高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何與空間向量培優(yōu)專題11球的切、接、截問題學(xué)案

球的切、接、截問題[培優(yōu)技法]1．球的截面有關(guān)性質(zhì)解決球的截面問題抓住以下幾個(gè)方面：(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構(gòu)成的直角三角形)．球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為：R2＝d2＋r2．2．柱體的外接(內(nèi)切)球正方體和長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn)．球的直徑等于球的內(nèi)接長方體的體對角線長．結(jié)論：(1)球(半徑為R)與正方體(棱長為a)有以下三種特殊情形：①球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2R＝a；②球與正方體的棱相切，此時(shí)2R＝2a；③球外接于正方體，此時(shí)2R＝3a．(2)若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，則外接球的半徑是a23．錐體的外接(內(nèi)切)球正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐、相對棱相等的三棱錐，這些幾何體的外接球問題可以補(bǔ)形成長方體或正方體來解決．正四面體的內(nèi)切球、外接球的球心都是正四面體的中心，它是高的一個(gè)四等分點(diǎn)，若四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球半徑為612a，外接球半徑為64[培優(yōu)案例][例1](2024·臨沂質(zhì)檢)在半徑為6的球的內(nèi)部有一點(diǎn)，該點(diǎn)到球心的距離為4，過該點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是()A．11π B．20πC．32π D．27πB[設(shè)球心為O，內(nèi)部點(diǎn)為D，則截面與OD垂直時(shí)截面圓的半徑最小，相應(yīng)的截面圓的面積有最小值．因?yàn)榘霃綖?的球的內(nèi)部有一點(diǎn)，該點(diǎn)到球心的距離為4，所以截面與OD垂直時(shí)截面圓的半徑為36-16＝20，所以截面面積的最小值為20π．故選B．][例2](1)(2024·湛江模擬)一個(gè)長方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為1，2，3，則此球的表面積為________．(2)(2024·南昌調(diào)研)若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則S1(1)14π(2)63π[(1)長方體外接球直徑等于長方體體對角線長，設(shè)外接球半徑為則2R＝12+2所以球的表面積S＝4πR2＝14π．(2)設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4×34×a2＝3a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的14，即r＝14×63a＝612a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝πa26[例3](1)(2024·合肥模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，且∠BAC＝3π4，AA1＝BC＝2，則球A．43πB．8πC．12πD．20π(2)(2024·太原模擬)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，則此三棱錐的外接球的體積為()A．83π B．8C．163π D．32(1)A(2)B[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r＝BC2sin∠BAC＝2則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R＝r2+AA1則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的體積為43πR3＝43(2)∵AB＝5，BC＝7，AC＝2，∴PA＝1，PC＝3，PB＝2．以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖所示，則長方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的