《通信原理與通信技術(shù)》課件第3章

第3章脈沖編碼調(diào)制（PCM）3.1

PCM的基本概念

3.2抽樣

3.3量化

3.4編碼

3.5抽樣定理

3.6時(shí)分復(fù)用(TDM)

3.7小資料——赫茲

3.1

PCM的基本概念

PCM的基本概念在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信源和信宿處理的都是模擬信號(hào)（消息），而信道傳輸?shù)膮s是數(shù)字基帶或已調(diào)信號(hào)?？梢?jiàn)在數(shù)字通信系統(tǒng)中的發(fā)信端必須有一個(gè)將模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)的過(guò)程，而在收信端也要有一個(gè)把數(shù)字信號(hào)還原成模擬信號(hào)的過(guò)程。通常把模擬信號(hào)（Analog[JP]Signal）變成數(shù)字信號(hào)（DigitalSignal）的過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)為A/D轉(zhuǎn)換，把數(shù)字信號(hào)變成模擬信號(hào)的過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)為D/A轉(zhuǎn)換。圖1－3中信源編碼和譯碼模塊的主要任務(wù)就是完成A/D轉(zhuǎn)換和D/A轉(zhuǎn)換。那么如何將一個(gè)模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)字信號(hào)呢？脈沖編碼調(diào)制（PCM，PulseCodeModulation）可以解決這個(gè)問(wèn)題。

PCM的概念最早是由法國(guó)工程師AlceReeres于1937年提出來(lái)的，其目的就是實(shí)現(xiàn)電話信號(hào)（模擬信號(hào)）的數(shù)字化傳輸。1946年第一臺(tái)PCM數(shù)字電話終端機(jī)在美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室問(wèn)世。1962年后，采用晶體管的PCM終端機(jī)大量應(yīng)用于市話網(wǎng)中，使市話電纜傳輸?shù)穆窋?shù)擴(kuò)大了二三十倍。20世紀(jì)70年代后期，隨著超大規(guī)模集成電路PCM芯片的出現(xiàn)，PCM在光纖通信、數(shù)字微波通信和衛(wèi)星通信中得到了更為廣泛的應(yīng)用。

3.2抽樣

PCM過(guò)程的第一步是對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行信號(hào)抽樣（Sampling）。所謂抽樣就是以固定的時(shí)間間隔采集模擬信號(hào)當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)值。圖3－1是一個(gè)抽樣概念示意圖，假設(shè)一個(gè)模擬信號(hào)f(t)通過(guò)一個(gè)開(kāi)關(guān)，則開(kāi)關(guān)的輸出與開(kāi)關(guān)的狀態(tài)有關(guān)，當(dāng)開(kāi)關(guān)處于閉合狀態(tài)，開(kāi)關(guān)的輸出就是輸入，即y(t)=f(t)；當(dāng)開(kāi)關(guān)處在斷開(kāi)位置，輸出y(t)就為零?？梢?jiàn)，如果讓開(kāi)關(guān)受一個(gè)窄脈沖串（序列）的控制，脈沖出現(xiàn)時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，脈沖消失時(shí)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，則輸出y(t)就是一個(gè)幅值變化的脈沖串（序列），每個(gè)脈沖的幅值就是該脈沖出現(xiàn)時(shí)刻輸入信號(hào)f(t)的瞬時(shí)值，此時(shí)，y(t)就是對(duì)f(t)抽樣后的信號(hào)或稱(chēng)樣值信號(hào)。

圖3－1抽樣概念示意圖

圖3－2脈沖編碼調(diào)制過(guò)程示意圖圖3－3脈沖編碼調(diào)制模型

3.3量化

PCM過(guò)程的第二步是對(duì)樣值信號(hào)進(jìn)行量化（Quantizing）。量化就是把連續(xù)的無(wú)限個(gè)數(shù)值的集合映射（轉(zhuǎn)換）為離散的有限個(gè)數(shù)值的集合。通常采用“四舍五入”的原則進(jìn)行數(shù)值量化。

在討論量化問(wèn)題之前，首先介紹三個(gè)概念：

（1）量化值——確定的量化后的取值叫量化值（也稱(chēng)量化電平），比如上例中的量化值就是0、1、2、3、4、5、6。

（2）量化級(jí)——量化值的個(gè)數(shù)稱(chēng)為量化級(jí)。

（3）量化間隔——相鄰兩個(gè)量化值之差就是量化間隔（也稱(chēng)量化臺(tái)階）。

在圖3－2（b）和（c）中，我們發(fā)現(xiàn)v(t)的樣值信號(hào)k(t)和量化后的量化信號(hào)m(t)是不一樣的，具體地說(shuō)就是量化前后的樣值有可能不同，比如k(0)=0.2而m(0)=0.0。而收信端恢復(fù)的只能是量化后的信號(hào)m(t)，而不能恢復(fù)出k(t)，這樣就使得收、發(fā)的信號(hào)之間有誤差。顯然，這種存在于收、發(fā)信號(hào)之間的誤差是由量化造成的，我們稱(chēng)其為量化誤差或量化噪聲。比如在上例中，量化間隔為1，由于采用“四舍五入”進(jìn)行量化，因此量化噪聲的最大值是0.5。一般地說(shuō)，量化噪聲的最大絕對(duì)誤差是0.5個(gè)量化間隔。這種量化間隔都一樣的量化叫做均勻量化。

