高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專題訓(xùn)練(新高考專用)專題27平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題27平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示共線共線向量定理平面向量的有關(guān)概念向量平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示加法向量的線性運(yùn)算單位向量相等向量平行向量共線向量減法數(shù)乘相反向量零向量向量的模平面向量基本定理平面向量坐標(biāo)表示共線向量坐標(biāo)表示練高考明方向1.(2023·全國(guó)乙（文）T3）已知向量，則（）A.2 B.3 C.4 D.52.(2023·新高考Ⅰ卷T3）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.3．(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))4．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ)在中,為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 ()A．B． C． D．5．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．6．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 ()A． B．C． D．7．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．8．(2023北京)在中，點(diǎn)，滿足，．若，則 ； ．講典例備高考類型一、平面向量有關(guān)概念基礎(chǔ)知識(shí)：1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量，其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0基本題型：1．等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AB，CD上，EF過點(diǎn)P，且EF//AD，則下列等式正確的是（）A． B．C． D．2．(多選)下列說法正確的是()A．非零向量a與b同向是a＝b的必要不充分條件B．向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))(eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))為非零向量)就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在直線平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在直線C．a(chǎn)與b是非零向量，若a與b同向，則a與－b反向D．設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線3．給出下列四個(gè)命題：①eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線平行；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④4、（多選題）已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使共線的是()A．且B．存在相異實(shí)數(shù)，使C．（其中實(shí)數(shù)滿足）D．已知梯形．其中基本方法：對(duì)于向量概念的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．(5)向量的特征是有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，用字母表示，也可以用坐標(biāo)表示。(6)相等的向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)數(shù)，可以比較大小。(8)向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的。類型二、向量的線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)：1.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩向量的差(即求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算)a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb基本題型：1．在平行四邊形中，，則必有（）.A． B．或C．四邊形是矩形 D．四邊形是正方形2．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．3、（多選題）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．4．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)基本方法：平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．(2)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解；含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解。(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果．(4)利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路①?zèng)]有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置。②利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式。③比較，觀察可知所求。類型三、共線向量定理基礎(chǔ)知識(shí)：共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。2、常用結(jié)論：（1）若A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心。（2）A，B，C三點(diǎn)共線，O為A，B，C所在直線外一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))且λ＋μ＝1。特別，當(dāng)A為線段BC中點(diǎn)時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))。基本題型：1．P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，其中，則P點(diǎn)一定在（）A．內(nèi)部 B．邊所在直線上C．邊所在直線上 D．邊所在直線上如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，連接AC，MN交于點(diǎn)P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up7(→))，則點(diǎn)N在AD上的位置為()A．AD中點(diǎn)B．AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)C．AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)D．AD上靠近點(diǎn)D的五等分點(diǎn)3．已知向量a，b且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D4、已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a3eq\o(OB,\s\up7(→))＋a2020eq\o(OC,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝deq\o(BC,\s\up7(→))，則S2022＝()A．0 B．1011C．2020 D．2022在△ABC中，點(diǎn)P滿足eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))(m＞0，n＞0)，則m＋2n的最小值為()A．3 B．4C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)在△ABC中，D在線段BC上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AB,\s\up7(→))，λ，μ均為非零常數(shù)，若N，D，M三點(diǎn)共線，則eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.7．設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，已知.（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.基本方法：1、利用共線向量定理解題的策略（1）證明三點(diǎn)共線：當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線（2）含參共線問題：利用a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0構(gòu)造含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)得到參數(shù)的值．若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0（3）三點(diǎn)共線的應(yīng)用：eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1類型四、平面向量基本定理基礎(chǔ)知識(shí)：1．平面向量基本定理(1)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。注意：能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的?；绢}型：1．在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CD,\s\up7(→))＝b，E為AD的靠近D的三等分點(diǎn)，CE與BD交于F，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)bB．－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC．－eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b D.eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b2．