專題01二次根式-2024年新九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（滬科版 溫故復(fù)習(xí)）

專題01二次根式知識點1：二次根式的概念1.二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負數(shù)；2．二次根式有意義的條件（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．【拓展】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點2：二次根式的性質(zhì)與化簡1.二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）2.二次根式的化簡：（1）方法：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（2）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．3．最簡二次根式（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．（2）最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．知識點3：二次根式的運算1．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．3．同類二次根式（1）定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．（2）方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．5．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．7．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．題型歸納【題型1二次根式的定義】滿分技法判斷二次根式，厘清“是”“否”是關(guān)鍵.1．（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．2．（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為A． B． C． D．3．（2021春?廬江縣期中）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是A．4 B．5 C．6 D．74．（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定”【題型2二次根式有意義的條件】滿分技法技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟第1步:根據(jù)二次根式的概念(被開方數(shù)是非負數(shù))列不等式(組);第2步:解這個不等式(組)得到字母的取值范圍.技法二：確定二次根式中字母取值的方法(1)若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式(組)求解;若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式(組)求解.(2)若一個式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個條件，從而列不等式(組)求解.5．（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．6．（2024春?安慶期中）若，則等于A．1 B．5 C． D．7．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）若二次根式有意義，則的取值范圍A． B． C． D．8．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的值可能為A．2025 B．2023 C． D．2022【題型3二次根式的性質(zhì)與化簡】滿分技法(1)化簡二次根式要嚴格按照，進行.(2)正確區(qū)分與的異同點是化簡二次根式的關(guān)鍵.(3)化簡形如的式子時,一般分兩步:第1步:將其化為的形式;第2步:根據(jù)的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.9．（2024春?廬江縣期中）化簡的結(jié)果正確的是A．3 B． C．4 D．10．（2024春?瑤海區(qū)期中）若，則化簡的結(jié)果是A． B．1 C． D．11．（2023春?舒城縣校級期中）化簡的結(jié)果是A． B． C． D．12．（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是A． B． C． D．【題型4最簡二次根式】滿分技法最簡二次根式滿足的三個條件：(1)被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母,即被開方數(shù)是整數(shù)或整式;(2)被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式;(3)分母中不含有根號.13．（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是A． B． C． D．14．（2024春?瑤海區(qū)期中）在中，最簡二次根式有個．A．1 B．2 C．3 D．415．（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【題型5二次根式的乘除法】滿分技法技法一：(1)二次根式相乘時,把被開方數(shù)和各個根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù)，把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù),即,其中.(2)二次根式相乘,被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時，一定要開方.(3)有理數(shù)中的運算律、運算法則在二次根式的乘法中仍然適用.技法二：(1)兩個二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應(yīng)相除，根號內(nèi)的被開方數(shù)與被開方數(shù)對應(yīng)相除，再把除得的結(jié)果相乘，即,其中.(2)被開方數(shù)相除時,可以用法則“除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”進行約分，再利用二次根式的乘法法則得出最終結(jié)果.16．（2023春?譙城區(qū)期中）下列運算錯誤的是A． B． C． D．17．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計算．18．（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：．【題型6分母有理化】滿分技法分母有理化時，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理化因式.19．（2023春?金安區(qū)期中）已知，，則，的關(guān)系是A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式20．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）比較大小：．（填“”“”或“”21．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知：，求代數(shù)式的值．22．（2022春?迎江區(qū)校級期末）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例，例，，，（1），；（2）請你用含為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．23．（2023春?貴池區(qū)期中）已知，；（1）求的值；（2）若的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．