如果在一定的取值范圍內(nèi)增加量化級(jí)數(shù)，也就是把量化間隔變小，則量化噪聲就會(huì)減小。比如，把量化間隔取成0.5，則上例的量化級(jí)數(shù)就變成14個(gè)，量化噪聲則變?yōu)?.25。顯然，量化噪聲的大小與量化間隔成正比。但是在實(shí)際中，不可能對(duì)量化分級(jí)過(guò)細(xì)，因?yàn)檫^(guò)多的量化值將直接導(dǎo)致系統(tǒng)的復(fù)雜性、經(jīng)濟(jì)性、可靠性、方便性、維護(hù)使用性等指標(biāo)的惡化。比如，7級(jí)量化用3位二進(jìn)制碼編碼即可，若量化級(jí)變成128，就需要7位二進(jìn)制碼編碼，系統(tǒng)的復(fù)雜性將大大增加。另外，盡管信號(hào)幅值大（大信號(hào)）和信號(hào)幅值小（小信號(hào)）時(shí)的絕對(duì)量化噪聲是一樣的，都是0.5個(gè)量化間隔，但相對(duì)誤差卻很懸殊。比如上例中，信號(hào)最大值為6，絕對(duì)量化噪聲為0.5，而相對(duì)誤差為0.5/6=1/12，即量化誤差是量化值的十二分之一；而當(dāng)信號(hào)為1時(shí)，絕對(duì)量化噪聲仍為0.5，但相對(duì)誤差卻為0.5/1=1/2，量化誤差達(dá)到量化值的一半。這種相對(duì)誤差可以定義為量化信噪比?？梢?jiàn)大信號(hào)與小信號(hào)的量化信噪比相差6倍。增加量化級(jí)數(shù)可以提高小信號(hào)的信噪比，但與提高系統(tǒng)的簡(jiǎn)單性、可靠性、經(jīng)濟(jì)性等指標(biāo)卻相互矛盾。那么，能否找到一種方法既能提高小信號(hào)的信噪比，縮小大、小信號(hào)信噪比的差值，又不過(guò)多地增加量化級(jí)？回答是肯定的，這就是非均勻量化法。所謂非均勻量化就是對(duì)信號(hào)的不同部分采用不同的量化間隔，具體地說(shuō)，就是對(duì)小信號(hào)部分采用較小的量化間隔，而對(duì)大信號(hào)部分就用較大的量化間隔。實(shí)現(xiàn)這種思路的一種方法稱(chēng)為“壓縮與擴(kuò)張法”。

那么，能否找到一種方法既能提高小信號(hào)的信噪比，縮小大、小信號(hào)信噪比的差值，又不過(guò)多地增加量化級(jí)？回答是肯定的，這就是非均勻量化法。所謂非均勻量化就是對(duì)信號(hào)的不同部分采用不同的量化間隔，具體地說(shuō)，就是對(duì)小信號(hào)部分采用較小的量化間隔，而對(duì)大信號(hào)部分就用較大的量化間隔。實(shí)現(xiàn)這種思路的一種方法稱(chēng)為“壓縮與擴(kuò)張法”。