如圖，正方形中，分別是的中點(diǎn)，若則（）A． B． C． D．3.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．34．在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，4eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))，則()A．λ＝2 B．λ＝3C．λ＝4 D．λ＝55．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________.基本方法：用平面向量基本定理解決問題基本策略：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的．類型五、平面向量的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)知識(shí)：1．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數(shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y。2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加法、減法設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)向量的數(shù)乘設(shè)a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)3．向量共線的坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0。4.注意事項(xiàng)：(1)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y2＋y3,3))).(3)a∥b的充要條件不能表示為eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能為0.(4)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．基本題型：1．已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．(多選)已知點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，與向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐標(biāo)可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)3．已知兩個(gè)非零向量，不共線，若，，且A、B、D三點(diǎn)共線，則等于（）A． B． C．2 D．4．設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)5．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n,0)，m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m＋n的最大值為()A．－3B．－2C．2D．36、（多選題）已知向量則（）A． B．C． D．7．如圖是由等邊和等邊構(gòu)成的六角星，圖中，，，，，均為三等分點(diǎn)，兩個(gè)等邊三角形的中心均為，若，則的值為（）A． B． C． D．1基本方法：1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則。2．兩平面向量共線的充要條件有兩種形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)?a＝λb。3．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)。當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解。4．利用坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題，一般先要建立直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量用坐標(biāo)表示，再結(jié)合題目的要求列出關(guān)系式。新預(yù)測(cè)破高考1．已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或2．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．3．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②有向線段就是向量，向量就是有向線段；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則．其中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．4．設(shè)向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．5、（多選題）如圖所示，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，下列關(guān)于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正確的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→)) B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))6．直線l與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于點(diǎn)K，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AK,\s\up7(→))(λ∈R)，則λ＝()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D．57．若a，β是一組基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底a，β下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)8、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)9．是內(nèi)的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．10．已知向量，，，則當(dāng)取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．11、（多選題）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn) B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上 C．若，則點(diǎn)是的重心 D．若，且，則的面積是面積的12．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA·eq\o(OA,\s\up7(→))＋SB·eq\o(OB,\s\up7(→))＋SC·eq\o(OC,\s\up7(→))＝0.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．設(shè)O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))，則eq\f(S△AOB,S△ABC)＝()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)13、（多選題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．14．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分別是AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足2|eq\o(AM,\s\up7(→))|＋|eq\o(AN,\s\up7(→))|＝1，設(shè)eq\o(AC,\s\up7(→))＝xeq\o(AM,\s\up7(→))＋yeq\o(AN,\s\up7(→))，則2x＋3y的最小值為()A．48 B．49C．50 D．5115．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up7(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.16．向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則___________.17．中，為邊上的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為______18．已知非零向量滿足，，且，則的值為______.19．如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足.若，求的最小值.20．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn).設(shè)，.（1）試用向量、表示；（2）在線段上取一點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)，設(shè)，，求證：.2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題27平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示向量向量平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示加法向量的線性運(yùn)算單位向量相等向量平行向量共線向量減法數(shù)乘相反向量零向量向量的模平面向量基本定理平面向量的有關(guān)概念平面向量基本定理平面向量的有關(guān)概念共線向量坐標(biāo)共線向量坐標(biāo)表示平面向量坐標(biāo)表示共線向量定理共線向量定理練高考明方向1.(2023·全國(guó)乙（文）T3）已知向量，則（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)椋?故選：D2.(2023·新高考Ⅰ卷T3）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.答案：B【解析】分析：根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．3．(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))答案：A【解析】∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))，∴eq\o(CB,\s\up7(→))＝2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)).