【題型7同類二次根式】滿分技法(1)同類二次根式必須同時滿足最簡二次根式和被開方數(shù)相同兩個條件.它與根號外面的因數(shù)(因式)無關(guān).(2)當(dāng)兩個二次根式不是最簡二次根式時，要先化簡，再判斷.24．（2023春?蚌埠期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．25．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）下列二次根式，能與合并的是A． B． C． D．26．（2024春?大觀區(qū)校級期中）若與最簡二次根式可以合并，則．【題型8二次根式的加減法】滿分技法（1）二次根式的加減，實際上只是對同類二次根式的合并，不是同類二次根式的不能合并，但也不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分.（2）二次根式的運算過程中,根號外的系數(shù)不能是帶分數(shù)，應(yīng)化為假分數(shù).（3）在二次根式的運算中，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則仍然適用.27．（2023春?長豐縣期末）計算：．28．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計算：．29．（2023春?淮北期末）計算：．【題型9二次根式的混合運算】滿分技法二次根式混合運算中的三大妙招：(1)根據(jù)算式特點靈活選用乘法公式，并且根據(jù)解題需要逆用公式；(2)應(yīng)用乘法公式時，經(jīng)常要把算式的一部分作為一個整體套用公式，但一定要注意變形時的符號問題；(3)在乘方和乘法運算中,運用結(jié)合律調(diào)整運算順序,也可簡化運算.30．（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）計算的結(jié)果是A． B． C． D．131．（2024春?金安區(qū)校級期中）計算．32．（2024春?包河區(qū)期中）計算：的結(jié)果是．33．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計算：．【題型10二次根式的化簡求值】滿分技法二次根式的化簡與求值往往會運用到“整體代入法”.如果所求代數(shù)式中含有某些特殊的整體，這些整體的取值已知或者能夠很容易地求出，那么我們就可以將這些整體的取值直接代入求值，從而簡化計算過程.34．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若，則代數(shù)式的值為A．2007 B． C．2024 D．35．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若，，則的值為A．4 B． C．16 D．4或36．（2024春?廬江縣期中）已知，則代數(shù)式的值是．37．（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【題型11二次根式的應(yīng)用】滿分技法解規(guī)律探究題的一般方法(1)操作:運用相關(guān)知識對給出的算式求出結(jié)果;(2)觀察與發(fā)現(xiàn):觀察操作中所列出的式子或等式,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律;(3)猜想:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行猜想,得出一般性的結(jié)論;(4)應(yīng)用:運用得出的一般性結(jié)論解決問題38．（2024春?黃山期中）如圖，在矩形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為A． B． C． D．39．（2024春?大觀區(qū)校級期中）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘數(shù)學(xué)家海倫的成果并稱“海倫秦九韶公式”．它的主要內(nèi)容是：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，為三角形的面積，，若一個三角形的三邊長分別為，，，，，且，則值為A． B． C． D．1040．（2024春?合肥期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為的盒子底部（如圖②，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是A． B． C． D．過關(guān)檢測1．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）下列是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則化簡后為A．7 B． C． D．3．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）下列各式中，與是同類二次根式的為A． B． C． D．4．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）若與最簡二次根式能合并，則的值為A．0 B．1 C．2 D．35．（2024春?潘集區(qū)期中）計算的結(jié)果是A． B． C． D．6．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）使式子有意義的的取值范圍是．7．（2024春?黃山期中）已知，則．8．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）化為最簡二次根式為．9．（2023春?花山區(qū)校級期中）已知，，則．10．（2024春?潘集區(qū)期中）計算：（1）；（2）．11．（2023春?潁州區(qū)校級期中）已知，，分別求下列代數(shù)式的值：（1）；（2）．12．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）觀察下列等式，解答問題．；；；（1）請直接寫出第5個等式：；（2）利用上述規(guī)律，比較與的大?。唬?）直接寫出．

專題01二次根式知識點1：二次根式的概念1.二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負數(shù)；2．二次根式有意義的條件（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．【拓展】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點2：二次根式的性質(zhì)與化簡1.二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）2.二次根式的化簡：（1）方法：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（2）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．3．最簡二次根式（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．（2）最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．知識點3：二次根式的運算1．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．3．同類二次根式（1）定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．（2）方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．5．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．7．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．題型歸納【題型1二次根式的定義】滿分技法判斷二次根式，厘清“是”“否”是關(guān)鍵.1．（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)一般地，我們把形如的式子叫做二次根式判斷即可．