壓縮的概念是這樣的：在抽樣電路后面加上一個(gè)叫做壓縮器的信號(hào)處理電路，其特點(diǎn)是對(duì)弱小信號(hào)有比較大的放大倍數(shù)（增益），而對(duì)大信號(hào)的增益卻比較小。抽樣后的信號(hào)經(jīng)過(guò)壓縮器后就發(fā)生了“畸變”，大信號(hào)部分與進(jìn)壓縮器前差不多，沒(méi)有得到多少放大，而弱小信號(hào)部分卻得到了“不正?！钡姆糯螅ㄌ嵘啾戎?，大信號(hào)好像被壓縮了，壓縮器由此得名。對(duì)壓縮后的信號(hào)再進(jìn)行均勻量化，就相當(dāng)于對(duì)抽樣信號(hào)進(jìn)行了非均勻量化。在收信端為了恢復(fù)原始抽樣信號(hào)，就必須把接收到的經(jīng)過(guò)壓縮后的信號(hào)還原成壓縮前的信號(hào)，完成這個(gè)還原工作的電路就是擴(kuò)張器，其特性正好與壓縮器相反，對(duì)小信號(hào)壓縮，對(duì)大信號(hào)提升。為了保證信號(hào)的不失真，要求壓縮特性與擴(kuò)張?zhí)匦院铣珊笫且粭l直線，也就是說(shuō)，信號(hào)通過(guò)壓縮再通過(guò)擴(kuò)張實(shí)際上好像通過(guò)了一個(gè)線性電路。顯然，單獨(dú)的壓縮或擴(kuò)張對(duì)信號(hào)進(jìn)行的是非線性變換。壓縮與擴(kuò)張?zhí)匦匀鐖D3－4所示。圖中，脈沖A和脈沖B是兩個(gè)樣值，作為壓縮器的輸入信號(hào)經(jīng)]過(guò)壓縮后變成A′與B′，可見(jiàn)A′與A基本上沒(méi)有變化，而B(niǎo)′卻比B大了許多，這正是我們需要的壓縮特性；在收信端A′與B′作為擴(kuò)張器的輸入信號(hào)，經(jīng)擴(kuò)張后還原成樣值A(chǔ)和樣值B。再看一下小信號(hào)的信噪比變化情況。在圖3－4中，樣值B如果經(jīng)均勻量化，則量化噪聲為0.5，相對(duì)誤差為0.5；而經(jīng)過(guò)壓縮后，樣值B′的量化噪聲仍為0.5，但相對(duì)誤差變?yōu)?.5/3=1/6，比均勻量化減小了許多，其信噪比也就大為提高。同時(shí)圖3－4還給出了一個(gè)完整的PCM系統(tǒng)框圖。圖3－4壓縮與擴(kuò)張?zhí)匦耘cPCM系統(tǒng)框圖壓縮特性通常采用對(duì)數(shù)壓縮特性，也就是壓縮器的輸出與輸入之間近似呈對(duì)數(shù)關(guān)系。對(duì)于電話信號(hào)而言，對(duì)數(shù)壓縮特性又有A律和μ律之分。

A律特性輸出y與輸入信號(hào)x之間滿足下式：

(3.3－1)

式中，y為歸一化的壓縮器輸出電壓，即實(shí)際輸出電壓與可能輸出的最大電壓之比；x為歸一化的壓縮器輸入電壓，即實(shí)際輸入電壓與可能輸入的最大電壓之比；A為壓縮系數(shù)，表示壓縮程度。

從式（3.3－1）可見(jiàn)，在的范圍內(nèi)，壓縮特性為一條直線，相當(dāng)于均勻量化特性；在范圍內(nèi)是一條對(duì)數(shù)曲線。通常，國(guó)際上取A=87.6。

μ律特性輸出信號(hào)y與輸入信號(hào)x之間滿足下式：

（3.3－2）

式中，y、x、μ的意思與A律的一樣。

A律與μ律的特性曲線見(jiàn)圖3－5。A律與μ律的性能基本相似，在μ=255，量化級(jí)為256時(shí)，μ律對(duì)小信號(hào)信噪比的改善優(yōu)于A律。圖3－5的曲線只是壓縮特性的一半，另一半在第三象限，與第一象限的曲線奇對(duì)稱(chēng)，為簡(jiǎn)單計(jì)，一般都不畫(huà)出來(lái)。

μ律最早由美國(guó)提出，A律則是歐洲的發(fā)明，它們都是CCITT（國(guó)際電報(bào)電話咨詢委員會(huì)）允許的標(biāo)準(zhǔn)。目前，歐洲國(guó)家主要采用A律，北美各國(guó)及日本采用μ律，我國(guó)采用A律。

圖3－5所示的壓縮特性早期是用二極管的非線性來(lái)實(shí)現(xiàn)的，但要保證壓縮特性的一致性、穩(wěn)定性以及壓縮與擴(kuò)張?zhí)匦缘钠ヅ涫呛芾щy的。因此通常都是采用近似理想壓縮特性曲線的折線來(lái)代替理想特性。對(duì)于A律曲線，采用13段折線近似；對(duì)于μ律曲線，采用15段折線近似。

圖3－5兩種對(duì)數(shù)壓縮特性示意圖(a)

