【寒假自學(xué)課】蘇教版2024年高一數(shù)學(xué)寒假第15講余弦定理、正弦定理的應(yīng)用(原卷版+解析)

第15講余弦定理、正弦定理的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；2、了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)；3、能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問(wèn)題。【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：判定三角形的形狀考點(diǎn)二：求三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題考點(diǎn)三：求三角形面積范圍與最值問(wèn)題考點(diǎn)四：幾何圖形的計(jì)算考點(diǎn)五：距離測(cè)量問(wèn)題考點(diǎn)六：高度測(cè)量問(wèn)題考點(diǎn)七：角度測(cè)量問(wèn)題考點(diǎn)八：正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正確．其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實(shí)際問(wèn)題畫圖數(shù)學(xué)問(wèn)題解三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題的解檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：判定三角形的形狀例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形例2．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在中，若，則這個(gè)三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)二：求三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題例3．(2023·四川內(nèi)江·高一期末（文））中，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例4．(2023·山西運(yùn)城·高一階段練習(xí)）在中，，D是BC中點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．例5．(2023·福建·晉江市磁灶中學(xué)高一階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三：求三角形面積范圍與最值問(wèn)題例6．(2023·江蘇南通·高一期末）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為(

)A．1 B．3 C．2 D．4例7．(2023·四川省岳池中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，則的面積的最大值為（

）A．3 B．6 C． D．例8．(2023·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））設(shè)銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：幾何圖形的計(jì)算例9．(2023·山東濱州·高一期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.例10．(2023·遼寧·高一期末）如圖，在已知圓周上有四點(diǎn)、、、，，，.(1)求的長(zhǎng)以及四邊形的面積；(2)設(shè)，，求的值.考點(diǎn)五：距離測(cè)量問(wèn)題例11．(2023·上海市陸行中學(xué)高一期末）某觀測(cè)站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛?cè)?，行駛?0千米后，到達(dá)處，在觀察站處測(cè)得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問(wèn)這艘漁船到達(dá)港口還需行駛多少千米？例12．(2023·上海市第十中學(xué)高一期末）如圖，要計(jì)算西湖岸邊兩景點(diǎn)與的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，，，，求兩景點(diǎn)與的距離（精確到）.參考數(shù)據(jù)：，，.考點(diǎn)六：高度測(cè)量問(wèn)題例13．(2023·云南保山·高一期末）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽(yáng)區(qū)太保山麓，古塔建設(shè)于唐代南詔時(shí)期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見(jiàn)面．如圖，某同學(xué)在測(cè)量塔高AB時(shí)，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C和D．測(cè)得，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A仰角為，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù)）．例14．(2023·四川樂(lè)山·高一期末）如圖，為測(cè)量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)M的仰角，C點(diǎn)的仰角以及；從C點(diǎn)測(cè)得．已知山高，求山高．考點(diǎn)七：角度測(cè)量問(wèn)題例15．(2023·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角．例16．(2023·重慶八中高一期末）從某點(diǎn)的指北方向線起，依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角，叫方位角．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號(hào)，如圖，我國(guó)海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測(cè)出該貨船在方位角為45°，距離為20海里的C處，并測(cè)得貨船正沿方位角為105°的方向．以20海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以海里/小時(shí)的速度，以直線軌跡行駛前去營(yíng)救，求護(hù)航艦的航向（方位角）和靠近貨船所需的時(shí)間．考點(diǎn)八：正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例17．(2023·廣東·廣州市培英中學(xué)高一期中）如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段BC（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持不變，設(shè)．(1)寫出的取值范圍，并分別求線段AE，AF關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求面積S的最小值．例18．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，且，求的取值范圍.【真題演練】1．（2023·全國(guó)·高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4733．(2023·全國(guó)·高考真題（理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．4．(2023·全國(guó)·高考真題（文））如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高_(dá)_________．5．(2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．6．（2023·江蘇·高考真題）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．8．(2023·浙江·高考真題（理））在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．9．(2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為（1）求B的大?。唬?）求的取值范圍.10．(2023·湖南·高考真題（理））如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長(zhǎng)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．(2023·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一期末）某大學(xué)校園內(nèi)有一個(gè)“少年湖”，湖的兩側(cè)有一個(gè)健身房和一個(gè)圖書館，如圖，若設(shè)音樂(lè)教室在處，圖書館在處，為測(cè)量?兩地之間的距離，甲同學(xué)選定了與?不共線的處，構(gòu)成，以下是測(cè)量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測(cè)量；②測(cè)量；③測(cè)量；④測(cè)量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學(xué)應(yīng)選擇的方案的序號(hào)為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④2．(2023·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）.當(dāng)變化時(shí)，線段長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．3．(2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一階段練習(xí)）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世．如圖，若某人在點(diǎn)A測(cè)得滕王閣頂端仰角為，此人往滕王閣方向走了42米到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考最據(jù)：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形5．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））己知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．若為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，則B．若滿足，則C．若，則D．若，則為銳角三角形6．(2023·河南·商水縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一期末）杭師大附中天文臺(tái)是學(xué)校圖書館處的標(biāo)志性建筑.小金同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、天文臺(tái)頂C的仰角分別是和，在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為，假設(shè)和點(diǎn)M在同一平面內(nèi)，則小金可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)的高度為（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·高一期中）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（

