專題01二次根式-2024年新九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（滬科版 溫故復(fù)習(xí)）

專題01二次根式知識點(diǎn)1：二次根式的概念1.二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；2．二次根式有意義的條件（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．【拓展】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡1.二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）2.二次根式的化簡：（1）方法：①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（2）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．3．最簡二次根式（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．（2）最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．知識點(diǎn)3：二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．3．同類二次根式（1）定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．（2）方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．5．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項(xiàng)式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．7．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．題型歸納【題型1二次根式的定義】滿分技法判斷二次根式，厘清“是”“否”是關(guān)鍵.1．（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．2．（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為A． B． C． D．3．（2021春?廬江縣期中）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是A．4 B．5 C．6 D．74．（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定”【題型2二次根式有意義的條件】滿分技法技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟第1步:根據(jù)二次根式的概念(被開方數(shù)是非負(fù)數(shù))列不等式(組);第2步:解這個不等式(組)得到字母的取值范圍.技法二：確定二次根式中字母取值的方法(1)若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式(組)求解;若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式(組)求解.(2)若一個式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個條件，從而列不等式(組)求解.5．（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．6．（2024春?安慶期中）若，則等于A．1 B．5 C． D．7．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）若二次根式有意義，則的取值范圍A． B． C． D．8．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的值可能為A．2025 B．2023 C． D．2022【題型3二次根式的性質(zhì)與化簡】滿分技法(1)化簡二次根式要嚴(yán)格按照，進(jìn)行.(2)正確區(qū)分與的異同點(diǎn)是化簡二次根式的關(guān)鍵.(3)化簡形如的式子時,一般分兩步:第1步:將其化為的形式;第2步:根據(jù)的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.9．（2024春?廬江縣期中）化簡的結(jié)果正確的是A．3 B． C．4 D．10．（2024春?瑤海區(qū)期中）若，則化簡的結(jié)果是A． B．1 C． D．11．（2023春?舒城縣校級期中）化簡的結(jié)果是A． B． C． D．12．（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是A． B． C． D．【題型4最簡二次根式】滿分技法最簡二次根式滿足的三個條件：(1)被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母,即被開方數(shù)是整數(shù)或整式;(2)被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式;(3)分母中不含有根號.13．（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是A． B． C． D．14．（2024春?瑤海區(qū)期中）在中，最簡二次根式有個．A．1 B．2 C．3 D．415．（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【題型5二次根式的乘除法】滿分技法技法一：(1)二次根式相乘時,把被開方數(shù)和各個根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù)，把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù),即,其中.(2)二次根式相乘,被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時，一定要開方.(3)有理數(shù)中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在二次根式的乘法中仍然適用.技法二：(1)兩個二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應(yīng)相除，根號內(nèi)的被開方數(shù)與被開方數(shù)對應(yīng)相除，再把除得的結(jié)果相乘，即,其中.(2)被開方數(shù)相除時,可以用法則“除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分，再利用二次根式的乘法法則得出最終結(jié)果.16．（2023春?譙城區(qū)期中）下列運(yùn)算錯誤的是A． B． C． D．17．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計(jì)算．18．（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：．【題型6分母有理化】滿分技法分母有理化時，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理化因式.19．（2023春?金安區(qū)期中）已知，，則，的關(guān)系是A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式20．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊?1．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知：，求代數(shù)式的值．22．（2022春?迎江區(qū)校級期末）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例，例，，，（1），；（2）請你用含為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．23．（2023春?貴池區(qū)期中）已知，；（1）求的值；（2）若的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．【題型7同類二次根式】滿分技法(1)同類二次根式必須同時滿足最簡二次根式和被開方數(shù)相同兩個條件.它與根號外面的因數(shù)(因式)無關(guān).