【解答】解：選項，是三次根式，故該選項不符合題意；選項，是負數(shù)，故該選項不符合題意；選項，2是正數(shù)，故該選項符合題意；選項，時不是二次根式，故該選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義得出形如：是二次根式，進而判斷即可．【解答】解：、，，故不是二次根式，故此選項錯誤；、，是三次根式，故不是二次根式，故此選項錯誤；、，則，故是二次根式，故此選項正確；、，，故不是二次根式，故此選項錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了二次根式定義，利用定義分別判斷得出是解題關(guān)鍵．3．（2021春?廬江縣期中）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】因為是整數(shù)，且，則是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)為7．【解答】解：，且是整數(shù)；是整數(shù)，即是完全平方數(shù)；的最小正整數(shù)值為7．故選：．【點評】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)．二次根式的運算法則：乘法法則．除法法則．解題關(guān)鍵是分解成一個完全平方數(shù)和一個代數(shù)式的積的形式．4．（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式不一定是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定”【答案】不一定．【分析】根據(jù)二次根式的定義解答即可．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，代數(shù)式不是二次根式，代數(shù)式不一定是二次根式．故答案為：不一定．【點評】本題考查的是二次根式的定義，熟知一般地，我們把形如的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．【題型2二次根式有意義的條件】滿分技法技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟第1步:根據(jù)二次根式的概念(被開方數(shù)是非負數(shù))列不等式(組);第2步:解這個不等式(組)得到字母的取值范圍.技法二：確定二次根式中字母取值的方法(1)若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式(組)求解;若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式(組)求解.(2)若一個式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個條件，從而列不等式(組)求解.5．（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得，解得，即的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．6．（2024春?安慶期中）若，則等于A．1 B．5 C． D．【答案】【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件可以確定的值，進而求出的值，再將、的值代入要求的式子即可．【解答】解：，且，，，．故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．7．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）若二次根式有意義，則的取值范圍A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解即可．【解答】解：由題意得：，解得：．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．8．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的值可能為A．2025 B．2023 C． D．2022【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出的范圍．【解答】解：由題意可知：，解得，故選：．【點評】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建不等式組解決問題．【題型3二次根式的性質(zhì)與化簡】滿分技法(1)化簡二次根式要嚴格按照，進行.(2)正確區(qū)分與的異同點是化簡二次根式的關(guān)鍵.(3)化簡形如的式子時,一般分兩步:第1步:將其化為的形式;第2步:根據(jù)的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.9．（2024春?廬江縣期中）化簡的結(jié)果正確的是A．3 B． C．4 D．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則得到，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)：．也考查了二次根式的乘法法則．10．（2024春?瑤海區(qū)期中）若，則化簡的結(jié)果是A． B．1 C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)與絕對值的性質(zhì)化簡，然后合并同類項即可得解．【解答】解：，，解得，，．故選：．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，絕對值的性質(zhì)，求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?舒城縣校級期中）化簡的結(jié)果是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：原式，故選：．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．12．（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可解答．【解答】解：、，故錯誤；、，正確；、，故錯誤；、，故錯誤；故選：．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記二次根式的性質(zhì)．【題型4最簡二次根式】滿分技法最簡二次根式滿足的三個條件：(1)被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母,即被開方數(shù)是整數(shù)或整式;(2)被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式;(3)分母中不含有根號.13．（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法將每個根式進行化簡，判斷哪個為最簡二次根式即可．【解答】解：、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、是最簡二次根式，符合題意，故選：．【點評】本題考查的是最簡二次根式，熟知被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式叫做最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．14．（2024春?瑤海區(qū)期中）在中，最簡二次根式有個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答．【解答】解：二次根式中只有被開方數(shù)不含分母且被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是最簡二次根式．故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟悉最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：．是最簡二次根式，故本選項符合題意；．的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；．的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；．