）A． B．C． D．8．(2023·四川省德陽(yáng)中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））已知輪船和輪船同時(shí)從島出發(fā)，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）．若船的航行速度為，后，船測(cè)得船位于船的北偏東的方向上，則此時(shí)，兩船相距（

）．A． B．40 C． D．二、多選題9．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某人向正東方向走了后向右轉(zhuǎn)了，然后沿新方向走了，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么x的值是（

）A． B． C．3 D．610．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一艘客船上午9：30在A處，此時(shí)測(cè)得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時(shí)的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得客船與燈塔S相距，則燈塔S可能在B處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向 C．東北方向 D．東南方向11．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.若是外一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的內(nèi)角B．的內(nèi)角C．四邊形面積的最小值為D．四邊形面積無(wú)最大值12．(2023·重慶·西南大學(xué)附中高一期末）銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點(diǎn)D在邊BC上，且，則下列判斷正確的是（

）A． B．△BOD為直角三角形C．△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（3，9] D．AD的最大值為三、填空題13．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點(diǎn)，其集圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A和教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為_(kāi)_____米.14．(2023·青?！ず|市教育研究室高一期末）甲，乙兩艘漁船從港口處出海捕魚，甲在處西北方向上的處捕魚，乙在處北偏東方向上的處捕魚，已知處在處北偏東的方向上，則，之間的距離為_(kāi)____________．15．(2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)之王，很多數(shù)學(xué)定理以他的名字命名.對(duì)而言，若其內(nèi)部的點(diǎn)滿足，則稱為的費(fèi)馬點(diǎn).如圖所示，在中，已知，設(shè)為的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿足，.則的外接圓直徑長(zhǎng)為_(kāi)_____.16．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知向量，且．若，且是銳角三角形，則的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題17．(2023·上海市陸行中學(xué)高一期末）某觀測(cè)站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛?cè)?，行駛?0千米后，到達(dá)處，在觀察站處測(cè)得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問(wèn)這艘漁船到達(dá)港口還需行駛多少千米？18．(2023·湖南·隆回縣教育科學(xué)研究室高一期末）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，已知，，°(1)求的值；(2)求sinC的值；(3)若D為邊BC上一點(diǎn)，且cos∠ADC=，求BD的長(zhǎng).19．(2023·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高一期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)若，求cosB的值；(2)是否存在△ABC，滿足B為直角？若存在，求出△ABC的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．21．(2023·浙江省杭州第二中學(xué)高一期末）如圖，直線，點(diǎn)是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于直線，，（，為常數(shù)），點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，已知.設(shè)（），的面積為.(1)若，求梯形的面積；(2)寫出的解析式；(3)求的最小值.22．(2023·江西·臨川一中高一階段練習(xí)）如圖所示，公路一側(cè)有一塊空地，其中，，．市政府?dāng)M在中間開(kāi)挖一個(gè)人工湖，其中都在邊上（不與重合，M在之間），且．(1)若M在距離A點(diǎn)處，求的長(zhǎng)度；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積盡可能小，設(shè)，試確定的值，使的面積最小，并求出最小面積．第15講余弦定理、正弦定理的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；2、了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)；3、能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問(wèn)題?！究键c(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：判定三角形的形狀考點(diǎn)二：求三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題考點(diǎn)三：求三角形面積范圍與最值問(wèn)題考點(diǎn)四：幾何圖形的計(jì)算考點(diǎn)五：距離測(cè)量問(wèn)題考點(diǎn)六：高度測(cè)量問(wèn)題考點(diǎn)七：角度測(cè)量問(wèn)題考點(diǎn)八：正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正確．其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實(shí)際問(wèn)題畫圖數(shù)學(xué)問(wèn)題解三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題的解檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：判定三角形的形狀例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案：A【解析】因?yàn)?，所以所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即是直角三角?故選：A例2．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在中，若，則這個(gè)三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：D【解析】由正弦定理及題意，得，．∵，∴，∴或，即或．∴這個(gè)三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D考點(diǎn)二：求三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題例3．(2023·四川內(nèi)江·高一期末（文））中，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)椋?，即，由正弦定理可得，由余弦定理，因?yàn)?，所以，由正弦定理，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A例4．(2023·山西運(yùn)城·高一階段練習(xí)）在中，，D是BC中點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．答案：A【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，在中由正弦定理，有，所以，．所以，（其中，，所以時(shí)，此時(shí)取得最大值為，所以的最大值為．故選：A例5．(2023·福建·晉江市磁灶中學(xué)高一階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】,由正弦定理可得，再由余弦定理可得，,.所以在銳角中，，由正弦定理得：所以，所以.因?yàn)?，所以，所?故選：D.考點(diǎn)三：求三角形面積范圍與最值問(wèn)題例6．(2023·江蘇南通·高一期末）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為(

