2126

②82X42003X(^0.25)20°5

2005

=(23『x42003X

2005

4x4x

4x(-1)2005

4x(-1)=-4

例9.已知"=3",0=4",c=5",試比較a、b、c的大小。

分析：比較a、b、c直接計(jì)算太繁，a、b、c又不同底，經(jīng)觀察我們可以從a、b、c的指

數(shù)變形入手。累的大小比較（底數(shù)、指數(shù)都為正整數(shù)）常通過1化不同底為同底，或化不同指

數(shù)為相同指數(shù)兩種方法進(jìn)行。

a=355=35X"=(35)"=243"

解答:

0=4"=44X11=(44)"=256"

C=533=53*U=(53)"=125”

V125<243<256,：.c<a<b

例10.求N=2"x58是幾位正整數(shù)。

分析：題中N值較大，直接求解很困難，所以應(yīng)考慮運(yùn)用累的有關(guān)性質(zhì)先化簡(jiǎn)，寫成科

學(xué)記數(shù)法的形式，即可確定N的位數(shù)。

解答：V212x58=24x28x58=24x(2x5)8=16xlO8=1.6xl09

'N=2/x58是一個(gè)io位正整數(shù)

例11.已知2x+5y-3=0,求4*?32＞的值。

分析：已知條件是2x與5y的關(guān)系，而所求代數(shù)式的指數(shù)是x及y,故要求'32'的

值，需將它的指數(shù)轉(zhuǎn)化為（2尤+5力的形式，這根據(jù)哥的運(yùn)算性質(zhì)即可得。

解答.***2x+5y-3=0,/.2x4-5y=3

：.4X?32'=Q2）*?（25）y=22r?25y=22x+5y=2?=8

例12.下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（）

A-5m?（-IO///4）2=-500w9

B-3x'n+n?（4x'n-n）=-12x2m

C3a°。7c2-2/可_9a203c『=7594607c2

D（-1.25xIO?）x（TxQ）x（3x109）=-1.5xIO23

分析：從單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則及運(yùn)算的步驟來判斷以上的運(yùn)算是否正確。

解答：D

例例當(dāng)'一片時(shí),求代數(shù)式乂丁-6y+9）-y（y2-8y-15）+2y（3-y）的值。

分析：先化簡(jiǎn)，合并同類項(xiàng)，再求值，使得在求值時(shí)代數(shù)式達(dá)到最簡(jiǎn)化。

解答.y{y2一6y+9）-y^y2-8y-15）+2y（3-y）

=y3-6y2+9y-y3+Sy2+15y+6y-2y2

=30y

」=30x］」）=—5

當(dāng).6時(shí)，原式I67

/+衣+@（%2_3%+2）中不含/和一項(xiàng)，求b的值。

例14.已知

3232

分析：不含方、X項(xiàng)就是說按多項(xiàng)式乘法法則展開，再合并同類項(xiàng)后，式子中廣、X項(xiàng)

32

的系數(shù)為0,故本題可先將多項(xiàng)式按多項(xiàng)式乘法法則展開，合并同類項(xiàng)，然后令工、廠項(xiàng)的

系數(shù)為0,得到關(guān)于a、b的方程組，從而通過解方程組求出a、b的值。

x+ux+Z7)(x~-3x+2)

解答:

=x4-3x3+2x2+ax3-3ax2+2ax+bx2-3bx+2h

=/+g_3)/+(2_3〃+力了+QQ_3b)x+2b

a—3=0

<

根據(jù)題意得：[2-3a+b=0

a=3

<

解得：l"=7

例15.設(shè)a+Z?+c=abc,試證明：

a[\—b2)(]一c?)+力(1_42)(]一c?)+電一42)(]_〃)=4abe

分析：解答證明題時(shí)，先觀察等式，看等式的左、右兩邊哪一邊形式復(fù)雜，就從哪一邊開

始朝另一邊證明。本題顯然應(yīng)從等式的左邊開始計(jì)算。

解答：

,.,a(l-/72)(l-c2)+Z?(l-?2)(l-c2)+c(l-a2)(l-/?2)

=a(l-c2-b1+b2c2^+b(l-c2-a2+a2c2)+c(l-a2-b2+a2Z72)

=a—CLC~-cib~+cib~c~+b—bc~-ci~b+ci~bc~+c—ci~c—be+ci~b~c

=a+b+c-ac2-ab2+bc(a+b+c)-a2b-be2+ac(a+b+c)-a2c-

b2c+ab[a+b+c)

-a+b+c-ac2-ab2+abc+b2c+bc2-a2b-be2+a2c+abc+ac~-

a'c—b'c+a'b+ab2+ahc

—4abe

a(l-/J?)(1—c?)+Z?0—〃)(1—c?)+《1-/)(1_/?2)=4abe

【模擬試題】（答題時(shí)間：70分鐘）

選擇題。

1.下列等式正確的是（）

A5a2?7as=35a5B.5a5+7a5=35a5

21

（-3*.（一30=9/-an—am=-anni

cD.452

計(jì)算（一孫的結(jié)果是（

2.X,J*)

A.xR。B.x'y

C.WD.x6y

f-"-a2y^?（10a2y2）

3.k107的計(jì)算結(jié)果為（）

----48y5

A.100-B.