的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．【題型5二次根式的乘除法】滿分技法技法一：(1)二次根式相乘時,把被開方數(shù)和各個根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù)，把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù),即,其中.(2)二次根式相乘,被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時，一定要開方.(3)有理數(shù)中的運算律、運算法則在二次根式的乘法中仍然適用.技法二：(1)兩個二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應(yīng)相除，根號內(nèi)的被開方數(shù)與被開方數(shù)對應(yīng)相除，再把除得的結(jié)果相乘，即,其中.(2)被開方數(shù)相除時,可以用法則“除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”進行約分，再利用二次根式的乘法法則得出最終結(jié)果.16．（2023春?譙城區(qū)期中）下列運算錯誤的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進行計算即可．【解答】解：．，則不符合題意；．，則符合題意；．，則不符合題意；．，則不符合題意；故選：．【點評】本題考查二次根式的除法運算，其相關(guān)運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．17．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計算．【答案】．【分析】直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．18．（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：．【答案】．【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則計算即可求解．【解答】解：．【點評】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的乘除混合運算．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算法則．【題型6分母有理化】滿分技法分母有理化時，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理化因式.19．（2023春?金安區(qū)期中）已知，，則，的關(guān)系是A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【答案】【分析】求出與的值即可求出答案．【解答】解：，，，故選：．【點評】本題考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是求出與的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．20．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊薄敬鸢浮浚痉治觥坷闷椒讲罟桨堰M行分母有理化，再比較大小即可．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查了分母有理化以及實數(shù)大小比較，掌握利用平方差公式進行分母有理化的方法是解答本題的關(guān)鍵．21．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知：，求代數(shù)式的值．【分析】先分母有理化，再代入根據(jù)平方差公式和簡便計算求值即可．【解答】解：，，【點評】考查了分母有理化和代數(shù)式求值，注意公式和整體思想的運用可以簡化計算．22．（2022春?迎江區(qū)校級期末）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例，例，，，（1），；（2）請你用含為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．【分析】（1）將；分母有理化，有理化因式分別為，；（2）被開方數(shù)是兩個相鄰的數(shù)，即，它的有理化因式為；（3）由（1）（2）得，原式，合并可得結(jié)果．【解答】解：（1）；（2）（3），．【點評】本題考查分母有理化，找規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．23．（2023春?貴池區(qū)期中）已知，；（1）求的值；（2）若的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．【答案】（1）31；（2）．【分析】（1）有理化分母化簡、的值，再把原式化成，最后代值計算；（2）通過估算求得、，再代值計算．【解答】解：（1），，原式；（2），，的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，，，．【點評】本題考查了求代數(shù)式的值，有理化分母，二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是有理化分母，估算無理數(shù)的大?。绢}型7同類二次根式】滿分技法(1)同類二次根式必須同時滿足最簡二次根式和被開方數(shù)相同兩個條件.它與根號外面的因數(shù)(因式)無關(guān).(2)當(dāng)兩個二次根式不是最簡二次根式時，要先化簡，再判斷.24．（2023春?蚌埠期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的叫做同類二次根式，即可解答．【解答】解：、，與不是同類二次根式，不符合題意；、，與是同類二次根式，符合題意；、，與不是同類二次根式，不符合題意；、，與不是同類二次根式，不符合題意．故選：．【點評】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．25．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）下列二次根式，能與合并的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義即可求解．【解答】解：，．，與不是同類二次根式，所以不能與合并，不符合題意；．，與不是同類二次根式，所以不能與合并，不符合題意；．，與是同類二次根式，所以能與合并，符合題意；．，與不是同類二次根式，所以不能與合并，不符合題意．故選：．【點評】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．26．（2024春?大觀區(qū)校級期中）若與最簡二次根式可以合并，則2．【答案】2．【分析】根據(jù)被開方數(shù)相同的最簡二次根式叫做同類二次根式進行求解即可．【解答】解：，且與最簡二次根式可以合并，，；故答案為：2．【點評】本題考查的是同類二次根式，熟知同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【題型8二次根式的加減法】滿分技法（1）二次根式的加減，實際上只是對同類二次根式的合并，不是同類二次根式的不能合并，但也不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分.（2）二次根式的運算過程中,根號外的系數(shù)不能是帶分數(shù)，應(yīng)化為假分數(shù).（3）在二次根式的運算中，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則仍然適用.27．（2023春?長豐縣期末）計算：．【答案】．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，進而利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．28．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計算：．【答案】．【分析】先把各個二次根式化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式．