)A．1 B．3 C．2 D．4答案：C【解析】，，即，即，則，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a2，則．故選：C．例7．(2023·四川省岳池中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，則的面積的最大值為（

）A．3 B．6 C． D．答案：A【解析】，故，因?yàn)椋?，又，由余弦定理得：，由面積公式得：，由三角形三邊關(guān)系得：，解得：，故當(dāng)時(shí)，△ABC面積取得最大值，此時(shí)面積為3.故選：A例8．(2023·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））設(shè)銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得：，；，，，解得：，；由正弦定理得：；為銳角三角形，，解得：，，，，.故選：D.考點(diǎn)四：幾何圖形的計(jì)算例9．(2023·山東濱州·高一期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.【解析】（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以.又因?yàn)?，，所?由余弦定理得，，，所以.（2）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因?yàn)?，所以，所?例10．(2023·遼寧·高一期末）如圖，在已知圓周上有四點(diǎn)、、、，，，.(1)求的長(zhǎng)以及四邊形的面積；(2)設(shè)，，求的值.【解析】(1)由余弦定理可得，整理可得，因?yàn)?，解?由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，所以，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因?yàn)?，所以?(2)由余弦定理可得，，則為銳角，為鈍角，所以，，，則，，因此，.考點(diǎn)五：距離測(cè)量問(wèn)題例11．(2023·上海市陸行中學(xué)高一期末）某觀測(cè)站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛?cè)ィ旭偭?0千米后，到達(dá)處，在觀察站處測(cè)得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問(wèn)這艘漁船到達(dá)港口還需行駛多少千米？【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以.在中，，，.由正弦定理得（千米）.所以這艘漁船到達(dá)港口還需行駛15千米.例12．(2023·上海市第十中學(xué)高一期末）如圖，要計(jì)算西湖岸邊兩景點(diǎn)與的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，，，，求兩景點(diǎn)與的距離（精確到）.參考數(shù)據(jù)：，，.【解析】根據(jù)題意，在中，，，，所以由余弦定理得：，即；所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，，，所以，，?所以，景點(diǎn)與的距離大約為考點(diǎn)六：高度測(cè)量問(wèn)題例13．(2023·云南保山·高一期末）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽(yáng)區(qū)太保山麓，古塔建設(shè)于唐代南詔時(shí)期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見(jiàn)面．如圖，某同學(xué)在測(cè)量塔高AB時(shí)，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C和D．測(cè)得，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A仰角為，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù)）．【解析】（1）在中，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，又，所以，則；（2）在中，因?yàn)椋悦?，則中，米，所以塔高AB為47米.例14．(2023·四川樂(lè)山·高一期末）如圖，為測(cè)量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)M的仰角，C點(diǎn)的仰角以及；從C點(diǎn)測(cè)得．已知山高，求山高．【解析】在中，因，則，在，，則，由正弦定理可得，即，解得，在中，，，則．所以山高為.考點(diǎn)七：角度測(cè)量問(wèn)題例15．(2023·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角．【解析】由勾股定理得：，，由余弦定理得：，因?yàn)?，所?例16．(2023·重慶八中高一期末）從某點(diǎn)的指北方向線起，依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角，叫方位角．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號(hào)，如圖，我國(guó)海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測(cè)出該貨船在方位角為45°，距離為20海里的C處，并測(cè)得貨船正沿方位角為105°的方向．以20海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以海里/小時(shí)的速度，以直線軌跡行駛前去營(yíng)救，求護(hù)航艦的航向（方位角）和靠近貨船所需的時(shí)間．【解析】設(shè)護(hù)航艦靠近貨船所需時(shí)間為t小時(shí)，營(yíng)救地點(diǎn)為，可得，．在△ABC中，由余弦定理可得，∴，化簡(jiǎn)可得，∴或（舍去）．∴護(hù)航艦需要1小時(shí)靠近貨船．∴，BC＝20，在△ABC中，根據(jù)正弦定理得：，∴，為三角形內(nèi)角，∴，∴可得護(hù)航艦航行的方位角為75°，所需時(shí)間為1小時(shí)．考點(diǎn)八：正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例17．(2023·廣東·廣州市培英中學(xué)高一期中）如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段BC（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持不變，設(shè)．(1)寫出的取值范圍，并分別求線段AE，AF關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求面積S的最小值．【解析】（1）由題意知，．（2）．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”．例18．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，且，求的取值范圍.【解析】（1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點(diǎn)滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡(jiǎn)得：，又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.∴.【真題演練】1．（2023·全國(guó)·高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距答案：A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473答案：B【解析】過(guò)作，過(guò)作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)椋栽谥?，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．3．(2023·全國(guó)·高考真題（理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．答案：【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.