(2)當(dāng)兩個二次根式不是最簡二次根式時，要先化簡，再判斷.24．（2023春?蚌埠期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．25．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）下列二次根式，能與合并的是A． B． C． D．26．（2024春?大觀區(qū)校級期中）若與最簡二次根式可以合并，則．【題型8二次根式的加減法】滿分技法（1）二次根式的加減，實(shí)際上只是對同類二次根式的合并，不是同類二次根式的不能合并，但也不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分.（2）二次根式的運(yùn)算過程中,根號外的系數(shù)不能是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)化為假分?jǐn)?shù).（3）在二次根式的運(yùn)算中，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則仍然適用.27．（2023春?長豐縣期末）計(jì)算：．28．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計(jì)算：．29．（2023春?淮北期末）計(jì)算：．【題型9二次根式的混合運(yùn)算】滿分技法二次根式混合運(yùn)算中的三大妙招：(1)根據(jù)算式特點(diǎn)靈活選用乘法公式，并且根據(jù)解題需要逆用公式；(2)應(yīng)用乘法公式時，經(jīng)常要把算式的一部分作為一個整體套用公式，但一定要注意變形時的符號問題；(3)在乘方和乘法運(yùn)算中,運(yùn)用結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序,也可簡化運(yùn)算.30．（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）計(jì)算的結(jié)果是A． B． C． D．131．（2024春?金安區(qū)校級期中）計(jì)算．32．（2024春?包河區(qū)期中）計(jì)算：的結(jié)果是．33．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計(jì)算：．【題型10二次根式的化簡求值】滿分技法二次根式的化簡與求值往往會運(yùn)用到“整體代入法”.如果所求代數(shù)式中含有某些特殊的整體，這些整體的取值已知或者能夠很容易地求出，那么我們就可以將這些整體的取值直接代入求值，從而簡化計(jì)算過程.34．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若，則代數(shù)式的值為A．2007 B． C．2024 D．35．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若，，則的值為A．4 B． C．16 D．4或36．（2024春?廬江縣期中）已知，則代數(shù)式的值是．37．（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【題型11二次根式的應(yīng)用】滿分技法解規(guī)律探究題的一般方法(1)操作:運(yùn)用相關(guān)知識對給出的算式求出結(jié)果;(2)觀察與發(fā)現(xiàn):觀察操作中所列出的式子或等式,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律;(3)猜想:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行猜想,得出一般性的結(jié)論;(4)應(yīng)用:運(yùn)用得出的一般性結(jié)論解決問題38．（2024春?黃山期中）如圖，在矩形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為A． B． C． D．39．（2024春?大觀區(qū)校級期中）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘數(shù)學(xué)家海倫的成果并稱“海倫秦九韶公式”．它的主要內(nèi)容是：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，為三角形的面積，，若一個三角形的三邊長分別為，，，，，且，則值為A． B． C． D．1040．（2024春?合肥期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為的盒子底部（如圖②，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是A． B． C． D．過關(guān)檢測1．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）下列是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡后為A．7 B． C． D．3．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）下列各式中，與是同類二次根式的為A． B． C． D．4．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）若與最簡二次根式能合并，則的值為A．0 B．1 C．2 D．35．（2024春?潘集區(qū)期中）計(jì)算的結(jié)果是A． B． C． D．6．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）使式子有意義的的取值范圍是．7．（2024春?黃山期中）已知，則．8．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）化為最簡二次根式為．9．（2023春?花山區(qū)校級期中）已知，，則．10．（2024春?潘集區(qū)期中）計(jì)算：（1）；（2）．11．（2023春?潁州區(qū)校級期中）已知，，分別求下列代數(shù)式的值：（1）；（2）．12．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）觀察下列等式，解答問題．；；；（1）請直接寫出第5個等式：；（2）利用上述規(guī)律，比較與的大小；（3）直接寫出．

專題01二次根式知識點(diǎn)1：二次根式的概念1.二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；2．二次根式有意義的條件（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．【拓展】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡1.二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）2.二次根式的化簡：（1）方法：①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（2）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．3．最簡二次根式（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．（2）最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．知識點(diǎn)3：二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．3．同類二次根式（1）定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．（2）方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．5．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項(xiàng)式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．7．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．題型歸納【題型1二次根式的定義】滿分技法判斷二次根式，厘清“是”“否”是關(guān)鍵.1．