故選A.4．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ)在中,為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 ()A．B． C． D．答案：A【解析】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，．5．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．【解析】A【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，則，，，，由等面積法可得圓的半徑為，所以圓的方程為，所以，，，由，得，所以=，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離小于半徑，所以，解得，所以的最大值為3，即的最大值為3，選A．6．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 ()A． B．C． D．答案：A解析：由題知=，故選A．7．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．答案：解析：因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．8．(2023北京)在中，點(diǎn)，滿足，．若，則 ； ．答案：【解析】由．所以，．講典例備高考類型一、平面向量有關(guān)概念基礎(chǔ)知識(shí)：1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量，其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0基本題型：1．等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AB，CD上，EF過點(diǎn)P，且EF//AD，則下列等式正確的是（）A． B．C． D．答案：D【詳解】依題意可得如下圖形，是等腰梯形，，，，，，，，，故正確；對(duì)于：，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于：的長(zhǎng)度相等但方向不相同或相反，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于：的長(zhǎng)度相等但方向相反，故，故錯(cuò)誤；2．(多選)下列說法正確的是()A．非零向量a與b同向是a＝b的必要不充分條件B．向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))(eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))為非零向量)就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在直線平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在直線C．a(chǎn)與b是非零向量，若a與b同向，則a與－b反向D．設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線答案：AC【詳解】根據(jù)向量的有關(guān)概念可知A、C正確，B、D錯(cuò)誤．3．給出下列四個(gè)命題：①eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線平行；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④答案：A【詳解】①不正確．eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線可能重合；②正確．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))；③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c；④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③，故選A.4、（多選題）已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使共線的是()A．且B．存在相異實(shí)數(shù)，使C．（其中實(shí)數(shù)滿足）D．已知梯形．其中答案：AB【解析】對(duì)于A，向量是兩個(gè)非零向量，且，，此時(shí)能使共線，故A正確；對(duì)于B，存在相異實(shí)數(shù)，使，要使非零向量是共線向量，由共線定理即可成立，故B正確；對(duì)于C，（其中實(shí)數(shù)滿足）如果則不能使共線，故C不正確；對(duì)于D，已知梯形中，，，如果是梯形的上下底，則正確，否則錯(cuò)誤；基本方法：對(duì)于向量概念的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．(5)向量的特征是有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，用字母表示，也可以用坐標(biāo)表示。(6)相等的向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)數(shù)，可以比較大小。(8)向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的。類型二、向量的線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)：1.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩向量的差(即求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算)a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb基本題型：1．在平行四邊形中，，則必有（）.A． B．或C．四邊形是矩形 D．四邊形是正方形答案：C【詳解】在平行四邊形中，因?yàn)?，所以，即?duì)角線相等，因?yàn)閷?duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以是矩形.2．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．答案：D【詳解】利用向量的三角形法則，可得，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，，，又，.3、（多選題）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．答案：ABD【解析】因?yàn)樗倪呅螢樘菪危渲?，，，分別為，的中點(diǎn)，；對(duì)，為的中線；；對(duì)，；對(duì)；錯(cuò)；4．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案：D【解析】由題意易得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，則2eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→)).所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).基本方法：平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．(2)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解；含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解。(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果．(4)利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路①?zèng)]有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置。②利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式。③比較，觀察可知所求。類型三、共線向量定理基礎(chǔ)知識(shí)：共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。2、常用結(jié)論：（1）若A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心。（2）A，B，C三點(diǎn)共線，O為A，B，C所在直線外一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))且λ＋μ＝1。特別，當(dāng)A為線段BC中點(diǎn)時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))?；绢}型：1．P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，其中，則P點(diǎn)一定在（）A．內(nèi)部 B．邊所在直線上C．邊所在直線上 D．邊所在直線上答案：B【詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)P在邊所在直線上.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，連接AC，MN交于點(diǎn)P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up7(→))，則點(diǎn)N在AD上的位置為()A．AD中點(diǎn)B．AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)C．AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)D．AD上靠近點(diǎn)D的五等分點(diǎn)答案：B【詳解】設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AN,\s\up7(→))，因?yàn)閑q\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(4,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)eq\o(AM,\s\up7(→))＋λeq\o(AN,\s\up7(→))))＝eq\f(5,11)eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\f(4λ,11)eq\o(AN,\s\up7(→))，又M，N，P三點(diǎn)共線，所以eq\f(5,11)＋eq\f(4λ,11)＝1，解得λ＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以點(diǎn)N在AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)．3．