A律；(b)μ律

下面簡(jiǎn)單介紹一下A律的13段折線。首先把輸入信號(hào)的幅值歸一化（橫坐標(biāo)），把0～1的值域劃分為不均勻的8個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度以2倍遞增。具體地說(shuō)就是0～1/128為第一區(qū)間，1/128～1/64為第二區(qū)間，1/64～1/32為第三區(qū)間，1/32～1/16為第四區(qū)間，直到1/2～1為第八區(qū)間。再把輸出信號(hào)的幅度也歸一化（縱坐標(biāo)），并均勻分成8個(gè)區(qū)間，即0～1/8，1/8～2/8，2/8～3/8，直到7/8～1。然后以橫軸各區(qū)間的右端點(diǎn)為橫坐標(biāo)，以相對(duì)應(yīng)縱軸區(qū)間的上端點(diǎn)為縱坐標(biāo)，就可得到（1/128，1/8），（1/64，2/8），（1/32，3/8），…，（1，1）等8個(gè)點(diǎn)。將原點(diǎn)及這8個(gè)點(diǎn)依次用直線段連接起來(lái)就得到一條近似A律的折線，見(jiàn)圖3－6。也許有人會(huì)問(wèn)，圖3－6中的折線只有8段，為什么叫做13折線呢？這是因?yàn)槲覀兦懊嬲f(shuō)過(guò)對(duì)數(shù)曲線只畫(huà)出了正值部分，實(shí)際上還有負(fù)值部分，正值曲線與負(fù)值曲線奇對(duì)稱(chēng)。所以，在圖3－6中加上負(fù)值曲線就有16條折線。多出的3條線是怎么回事兒？我們注意到，第一區(qū)間和第二區(qū)間的線段斜率一樣，可以看成一條線段，則正值曲線就只有7條線段，與之對(duì)應(yīng)的負(fù)值曲線也只有7條線段，而正、負(fù)值曲線合畫(huà)在一起后，各自的第一段折線斜率也一樣，所以在14條線段中再減去一條就成為13折線。

圖3－6

A律13折線示意圖

3.4編碼

編碼就是按照一定的規(guī)律或協(xié)議，用一組符號(hào)取代另一組符號(hào)，或者用一組符號(hào)表達(dá)一些信息的過(guò)程。那么現(xiàn)在的任務(wù)是用二進(jìn)制碼組去表示量化后的十進(jìn)制量化值。所涉及的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是如何確定二進(jìn)制碼組的位數(shù)；二是應(yīng)該采用怎樣的碼型。而碼型就是電脈沖的存在形式（詳見(jiàn)第6章）。

一位二進(jìn)制數(shù)只有兩個(gè)值0和1，1位二進(jìn)制數(shù)可表示兩種不同的狀態(tài)，而n位二進(jìn)制數(shù)可有2n個(gè)不同的組合，即2n個(gè)不同的狀態(tài)。比如3位二進(jìn)制數(shù)就有000、001、010、011、100、101、110、111，共23=8種組合。我們把由多位二進(jìn)制碼元構(gòu)成的組合叫做碼組或碼字，那么3位二進(jìn)制碼就有8個(gè)碼組。構(gòu)成一個(gè)碼組的碼元位數(shù)叫做碼組長(zhǎng)度或字長(zhǎng)。

顯然，碼組的長(zhǎng)度與量化級(jí)數(shù)有直接關(guān)系。用的碼組長(zhǎng)度越長(zhǎng)，碼組個(gè)數(shù)就越多，可表示的狀態(tài)就越多，則量化級(jí)數(shù)就可以增加，量化間隔隨之減小，量化噪聲也隨之減小。但碼組長(zhǎng)度越長(zhǎng)，對(duì)電路的精度要求也越高，同時(shí)，要求碼元速率（波特率）越高，從而要求信道帶寬越寬。對(duì)于A律量化來(lái)說(shuō)，每段折線進(jìn)行16級(jí)均勻量化，量化級(jí)數(shù)為16×16=256，則一個(gè)碼組的長(zhǎng)度就是8位。

常用的編碼碼型有自然二進(jìn)制碼（NaturalBinaryCode,NBC）、折疊二進(jìn)制碼（FoldedBinaryCode,FBC）和格雷二進(jìn)制碼（GrayorReflectedBinaryCode,RBC）三種。PCM用折疊二進(jìn)制碼進(jìn)行編碼。表3－1給出了三種碼型的編碼規(guī)律。為簡(jiǎn)單計(jì)，表中只給出16個(gè)量化值，也就是4位碼組長(zhǎng)度。

自然二進(jìn)制碼就是我們熟悉的十進(jìn)制正整數(shù)的二進(jìn)制表示。折疊二進(jìn)制碼的最高位（最左邊的位）是符號(hào)位，“1”表示正數(shù)，“0”表示負(fù)數(shù)，其余的位表示數(shù)的絕對(duì)值大小。從表中可見(jiàn)，折疊二進(jìn)制碼上半部分為正數(shù)，下班部分是負(fù)數(shù)，如果不看符號(hào)位，則折疊二進(jìn)制碼上半部分與下半部分呈倒影關(guān)系，好像把一個(gè)紙條對(duì)折一樣，折疊的名字由此而來(lái)。而格雷二進(jìn)制碼的特點(diǎn)是相鄰碼組只有一位不同，也就是碼距（碼距的概念在第8章介紹）為1。