（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)一般地，我們把形如的式子叫做二次根式判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)，是三次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)，是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)，2是正數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)，時不是二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義得出形如：是二次根式，進(jìn)而判斷即可．【解答】解：、，，故不是二次根式，故此選項(xiàng)錯誤；、，是三次根式，故不是二次根式，故此選項(xiàng)錯誤；、，則，故是二次根式，故此選項(xiàng)正確；、，，故不是二次根式，故此選項(xiàng)錯誤；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式定義，利用定義分別判斷得出是解題關(guān)鍵．3．（2021春?廬江縣期中）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】因?yàn)槭钦麛?shù)，且，則是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)為7．【解答】解：，且是整數(shù)；是整數(shù)，即是完全平方數(shù)；的最小正整數(shù)值為7．故選：．【點(diǎn)評】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則．除法法則．解題關(guān)鍵是分解成一個完全平方數(shù)和一個代數(shù)式的積的形式．4．（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式不一定是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定”【答案】不一定．【分析】根據(jù)二次根式的定義解答即可．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，代數(shù)式不是二次根式，代數(shù)式不一定是二次根式．故答案為：不一定．【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式的定義，熟知一般地，我們把形如的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．【題型2二次根式有意義的條件】滿分技法技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟第1步:根據(jù)二次根式的概念(被開方數(shù)是非負(fù)數(shù))列不等式(組);第2步:解這個不等式(組)得到字母的取值范圍.技法二：確定二次根式中字母取值的方法(1)若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式(組)求解;若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式(組)求解.(2)若一個式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個條件，從而列不等式(組)求解.5．（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得，解得，即的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．6．（2024春?安慶期中）若，則等于A．1 B．5 C． D．【答案】【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件可以確定的值，進(jìn)而求出的值，再將、的值代入要求的式子即可．【解答】解：，且，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．7．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）若二次根式有意義，則的取值范圍A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解即可．【解答】解：由題意得：，解得：．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．8．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的值可能為A．2025 B．2023 C． D．2022【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出的范圍．【解答】解：由題意可知：，解得，故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建不等式組解決問題．【題型3二次根式的性質(zhì)與化簡】滿分技法(1)化簡二次根式要嚴(yán)格按照，進(jìn)行.(2)正確區(qū)分與的異同點(diǎn)是化簡二次根式的關(guān)鍵.(3)化簡形如的式子時,一般分兩步:第1步:將其化為的形式;第2步:根據(jù)的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.9．（2024春?廬江縣期中）化簡的結(jié)果正確的是A．3 B． C．4 D．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則得到，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)：．也考查了二次根式的乘法法則．10．（2024春?瑤海區(qū)期中）若，則化簡的結(jié)果是A． B．1 C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)與絕對值的性質(zhì)化簡，然后合并同類項(xiàng)即可得解．【解答】解：，，解得，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，絕對值的性質(zhì)，求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?舒城縣校級期中）化簡的結(jié)果是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：原式，故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．12．（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可解答．【解答】解：、，故錯誤；、，正確；、，故錯誤；、，故錯誤；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記二次根式的性質(zhì)．【題型4最簡二次根式】滿分技法最簡二次根式滿足的三個條件：(1)被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母,即被開方數(shù)是整數(shù)或整式;(2)被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式;(3)分母中不含有根號.13．（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法將每個根式進(jìn)行化簡，判斷哪個為最簡二次根式即可．【解答】解：、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、是最簡二次根式，符合題意，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是最簡二次根式，熟知被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式叫做最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．14．（2024春?瑤海區(qū)期中）在中，最簡二次根式有個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答．【解答】解：二次根式中只有被開方數(shù)不含分母且被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是最簡二次根式．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式，熟悉最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：．