2023-2024學(xué)年山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．等比數(shù)列滿足，，則（

）A．30 B．62 C．126 D．254【答案】C【分析】由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而，即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，所以，所以.故選：C2．從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（

）個(gè)．A．24 B．30 C．36 D．60【答案】B【分析】考慮選出的3個(gè)數(shù)中有沒(méi)有0的情況，有0時(shí)再考慮0的排法，根據(jù)分類(lèi)加法原理，即可求得答案.【詳解】若從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)中沒(méi)有0，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有個(gè)；若從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)中有0，且0排在個(gè)位，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有個(gè)；若從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)中有0，且0不在個(gè)位，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有個(gè)；故從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有個(gè)，故選：B3．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出．【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤．故選：B．4．“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二除以余，五五數(shù)之剩三除以余，七七數(shù)之剩二除以余，問(wèn)物幾何現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：已知正整數(shù)滿足三三數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可分析出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知最小值．【詳解】解：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為正整數(shù)，所以最小值為，故選：B5．若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件得到，，，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性即可解決問(wèn)題.【詳解】令，則，令，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，又，，，所以，故選：A.6．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，然后利用分離參數(shù)法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上減函數(shù)，，即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。故選：A.7．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)n，均有，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式推出，以及，由此即可求得答案.【詳解】由題意知正項(xiàng)數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)n，均有，，故，，故，故，故選：B8．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得在直線下方，再借助導(dǎo)數(shù)探討求解作答.【詳解】令，，顯然直線恒過(guò)點(diǎn)，則“存在唯一的整數(shù)，使得”等價(jià)于“存在唯一的整數(shù)使得點(diǎn)在直線下方”，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即當(dāng)時(shí)，不存在整數(shù)使得點(diǎn)在直線下方，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，而切線過(guò)點(diǎn)，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整數(shù)使得點(diǎn)在直線下方，則此整數(shù)必為2，即存在唯一整數(shù)2使得點(diǎn)在直線下方，因此有，解得，所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決過(guò)某點(diǎn)的函數(shù)f(x)的切線問(wèn)題，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)并求出切線方程，然后將給定點(diǎn)代入切線方程轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題求解.二、多選題9．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）

A．有三個(gè)極值點(diǎn) B．為函數(shù)的極大值C．為的極小值 D．有兩個(gè)極小值【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，得出的符號(hào)，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)的極值點(diǎn)，得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得：當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)取得個(gè)極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得個(gè)極大值點(diǎn).故選：ABD.10．已知函數(shù)，則（

）A．曲線在點(diǎn)處的切線方程是B．函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)C．D．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【分析】對(duì)于A，求出即可驗(yàn)算；對(duì)于B，設(shè)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)的單調(diào)性，進(jìn)一步結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷；對(duì)于C，由B選項(xiàng)結(jié)論即可判斷；對(duì)于D，由零點(diǎn)的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，令，則，所以，而，由零點(diǎn)存在定理可知的零點(diǎn)，即函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由以上分析可知在單調(diào)遞減，且，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以只有唯一的一個(gè)零點(diǎn)即.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷B選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)得出其函數(shù)性質(zhì)，由此即可順利得解.11．已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)在對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一種變換，規(guī)則：每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，2”，每個(gè)2都變?yōu)椤?，2，0”，得到一個(gè)新數(shù)列，記數(shù)列，，且的所有項(xiàng)的和為，則以下判斷正確的是（