表3－1三種常用二進(jìn)制碼型的編碼規(guī)律

3.5抽樣定理

3.5.1低通抽樣定理

低通抽樣定理：對(duì)于一個(gè)帶限模擬信號(hào)f(t)，假設(shè)其頻帶為（0，fH），若以抽樣頻率fs≥2fH對(duì)其進(jìn)行抽樣（抽樣間隔，則f(t)將被其樣值信號(hào)ys(t)={f(nTs)}完全確定，或者說(shuō)，可從樣值信號(hào)ys(t)={f(nTs)}中無(wú)失真地恢復(fù)出原信號(hào)f(t)。

這里引出兩個(gè)新術(shù)語(yǔ)：奈奎斯特間隔和奈奎斯特速率。所謂奈奎斯特間隔，就是能夠唯一確定信號(hào)f(t)的最大抽樣間隔。而能夠唯一確定信號(hào)f(t)的最小抽樣頻率就是奈奎斯特速率?？梢?jiàn)，奈奎斯特間隔，奈奎斯特速率=2fH

。

下面以圖3－7為例，對(duì)抽樣定理給予簡(jiǎn)單的證明。

圖3－7抽樣過(guò)程示意圖

設(shè)帶限信號(hào)為f(t)，其頻譜為F(ω)；抽樣脈沖序列為一周期信號(hào)沖激串δT(t)，頻譜為δT(ω)；樣值信號(hào)ys(t)的頻譜為Ys(ω)，則有

由頻域卷積性質(zhì)可得

而沖激串

的頻譜為

所以有

（3.5－1）

圖3－8頻譜重疊示意圖

下面從時(shí)域看一下重建（恢復(fù)）模擬信號(hào)f(t)的過(guò)程。我們知道理想低通濾波器的頻譜是一個(gè)門(mén)函數(shù)，若設(shè)濾波器的沖激響應(yīng)為h(t)，則h(t)的傅里葉變換H(ω)也就是濾波器的傳輸函數(shù)為

樣值信號(hào)ys(t)通過(guò)低通濾波器，在時(shí)域上就是與沖激響應(yīng)h(t)作卷積運(yùn)算。設(shè)低通濾波器的輸出為f(t)，也就是重建信號(hào)，則有

(3.5－2)圖3－9

重建信號(hào)波形示意圖

例題3－1單路話音信號(hào)的帶寬為4kHz，對(duì)其進(jìn)行PCM傳輸，求：

（1）最低抽樣頻率；

（2）抽樣后按8級(jí)量化，求PCM系統(tǒng)的信息傳輸速率；

（3）若抽樣后按128級(jí)量化，PCM系統(tǒng)的信息傳輸速率又為多少？

解（1）由于fH=4kHz，根據(jù)低通抽樣定理，可知最低抽樣頻率fs=2fH=8kHz。也就是說(shuō)，對(duì)一個(gè)抽樣值編碼后的碼元所占時(shí)間為T(mén)s=1/fs。

（2）對(duì)抽樣值進(jìn)行8級(jí)量化意味著要用3位。因?yàn)槭菃温沸盘?hào)，每秒有8000個(gè)抽樣值，一個(gè)抽樣值用3個(gè)碼元，所以波特率為Rs=3×8000=24kBaud又因?yàn)槭嵌M(jìn)制碼元，波特率與比特率相等，所以信息傳輸速率為

Rs=3×8000=24k（baud）

(3)因?yàn)?28級(jí)量化需用7位二進(jìn)制碼進(jìn)行編碼，所以比特率為

Rb=Rs=7×8000=56kb/s

答最低抽樣頻率fs=2fH=8kHz；8級(jí)量化時(shí)的信息傳輸速率Rb=24kb/s；128級(jí)量化時(shí)的信息傳輸速率Rb=56kb/s。

通常認(rèn)為，典型的語(yǔ)音信號(hào)，也就是我們正常的說(shuō)話、唱歌信號(hào)的帶寬為50Hz~10kHz；用于電話的語(yǔ)音信號(hào)(也稱(chēng)為話音信號(hào))的帶寬為300Hz~3.4kHz（近似取4kHz）；音樂(lè)信號(hào)的帶寬（也就是音頻信號(hào)的帶寬）為20Hz~20kHz。那么，對(duì)于高保真音頻通信而言，語(yǔ)音信號(hào)的抽樣頻率要大于等于20kHz，音樂(lè)信號(hào)的抽樣頻率要大于等于40kHz（比如，CD的一種抽樣頻率為44.1kHz）。