已知向量a，b且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D答案：A【詳解】由eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，可得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，所以A，B，D共線，所以A正確；B、C、D顯然不正確．4、已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a3eq\o(OB,\s\up7(→))＋a2020eq\o(OC,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝deq\o(BC,\s\up7(→))，則S2022＝()A．0 B．1011C．2020 D．2022答案：B【詳解】由eq\o(AB,\s\up7(→))＝deq\o(BC,\s\up7(→))可知，A，B，C三點(diǎn)共線，故由eq\o(OA,\s\up7(→))＝a3eq\o(OB,\s\up7(→))＋a2020eq\o(OC,\s\up7(→))，可得a3＋a2020＝1，于是S2022＝eq\f(2022a1＋a2022,2)＝eq\f(2022a3＋a2020,2)＝1011，故選B.在△ABC中，點(diǎn)P滿足eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))(m＞0，n＞0)，則m＋2n的最小值為()A．3 B．4C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)答案：A【詳解】如圖，易知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3m)eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\f(2,3n)eq\o(AN,\s\up7(→)).∵M(jìn)，P，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,3m)＋eq\f(2,3n)＝1，∴m＝eq\f(n,3n－2)，則m＋2n＝eq\f(n,3n－2)＋2n＝eq\f(6n2－3n,3n－2)＝eq\f(\f(2,3)3n－22＋\f(5,3)3n－2＋\f(2,3),3n－2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3n－2＋\f(1,3n－2)))＋eq\f(5,3)≥eq\f(2,3)×2＋eq\f(5,3)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(3n－2)＝eq\f(1,3n－2)，即m＝n＝1時(shí)等號(hào)成立．在△ABC中，D在線段BC上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AB,\s\up7(→))，λ，μ均為非零常數(shù)，若N，D，M三點(diǎn)共線，則eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案：3【詳解】∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AN,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3μ)eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\f(2,3λ)eq\o(AM,\s\up7(→))，若N，D，M三點(diǎn)共線，則eq\f(1,3μ)＋eq\f(2,3λ)＝1，∴eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.7．設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，已知.（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.答案：（1）證明見解析（2）【詳解】（1）由已知得..又與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線.（2）由（1）可知，又，∴可設(shè)，，即，解得.基本方法：1、利用共線向量定理解題的策略（1）證明三點(diǎn)共線：當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線（2）含參共線問題：利用a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0構(gòu)造含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)得到參數(shù)的值．若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0（3）三點(diǎn)共線的應(yīng)用：eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1類型四、平面向量基本定理基礎(chǔ)知識(shí)：1．平面向量基本定理(1)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。注意：能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的?；绢}型：1．在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CD,\s\up7(→))＝b，E為AD的靠近D的三等分點(diǎn)，CE與BD交于F，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)bB．－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC．－eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b D.eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b答案：A【詳解】如圖，在AD上取G點(diǎn)，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，連接AK，GH，則AK∥GH∥EC，因?yàn)镈E∥BC且DE＝eq\f(1,3)BC，所以DF＝eq\f(1,4)DB(相似比)，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,4)(a－b)＝－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b.2．如圖，正方形中，分別是的中點(diǎn)，若則（）A． B． C． D．答案：D【解析】取向量作為一組基底，則有，所以，又，所以，即.3.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3答案：A【詳解】因?yàn)閑q\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，設(shè)eq\o(BP,\s\up7(→))＝teq\o(BN,\s\up7(→))，而eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋t(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))))＝(1－t)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)teq\o(AC,\s\up7(→))，所以m＝1－t且eq\f(t,4)＝eq\f(2,9)，故m＝1－t＝1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9).4．在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，4eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))，則()A．λ＝2 B．λ＝3C．λ＝4 D．λ＝5答案：C【詳解】∵eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))，整理可得，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(λ－1,λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(OB,\s\up7(→))，∵4eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ)＝\f(3,4)，,\f(1,λ)＝\f(1,4)，))解得λ＝4.5．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________.答案：【詳解】解法1：因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得：.解法2：因?yàn)?，設(shè)，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，所以解得：，所?基本方法：用平面向量基本定理解決問題基本策略：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的．類型五、平面向量的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)知識(shí)：1．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數(shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y。2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加法、減法設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)向量的數(shù)乘設(shè)a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)3．向量共線的坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0。4.注意事項(xiàng)：(1)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y2＋y3,3))).(3)a∥b的充要條件不能表示為eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能為0.(4)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．基本題型：1．已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案：D【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)，∵，，，∴，，∴，解得。2．