）A．的項(xiàng)數(shù)為 B．C．中0的個(gè)數(shù)為203 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件，分析出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)成等比數(shù)列判斷A，根據(jù)變換規(guī)則，得出數(shù)列中與個(gè)數(shù)的規(guī)律，結(jié)合數(shù)列項(xiàng)數(shù)，即可判斷B、C、D三個(gè)選項(xiàng).【詳解】設(shè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為一個(gè)數(shù)列，因?yàn)橹杏许?xiàng)，即，根據(jù)題意：在作用下，每個(gè)0都變?yōu)椤啊?，每個(gè)2都變?yōu)椤啊?，所以有，由此可知?shù)列為首相，公比的等比數(shù)列，所以的項(xiàng)數(shù)為，故A正確；根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項(xiàng)中，與的個(gè)數(shù)相同，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中與的個(gè)數(shù)也相同；若比多個(gè)，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中比的個(gè)數(shù)少個(gè)，若比少個(gè)，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中比的個(gè)數(shù)多個(gè)，因?yàn)橹杏许?xiàng)，其中個(gè)，個(gè)，比少個(gè)，所以的項(xiàng)中，比的個(gè)數(shù)多個(gè)，以此類(lèi)推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項(xiàng)中比少個(gè)，若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項(xiàng)中比多個(gè)，中，項(xiàng)數(shù)為個(gè)，為偶數(shù)，所以2的個(gè)數(shù)為，所以，所以B正確；中共有項(xiàng)，其中為奇數(shù)，所以數(shù)列中有個(gè)，所以C正確；D選項(xiàng)，的值與的奇偶有關(guān)，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是數(shù)列求通項(xiàng)或求和.三、填空題12．第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有種．（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】【分析】首先考慮甲連續(xù)天的情況，再其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種，則剩下的人全排列有種排法，故一共有種排法．故答案為：．13．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)的定義可判斷定義域內(nèi)時(shí)函數(shù)的極小值點(diǎn)，即可列出不等關(guān)系求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，令（其中舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以原函數(shù)在時(shí)取得極小值，則有，所以取值范圍為，故答案為:14．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【答案】【分析】由題設(shè)易知是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，可得，進(jìn)而得到，裂項(xiàng)相消法求，根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，而，則是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，所以，則，所以，則在上恒成立，要使不等式恒成立，只需，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：四、解答題15．已知函數(shù)在處取得極大值．(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后令求出，代入驗(yàn)證是否符合題意即可；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.【詳解】（1）由已知令得或，當(dāng)時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，與函數(shù)在處取得極大值不符；當(dāng)，即時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義及構(gòu)造法求通項(xiàng)可判斷；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式，利用數(shù)列分組求和及錯(cuò)位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）法一：若解得，則數(shù)列不是等比數(shù)列；若即，因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．法二：若解得，則數(shù)列不是等比數(shù)列；若即，因?yàn)椋裕?，所以，，所以?dāng)時(shí)則數(shù)列不是等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，所以，則．則，令，令

①所以

②①②相減得：，得．所以.17．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，試判斷函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)無(wú)交點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)可得，分類(lèi)討論當(dāng)、時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)性即可求解；（2）由得，令，利用二次導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，即可下結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得：當(dāng)時(shí)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2），則，令，即，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，所以，所以方程無(wú)實(shí)根，所以函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn).18．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知可得，求導(dǎo)，令，再次求導(dǎo)，通過(guò)的單調(diào)性結(jié)合，判斷的單調(diào)性，從而求得單調(diào)區(qū)間；（2）令，多次求導(dǎo)研究原函數(shù)的單調(diào)性，涉及參數(shù)時(shí)，需要分類(lèi)討論求得；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)x的范圍分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，證得成立；當(dāng)時(shí)，將不等式轉(zhuǎn)化為，由（2）知，不等式成立；當(dāng)時(shí)，也成立，即證得.【詳解】解：（1）由已知可得，則，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由條件可得恒成立，令，則，又，所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，不等式顯然成立．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以存在，使得成立，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，顯然不恒成立．所以綜上所述．（3）證明：要證，即證．①當(dāng)時(shí)，，而，所以不等式成立．②當(dāng)時(shí)，，由（1）知：時(shí)，，所以，；所以只需證．令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即．故只需證，即證：．由（2）知，上述不等式成立．③當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)顯然成立，綜上，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后，導(dǎo)數(shù)較為復(fù)雜時(shí)，可以二次求導(dǎo)，來(lái)研究原函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)有指對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)復(fù)合時(shí)，可以利用適當(dāng)?shù)姆趴s，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論，證得不等式.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱(chēng)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)和討論，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；（2）結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即可；（3）根據(jù)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”求得，再利用數(shù)列的前項(xiàng)和得，然后推得與不能同時(shí)成立，即可判斷.【詳解】（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；若，則，