3.5.2帶通抽樣定理

在實(shí)際工程中經(jīng)常遇到帶通型信號(hào)，即頻譜不是從直流開(kāi)始，而是在fL～fH的一段頻帶內(nèi)的信號(hào)。設(shè)信號(hào)帶寬B=fH-fL，通常把fL>B的信號(hào)稱(chēng)為帶通信號(hào)。那么對(duì)帶通信號(hào)是否也要求按fs≥2fH的條件進(jìn)行抽樣？如果不是的話，它與低通信號(hào)有何區(qū)別呢？下面結(jié)合圖3－10進(jìn)行定性分析。

圖3－10帶通型信號(hào)抽樣頻譜設(shè)F(ω)是一帶通信號(hào)的頻譜，其頻帶寬度為B=fH-fL，為討論方便，設(shè)fL=2B，如圖3－10（a）所示。

我們先把f(t)看成一個(gè)低通型信號(hào)（把頻譜的上、下邊帶用虛線連起來(lái)），用抽樣頻率fs=2fH對(duì)其進(jìn)行抽樣，得到如圖3－10（b）所示的樣值信號(hào)頻譜。從圖中可見(jiàn)，頻譜沒(méi)有重疊，但是上、下邊帶之間的頻帶卻是空的，如果要用低通濾波器恢復(fù)原始信號(hào)的話，其帶寬就必須等于3B。

如果我們按帶通信號(hào)對(duì)待，用抽樣頻率fs=2B對(duì)其進(jìn)行抽樣，就會(huì)得到如圖3－10（c）所示的頻譜。可見(jiàn)，頻譜仍不重疊，而占用頻帶的寬度卻減小了，此時(shí)，低通濾波器的帶寬只需等于原始信號(hào)帶寬B即可。

上例我們對(duì)帶通信號(hào)取了一個(gè)特例，即fL=2B。對(duì)于一般情況而言，只要fL

>0，當(dāng)抽樣頻率fs滿足下式時(shí)

（3.5－3）

就可以保證原始帶通型信號(hào)f(t)完全由樣值信號(hào)ys(t)所確定。其中， ;N為不超過(guò)fH/B的最大正整數(shù)，則0≤M≤1?？梢宰C明，帶通信號(hào)的抽樣頻率范圍為2B～4B（不能等于4B）。

例題3－2

12路載波電話信號(hào)的頻帶范圍是(60～108)kHz，求其最低抽樣頻率fsmin。

解因?yàn)樾盘?hào)帶寬B=fH－fL=108－60=48kHz，fH/B=2.25，所以N取2，則M=2.25－2=0.25，根據(jù)式（3.5－3）可得

答最低抽樣頻率fsmin=108kHz。

需要指出，從上述兩個(gè)抽樣定理可知，抽樣信號(hào)必須是沖激信號(hào)，而理想的沖激信號(hào)是無(wú)法得到的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，大都采用窄脈沖序列代替沖激信號(hào)。

3.6時(shí)分復(fù)用

我們知道一路基帶話音信號(hào)的最高頻率為3.4kHz，一般取其為fH=4kHz，那么，若對(duì)該信號(hào)進(jìn)行PCM，則根據(jù)抽樣定理取抽樣頻率為fs=8kHz，所對(duì)應(yīng)的抽樣間隔Ts=1/fs=125μs。如果每個(gè)樣點(diǎn)的持續(xù)時(shí)間為25μs，則樣值信號(hào)的相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)之間就有100μs的空閑時(shí)間。若一個(gè)信道只傳輸一路這樣的PCM信號(hào)，則每一秒就有約0.8s被白白浪費(fèi)掉了。如果進(jìn)行長(zhǎng)途傳輸，則其信道利用率之低，傳輸成本之高是人們難以容忍的。為此，人們提出了時(shí)分復(fù)用的概念。

時(shí)分復(fù)用，就是對(duì)欲傳輸?shù)亩嗦沸盘?hào)分配以固定的傳輸時(shí)隙（時(shí)間），以統(tǒng)一的時(shí)間間隔依次循環(huán)進(jìn)行斷續(xù)傳輸?shù)姆绞交蜻^(guò)程。下面以圖3－11為例詳細(xì)介紹時(shí)分復(fù)用的原理。圖3－11時(shí)分復(fù)用示意圖

假設(shè)收、發(fā)信端各有3人要通過(guò)一個(gè)實(shí)信道（一條電纜）同時(shí)打電話，我們把他們分成甲、乙、丙三對(duì)，并配以固定的傳輸時(shí)隙以一定的順序分別傳輸他們的信號(hào)。比如第一秒開(kāi)關(guān)撥在甲位傳輸甲對(duì)通話者的信號(hào)，第二秒開(kāi)關(guān)撥在乙位傳輸乙對(duì)通話者的信號(hào)，第三秒開(kāi)關(guān)撥在丙位傳輸丙對(duì)通話者的信號(hào)，第四秒又循環(huán)到傳送甲對(duì)信號(hào)，周而復(fù)始，直到通話完畢。時(shí)分復(fù)用的特點(diǎn)是，各路信號(hào)在頻譜上是互相重疊的，但在傳輸時(shí)彼此獨(dú)立，任一時(shí)刻，信道上只有一路信號(hào)在傳輸。