【點評】本題主要考查了二次根式的加減運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握如何把二次根式化成最簡二次根式．29．（2023春?淮北期末）計算：．【答案】．【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【解答】解：原式．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【題型9二次根式的混合運算】滿分技法二次根式混合運算中的三大妙招：(1)根據(jù)算式特點靈活選用乘法公式，并且根據(jù)解題需要逆用公式；(2)應(yīng)用乘法公式時，經(jīng)常要把算式的一部分作為一個整體套用公式，但一定要注意變形時的符號問題；(3)在乘方和乘法運算中,運用結(jié)合律調(diào)整運算順序,也可簡化運算.30．（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）計算的結(jié)果是A． B． C． D．1【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆用、積的乘方的逆用、二次根式的乘法法則即可得．【解答】解：原式，故選：．【點評】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆用、積的乘方的逆用、二次根式的乘法，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．31．（2024春?金安區(qū)校級期中）計算．【答案】．【分析】利用二次根式的混合運算法則和完全平方公式求解即可．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟知運算法則是解題的關(guān)鍵．32．（2024春?包河區(qū)期中）計算：的結(jié)果是5．【分析】運用平方差公式進行計算二次根式的計算就可以得出結(jié)論．【解答】解：原式，．故答案為：5【點評】本題考查了運用平方差公式進行二次根式的計算，解答時觀察算式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法是解答的關(guān)鍵．33．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計算：．【答案】．【分析】分別根據(jù)乘法分配律，二次根式的加減法和乘法法則以及絕對值的性質(zhì)即可計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【題型10二次根式的化簡求值】滿分技法二次根式的化簡與求值往往會運用到“整體代入法”.如果所求代數(shù)式中含有某些特殊的整體，這些整體的取值已知或者能夠很容易地求出，那么我們就可以將這些整體的取值直接代入求值，從而簡化計算過程.34．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若，則代數(shù)式的值為A．2007 B． C．2024 D．【答案】【分析】先將配方得，再將代入原代數(shù)式即可求解．【解答】解：，，，故選：．【點評】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用、代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是本題解題關(guān)鍵．35．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若，，則的值為A．4 B． C．16 D．4或【答案】【分析】先判斷，的符號．再變形整體代入計算即可．【解答】解：，，，，，故選：．【點評】本題考查二次根式化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知判斷，的符號．36．（2024春?廬江縣期中）已知，則代數(shù)式的值是13．【答案】13．【分析】由，可得，有，即可得．【解答】解：，，，，故答案為：13．【點評】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知變形，求出，再整體代入．37．（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）194；（2）．【分析】（1）先將、化簡，求出和的值，然后對所求子變形，即可解答本題；（2）根據(jù)（1）、的值，對所求式子變形，即可解答本題．【解答】解：（1），，，，，，；（2）由（1）知，，，則．【點評】本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．【題型11二次根式的應(yīng)用】滿分技法解規(guī)律探究題的一般方法(1)操作:運用相關(guān)知識對給出的算式求出結(jié)果;(2)觀察與發(fā)現(xiàn):觀察操作中所列出的式子或等式,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律;(3)猜想:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行猜想,得出一般性的結(jié)論;(4)應(yīng)用:運用得出的一般性結(jié)論解決問題38．（2024春?黃山期中）如圖，在矩形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出、，再根據(jù)空白部分的面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計算即可得解．【解答】解：兩張正方形紙片的面積分別為和，它們的邊長分別為，，，，空白部分的面積，，．故選：．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長．39．（2024春?大觀區(qū)校級期中）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘數(shù)學(xué)家海倫的成果并稱“海倫秦九韶公式”．它的主要內(nèi)容是：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，為三角形的面積，，若一個三角形的三邊長分別為，，，，，且，則值為A． B． C． D．10【答案】【分析】依據(jù)題意，由海倫秦九韶公式轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的一元二次方程即可求解．【解答】解：，，，，即，，，即，把，，代入得：，整理得，即，且，，，即，故選：．【點評】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉掌握解一元二次方程是關(guān)鍵．40．（2024春?合肥期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為的盒子底部（如圖②，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)小長方形卡片的長為，寬為，根據(jù)題意得：，則圖②中兩塊陰影部分周長和是．故選：．【點評】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，整式的加減運算，在解題時要根據(jù)題意結(jié)合圖形得出答案是解題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測1．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）下列是最簡二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可求解．【解答】解：、被開方數(shù)是分數(shù)，不是最簡二次根式，該選項不合題意；、是最簡二次根式，該選項符合題意；、被開方數(shù)是小數(shù)，不是最簡二次根式，該選項不合題意；、被開方數(shù)含有開方開得盡的因數(shù)4，不是最簡二次根式，該選項不合題意；故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，關(guān)鍵是熟知最簡二次根式應(yīng)滿足下列兩個條件：1、被開方數(shù)不含分母；2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．