是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；．的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；．的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；．的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．【題型5二次根式的乘除法】滿分技法技法一：(1)二次根式相乘時,把被開方數(shù)和各個根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù)，把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù),即,其中.(2)二次根式相乘,被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時，一定要開方.(3)有理數(shù)中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在二次根式的乘法中仍然適用.技法二：(1)兩個二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應(yīng)相除，根號內(nèi)的被開方數(shù)與被開方數(shù)對應(yīng)相除，再把除得的結(jié)果相乘，即,其中.(2)被開方數(shù)相除時,可以用法則“除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分，再利用二次根式的乘法法則得出最終結(jié)果.16．（2023春?譙城區(qū)期中）下列運(yùn)算錯誤的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：．，則不符合題意；．，則符合題意；．，則不符合題意；．，則不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握．17．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計(jì)算．【答案】．【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18．（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：．【答案】．【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【解答】解：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的乘除混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則．【題型6分母有理化】滿分技法分母有理化時，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理化因式.19．（2023春?金安區(qū)期中）已知，，則，的關(guān)系是A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【答案】【分析】求出與的值即可求出答案．【解答】解：，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是求出與的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．20．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊薄敬鸢浮浚痉治觥坷闷椒讲罟桨堰M(jìn)行分母有理化，再比較大小即可．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了分母有理化以及實(shí)數(shù)大小比較，掌握利用平方差公式進(jìn)行分母有理化的方法是解答本題的關(guān)鍵．21．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知：，求代數(shù)式的值．【分析】先分母有理化，再代入根據(jù)平方差公式和簡便計(jì)算求值即可．【解答】解：，，【點(diǎn)評】考查了分母有理化和代數(shù)式求值，注意公式和整體思想的運(yùn)用可以簡化計(jì)算．22．（2022春?迎江區(qū)校級期末）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例，例，，，（1），；（2）請你用含為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．【分析】（1）將；分母有理化，有理化因式分別為，；（2）被開方數(shù)是兩個相鄰的數(shù)，即，它的有理化因式為；（3）由（1）（2）得，原式，合并可得結(jié)果．【解答】解：（1）；（2）（3），．【點(diǎn)評】本題考查分母有理化，找規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．23．（2023春?貴池區(qū)期中）已知，；（1）求的值；（2）若的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．【答案】（1）31；（2）．【分析】（1）有理化分母化簡、的值，再把原式化成，最后代值計(jì)算；（2）通過估算求得、，再代值計(jì)算．【解答】解：（1），，原式；（2），，的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，，，．【點(diǎn)評】本題考查了求代數(shù)式的值，有理化分母，二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是有理化分母，估算無理數(shù)的大?。绢}型7同類二次根式】滿分技法(1)同類二次根式必須同時滿足最簡二次根式和被開方數(shù)相同兩個條件.它與根號外面的因數(shù)(因式)無關(guān).(2)當(dāng)兩個二次根式不是最簡二次根式時，要先化簡，再判斷.24．（2023春?蚌埠期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的叫做同類二次根式，即可解答．【解答】解：、，與不是同類二次根式，不符合題意；、，與是同類二次根式，符合題意；、，與不是同類二次根式，不符合題意；、，與不是同類二次根式，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．25．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）下列二次根式，能與合并的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義即可求解．【解答】解：，．，與不是同類二次根式，所以不能與合并，不符合題意；．，與不是同類二次根式，所以不能與合并，不符合題意；．，與是同類二次根式，所以能與合并，符合題意；．，與不是同類二次根式，所以不能與合并，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．26．（2024春?大觀區(qū)校級期中）若與最簡二次根式可以合并，則2．【答案】2．【分析】根據(jù)被開方數(shù)相同的最簡二次根式叫做同類二次根式進(jìn)行求解即可．【解答】解：，且與最簡二次根式可以合并，，；故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查的是同類二次根式，熟知同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【題型8二次根式的加減法】滿分技法（1）二次根式的加減，實(shí)際上只是對同類二次根式的合并，不是同類二次根式的不能合并，但也不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分.（2）二次根式的運(yùn)算過程中,根號外的系數(shù)不能是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)化為假分?jǐn)?shù).（3）在二次根式的運(yùn)算中，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則仍然適用.27．（2023春?長豐縣期末）計(jì)算：．【答案】．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．28．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計(jì)算：．