(多選)已知點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，與向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐標(biāo)可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)答案：ABC【詳解】由點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(9,2)))，－7×3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×eq\f(14,3)＝0，所以A選項(xiàng)正確；－7×eq\f(9,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×7＝0，所以B選項(xiàng)正確；－7×(－3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)))＝0，所以C選項(xiàng)正確；－7×9－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×7≠0，所以D選項(xiàng)不正確．3．已知兩個(gè)非零向量，不共線，若，，且A、B、D三點(diǎn)共線，則等于（）A． B． C．2 D．答案：C【詳解】，∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴設(shè)，即，∴，解得.4．設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)答案：C【解析】∵A(2,0)，B(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,2)，∵點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AP,\s\up7(→))或eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2eq\o(AP,\s\up7(→))，故eq\o(AP,\s\up7(→))＝(1,1)或eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1，－1)，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(1，－1)，故選C.5．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n,0)，m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m＋n的最大值為()A．－3B．－2C．2D．3答案：A【解析】由題意易知，eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，其中eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2m－1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得2m＋1＋2n＝1,2m＋1＋2n≥2eq\r(2m＋n＋1)，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.6、（多選題）已知向量則（）A． B．C． D．答案：AD【解析】由題意可得.因?yàn)椋?，則A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，因?yàn)?，所以，則C錯(cuò)誤，D正確.7．如圖是由等邊和等邊構(gòu)成的六角星，圖中，，，，，均為三等分點(diǎn)，兩個(gè)等邊三角形的中心均為，若，則的值為（）A． B． C． D．1答案：D【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，，，,，，解得，.基本方法：1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則。2．兩平面向量共線的充要條件有兩種形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)?a＝λb。3．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)。當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解。4．利用坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題，一般先要建立直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量用坐標(biāo)表示，再結(jié)合題目的要求列出關(guān)系式。新預(yù)測(cè)破高考1．已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或答案：B【詳解】因?yàn)?，，所以向量，所以與向量共線的單位向量為或.2．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．答案：B【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，所以,3．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②有向線段就是向量，向量就是有向線段；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則．其中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．答案：B【解析】對(duì)于①，兩個(gè)相等向量時(shí)，它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；對(duì)于②，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，∴②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，、不一定相等，∴四邊形不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，則，④正確；對(duì)于⑤，若，，當(dāng)時(shí)，不一定成立，∴⑤錯(cuò)誤；綜上，假命題是②③⑤，共3個(gè)，故選C.4．設(shè)向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．答案：B【詳解】，，則，，，，，，，，又與平行，，即．5、（多選題）如圖所示，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，下列關(guān)于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正確的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→)) B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))答案：BC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))，因?yàn)閑q\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))，所以A正確；對(duì)于B，由三角形法則得，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝－eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))，所以B不正確；對(duì)于C，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))，所以D正確．6．直線l與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于點(diǎn)K，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AK,\s\up7(→))(λ∈R)，則λ＝()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D．5答案：D【詳解】∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AK,\s\up7(→))，易知λ≠0，∴eq\o(AK,\s\up7(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,λ)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,λ)(2eq\o(AE,\s\up7(→))＋3eq\o(AF,\s\up7(→)))＝eq\f(2,λ)eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\f(3,λ)eq\o(AF,\s\up7(→))，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線可得，eq\f(2,λ)＋eq\f(3,λ)＝1，故λ＝5.7．若a，β是一組基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底a，β下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)答案：D【解析】∵a在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))∴a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)．8、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)答案：A【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up7(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))＝λ(1,0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).9．是內(nèi)的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．答案：C【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)為，則.∵，∴，∴.∴.10．已知向量，，，則當(dāng)取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．答案：C【詳解】由知在直線上，當(dāng)時(shí)，最小，如圖，，又，∴，，這時(shí)，．11、（多選題）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn) B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上 C．若，則點(diǎn)是的重心 D．若，且，則的面積是面積的答案：ACD【解析】若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故正確；若，即有，即，