在上述通信過(guò)程的描述中，我們要注意兩個(gè)問(wèn)題。一是傳輸時(shí)間間隔必須滿足抽樣定理，即把各路信號(hào)的樣值信號(hào)分別傳輸一次的時(shí)間也就是完成一次循環(huán)的時(shí)間T必須小于等于125μs，但每一路信號(hào)傳輸時(shí)所占用的時(shí)間（時(shí)隙）沒(méi)有嚴(yán)格限制。顯然，一路信號(hào)占用的時(shí)間越少，則可復(fù)用的信號(hào)路數(shù)就越多。第二個(gè)問(wèn)題就是收信端和發(fā)信端的轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)必須同步動(dòng)作，否則信號(hào)傳輸就會(huì)發(fā)生混亂。

這里需要引入“幀”的概念。所謂“幀”，就是傳輸一段具有固定數(shù)據(jù)格式數(shù)據(jù)所占用的時(shí)間。這里面包含兩個(gè)意思：第一，“幀”是一段時(shí)間（不同應(yīng)用或不同場(chǎng)合的幀，其時(shí)間長(zhǎng)短是不同的），每一幀中的數(shù)據(jù)格式是一樣的；第二，“幀”是一種數(shù)據(jù)格式，一般來(lái)說(shuō)，同一種應(yīng)用每一幀的時(shí)間長(zhǎng)度和數(shù)據(jù)格式是一樣，但每一幀的數(shù)據(jù)內(nèi)容可以不同（注意，有時(shí)在同一種應(yīng)用中，其幀長(zhǎng)允許變化，比如802.3協(xié)議中的幀）。因此，在講到幀時(shí)，要么是強(qiáng)調(diào)傳輸時(shí)間的長(zhǎng)短，要么是強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)格式的結(jié)構(gòu)。比如，上面講的話音信號(hào)復(fù)用時(shí)，每一個(gè)傳輸循環(huán)必須小于等于125μs，如果我們?nèi)∽畲笾档脑挘瑒t一個(gè)循環(huán)就是125μs。

從傳輸時(shí)間上看，這125μs就是3路話音信號(hào)TDM的一個(gè)幀，而數(shù)據(jù)格式就是各路信號(hào)在一個(gè)幀中的安排方式（結(jié)構(gòu)）。注意在圖3－10所示的例子中，為了形象地說(shuō)明時(shí)分復(fù)用，我們“掩蓋”（沒(méi)有畫(huà)出）了量化和編碼過(guò)程，而實(shí)際上TDM都是傳輸經(jīng)過(guò)編碼后的數(shù)字信號(hào)。上例中，如果把125μs

四等分，前三個(gè)等分按甲、乙、丙的順序分別傳輸3路話音信號(hào)，第四個(gè)等分傳輸一路控制信號(hào)，每個(gè)樣值用8位二進(jìn)制碼編碼，那么這種數(shù)據(jù)安排方式就是數(shù)據(jù)格式或幀結(jié)構(gòu)。圖3－12就是時(shí)分復(fù)用幀結(jié)構(gòu)示意圖。

幀的概念非常重要，不但后面的復(fù)接技術(shù)要用到它，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中也經(jīng)常碰到。比如，異步傳輸模式ATM的信元就可以理解成幀，其結(jié)構(gòu)就是共有53個(gè)字節(jié)，每個(gè)字節(jié)有8位，前5個(gè)字節(jié)是信頭也就是所謂的控制碼，后48個(gè)字節(jié)是數(shù)據(jù)。常見(jiàn)的以太網(wǎng)數(shù)據(jù)幀結(jié)構(gòu)（802.3標(biāo)準(zhǔn)）只比ATM信元復(fù)雜一點(diǎn)，具體格式如圖3－13所示。注意，這里的幀強(qiáng)調(diào)的是其數(shù)據(jù)格式也就是幀結(jié)構(gòu)。