【答案】．【分析】先把各個二次根式化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握如何把二次根式化成最簡二次根式．29．（2023春?淮北期末）計(jì)算：．【答案】．【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【題型9二次根式的混合運(yùn)算】滿分技法二次根式混合運(yùn)算中的三大妙招：(1)根據(jù)算式特點(diǎn)靈活選用乘法公式，并且根據(jù)解題需要逆用公式；(2)應(yīng)用乘法公式時，經(jīng)常要把算式的一部分作為一個整體套用公式，但一定要注意變形時的符號問題；(3)在乘方和乘法運(yùn)算中,運(yùn)用結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序,也可簡化運(yùn)算.30．（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）計(jì)算的結(jié)果是A． B． C． D．1【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆用、積的乘方的逆用、二次根式的乘法法則即可得．【解答】解：原式，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆用、積的乘方的逆用、二次根式的乘法，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．31．（2024春?金安區(qū)校級期中）計(jì)算．【答案】．【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則和完全平方公式求解即可．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．32．（2024春?包河區(qū)期中）計(jì)算：的結(jié)果是5．【分析】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算二次根式的計(jì)算就可以得出結(jié)論．【解答】解：原式，．故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行二次根式的計(jì)算，解答時觀察算式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法是解答的關(guān)鍵．33．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計(jì)算：．【答案】．【分析】分別根據(jù)乘法分配律，二次根式的加減法和乘法法則以及絕對值的性質(zhì)即可計(jì)算即可．【解答】解：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【題型10二次根式的化簡求值】滿分技法二次根式的化簡與求值往往會運(yùn)用到“整體代入法”.如果所求代數(shù)式中含有某些特殊的整體，這些整體的取值已知或者能夠很容易地求出，那么我們就可以將這些整體的取值直接代入求值，從而簡化計(jì)算過程.34．（2024春?銅官區(qū)校級期中）若，則代數(shù)式的值為A．2007 B． C．2024 D．【答案】【分析】先將配方得，再將代入原代數(shù)式即可求解．【解答】解：，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用、代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是本題解題關(guān)鍵．35．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若，，則的值為A．4 B． C．16 D．4或【答案】【分析】先判斷，的符號．再變形整體代入計(jì)算即可．【解答】解：，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知判斷，的符號．36．（2024春?廬江縣期中）已知，則代數(shù)式的值是13．【答案】13．【分析】由，可得，有，即可得．【解答】解：，，，，故答案為：13．【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知變形，求出，再整體代入．37．（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）194；（2）．【分析】（1）先將、化簡，求出和的值，然后對所求子變形，即可解答本題；（2）根據(jù)（1）、的值，對所求式子變形，即可解答本題．【解答】解：（1），，，，，，；（2）由（1）知，，，則．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．【題型11二次根式的應(yīng)用】滿分技法解規(guī)律探究題的一般方法(1)操作:運(yùn)用相關(guān)知識對給出的算式求出結(jié)果;(2)觀察與發(fā)現(xiàn):觀察操作中所列出的式子或等式,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律;(3)猜想:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行猜想,得出一般性的結(jié)論;(4)應(yīng)用:運(yùn)用得出的一般性結(jié)論解決問題38．（2024春?黃山期中）如圖，在矩形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出、，再根據(jù)空白部分的面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計(jì)算即可得解．【解答】解：兩張正方形紙片的面積分別為和，它們的邊長分別為，，，，空白部分的面積，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長．39．（2024春?大觀區(qū)校級期中）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘數(shù)學(xué)家海倫的成果并稱“海倫秦九韶公式”．它的主要內(nèi)容是：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，為三角形的面積，，若一個三角形的三邊長分別為，，，，，且，則值為A． B． C． D．10【答案】【分析】依據(jù)題意，由海倫秦九韶公式轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的一元二次方程即可求解．【解答】解：，，，，即，，，即，把，，代入得：，整理得，即，且，，，即，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉掌握解一元二次方程是關(guān)鍵．40．（2024春?合肥期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為的盒子底部（如圖②，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)小長方形卡片的長為，寬為，根據(jù)題意得：，則圖②中兩塊陰影部分周長和是．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，整式的加減運(yùn)算，在解題時要根據(jù)題意結(jié)合圖形得出答案是解題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測1．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）下列是最簡二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可求解．【解答】解：、被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是最簡二次根式，該選項(xiàng)不合題意；、是最簡二次根式，該選項(xiàng)符合題意；、被開方數(shù)是小數(shù)，不是最簡二次根式，該選項(xiàng)不合題意；、被開方數(shù)含有開方開得盡的因數(shù)4，不是最簡二次根式，該選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式的定義，關(guān)鍵是熟知最簡二次根式應(yīng)滿足下列兩個條件：1、被開方數(shù)不含分母；2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．