185

—a8/---ay

C.100-D.10

4計(jì)算（OS*】。戶Qi叫2的結(jié)果是（）

A.2xl013B.0.5xlO14

C.8xl021D.2x1021

5.下面計(jì)算中，錯(cuò)誤的是（）

-4a（2a2+%-1）=-Sa3-12/+4。

A.

B.

一

7）4/1+1）=72/+9-3/

C.

2a2-"

?（-9a）=-l&J+6CJ+4。

D.39

6,計(jì)算2m~~機(jī)Qm-5n）-n（5m-〃）的結(jié)果是（）

A.-n2B.n2

C.-10m/?+7i2D.10m/i+n2

3m+6（4m2--—\-4

7.計(jì)算I237的結(jié)果是（）

A.24m2-4B.24m?+6m+4

C.24M+6mD.24m2

8.計(jì)算（一3孫2）,（2/fz+1）的結(jié)果是（）

A-3xy4+3x2y3+3Ay2

B-6xy4-k3x2y3z-3xy2

Q—6xy4—y^z—3xy~

D-6孫4+3元2y

9適合2》a一1）一》（2》-5）=12的*的值為（）

A.2B.1C.4D.0

10.一個(gè)二項(xiàng)式與一個(gè)三項(xiàng)式相乘，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)是（）

A.二項(xiàng)B.三項(xiàng)

C.五項(xiàng)D.六項(xiàng)

11.下列計(jì)算，結(jié)果錯(cuò)誤的是（）

A（〃+h）（x+y）=QX+ay++by

B（a-Z?Xx-y）=cix-ay+bx-by

C（a-b\xy）=axay-bx-by

D（a+Z?）（x-y）=ax-ay+bx-by

12.計(jì)算I2八3/得（）

5151

X2d--X---X2---X---

A.66B.66

1111

X2H--X---X2d--XH—

C.66D.66

13.計(jì)算'一（"+1）（”一5）的結(jié)果是（）

A.-4x_5B.4x+5

c.X2-4x+5D.X1+4x-5

14.當(dāng)x=2時(shí),代數(shù)式（冗+12）（/_2）+（%+7）卜+8）_（%+5）（%-10）的值是（）

A.146B.145C.144D.143

15若（x+叼與'5,的積不含有*的一次項(xiàng)，則m的值為（）

A.5B,5C.5D.-5

二.填空題。

16.計(jì)算：（一7/力（74+4力=。

y2一；孫_1

-3x3

17.計(jì)算：

18.方程6x（7-x）=36—2x（3x-15）的解是。

19.已知梯形的上底長(zhǎng)為（a+2b）,下底長(zhǎng)為（2。+3力），高為S+匕），則梯形的面積為

___________O

20.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加了3cm,它的面積就增加39c機(jī)2,則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是

三.解答題。

21.計(jì)算：

(1)5/y3.(-3x2y)

(4)(-2-)2?(-3孫2)3

⑸?(ab)?(-lab)

22

(6)5/y?(-3y)+(-xy)?(-6xy)

⑺(一1?(_4*+0

一(Q+6)”?(a-b)4?—(Q+b)4(a-b)s

(8)8'9

22.計(jì)算：

(1)(-4y)-(2/+3y-l)

仁孫2_2xy].xy

(2)13)2

(3)(—2ab”?(3a?b-2ab-4t>3)

3町6xy-9缶

(4)L'3yJ

-2a2.{—ab+b2\-5a(a'b-ab2^

(5)12)

23.計(jì)算：

⑴(y+4，y-5)

(2)(5m+2)(4〃2_3)

24.先化簡(jiǎn)，再求值：

(1)4.7+1)+2(2/—1)+4(心)其中.1。

⑵(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=_2。

25.小明家果園里有一塊長(zhǎng)方形的橘子林，橫向栽了5x棵，縱向栽了8x棵，請(qǐng)你計(jì)算一下,

小明家一共有橘子樹多少棵？

26.有一種打印紙長(zhǎng)acm、寬bcm,打印某文檔時(shí)設(shè)置的上下邊距均為2.5cm,左右邊距

均為2.8cm,那么一張這樣的打印紙的實(shí)際打印面積是多大？