圖3－12時(shí)分復(fù)用幀結(jié)構(gòu)示意圖

圖3－13

ATM信元和以太網(wǎng)數(shù)據(jù)幀的格式示意圖

細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)上述普通的時(shí)分復(fù)用技術(shù)有一個(gè)缺陷，即在傳輸過(guò)程中，如果有一路或多路信號(hào)在該它（它們）傳輸?shù)臅r(shí)刻沒(méi)有信號(hào)（信號(hào)為零），則事先分配給它（它們）的這一段時(shí)間就浪費(fèi)了。比如我們打電話時(shí)的話音信號(hào)就是時(shí)斷時(shí)續(xù)的。如果復(fù)用的路數(shù)比較多的話，這種時(shí)間浪費(fèi)就不可忽視，因?yàn)樗档土诵诺览寐省榇?，人們提出了統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用（StatisticalTimeDivisionMultiplex，STDM）的概念，即對(duì)復(fù)用的多路信號(hào)不再分配給固定的傳輸時(shí)間，而是根據(jù)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性動(dòng)態(tài)分配傳輸時(shí)間。通俗地講，對(duì)于每一路信號(hào)，你有值，我就給你傳輸時(shí)間；你沒(méi)值，我就跳過(guò)你，把時(shí)間分給有值的其他路信號(hào)。這樣，由于每一次循環(huán)中所傳輸?shù)男盘?hào)路數(shù)都可能不一樣，因此每一幀的長(zhǎng)度就不同，統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用的特點(diǎn)正在于此。統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用的缺點(diǎn)是由于采用了流量控制，而對(duì)信號(hào)的傳輸帶來(lái)了延遲。STDM通常與TDM結(jié)合起來(lái)使用。

我們已經(jīng)有了PCM和TDM的概念，那么自然會(huì)想到一個(gè)問(wèn)題：如果對(duì)PCM信號(hào)進(jìn)行FDM會(huì)怎樣？換句話說(shuō)，對(duì)于一路模擬話音信號(hào)和一路PCM話音信號(hào)，它們?cè)贔DM時(shí)的主要區(qū)別是什么？這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是討論P(yáng)CM信號(hào)的帶寬問(wèn)題。我們已經(jīng)知道一路模擬話音信號(hào)的帶寬為4kHz，而一路PCM話音信號(hào)的帶寬是多少呢？在A律量化中，量化級(jí)數(shù)為256，一個(gè)碼組的長(zhǎng)度是8位，即一個(gè)樣值用8位二進(jìn)制碼，按抽樣定理每125μs抽一次樣，則一秒內(nèi)共傳輸二進(jìn)制碼元的個(gè)數(shù)為8×8000=64000，也就是說(shuō)信息傳輸速率（比特率）為64kb/s。而傳輸64kb/s的數(shù)字信號(hào)理論上所需帶寬最少為32kHz，可見(jiàn)一路PCM話音信號(hào)的帶寬至少是一路模擬話音信號(hào)的帶寬的8倍。換句話說(shuō)，在同一信道中以頻分復(fù)用的方式傳輸模擬信號(hào)的路數(shù)比傳輸脈沖編碼調(diào)制信號(hào)的路數(shù)多好幾倍。這正說(shuō)明了數(shù)字通信為什么所需的帶寬比模擬通信大。

【例題3－3】對(duì)24路最高頻率為4kHz的信號(hào)進(jìn)行時(shí)分復(fù)用，采用PAM方式傳輸。假定所用的脈沖為周期性矩形脈沖，脈沖的寬帶τ為每路應(yīng)占用時(shí)間的一半。試求此24路PAM系統(tǒng)的最小帶寬。

【解】PAM就是脈幅調(diào)制，也就是PCM的第一步“抽樣”。因?yàn)槊柯沸盘?hào)最高頻率均為4kHz，所以抽樣頻率fs=4×2=8kHz，抽樣間隔。因此，每路信號(hào)所占時(shí)隙寬度因?yàn)榘胝伎彰}沖的寬度所以脈沖序列頻率為。意味著系統(tǒng)的帶寬B必須滿足因此，系統(tǒng)的最小帶寬。 3.7小資料——赫茲

赫茲(HeinrichRudolfHertz，1857～1894)，德國(guó)物理學(xué)家。1857年2月22日生于漢堡，父親為律師，后任參議員，家庭富有。赫茲在少年時(shí)期就表現(xiàn)出對(duì)實(shí)驗(yàn)的興趣，12歲時(shí)便有了木工工具和工作臺(tái)，以后又有了車(chē)床，常常用以制作簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)儀器。

1876年赫茲進(jìn)入德累斯頓工學(xué)院學(xué)習(xí)工程，由于對(duì)自然科學(xué)的愛(ài)好，后轉(zhuǎn)入慕尼黑大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理，第二年又轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，在赫爾姆霍茲指導(dǎo)下學(xué)習(xí)并進(jìn)行研究工作。在隨赫爾姆霍茲學(xué)習(xí)物理時(shí)，受赫爾姆霍茲的鼓勵(lì)研究麥克斯韋電磁理論。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，他確認(rèn)了電磁波具有與光類(lèi)似的特性，如反射、折射、衍射等，并且實(shí)驗(yàn)了兩列電磁波的干涉，同時(shí)證實(shí)了在直線傳播時(shí)，電磁波的傳播速度與光速相同，從而全面驗(yàn)證了麥克斯韋