4．(2023·全國(guó)·高考真題（文））如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高_(dá)_________．答案：150【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為150．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．5．(2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．6．（2023·江蘇·高考真題）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng)；（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．【詳解】解法一：（1）過(guò)A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因?yàn)镻B⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過(guò)O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)?，所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)椋氲?，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是8．(2023·浙江·高考真題（理））在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．【解析】（1）因?yàn)?；?）根據(jù)余弦定理可知：，，又，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故的最大值是．9．(2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為（1）求B的大小；（2）求的取值范圍.答案：（1）；（2）【解析】分析：（1）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由△ABC為銳角的三角形得（2）由△ABC為銳角的三角形知，所以，，，由此有，所以，的取值范圍為10．(2023·湖南·高考真題（理））如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長(zhǎng)．答案：(1)(2)【解析】分析：試題分析：(1)利用題意結(jié)合余弦定理可得；(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：.試題解析：（I）在中，由余弦定理得(II)設(shè)

在中，由正弦定理，

故【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．(2023·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一期末）某大學(xué)校園內(nèi)有一個(gè)“少年湖”，湖的兩側(cè)有一個(gè)健身房和一個(gè)圖書館，如圖，若設(shè)音樂(lè)教室在處，圖書館在處，為測(cè)量?兩地之間的距離，甲同學(xué)選定了與?不共線的處，構(gòu)成，以下是測(cè)量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測(cè)量；②測(cè)量；③測(cè)量；④測(cè)量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學(xué)應(yīng)選擇的方案的序號(hào)為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案：C【解析】①測(cè)量∠A，∠C，∠B，知道三個(gè)角度值，三角形有無(wú)數(shù)多組解，不能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；②測(cè)量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；③測(cè)量∠A，AC，BC，已知兩邊及其一邊的對(duì)角，由正弦定理可知，三角形可能有2個(gè)解，不能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；④測(cè)量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離.綜上可得，一定能唯一確定A，B兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是②④.故選：C2．(2023·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）.當(dāng)變化時(shí)，線段長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】方法一：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，在中，，，，，

，在中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即、、三點(diǎn)共線，此時(shí)有的最大值，的最大值為：，，的最大值為：.故選：C.方法二：如圖，設(shè)，，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，由同角關(guān)系可得：，，令，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最大值為：.故選：C.3．(2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一階段練習(xí)）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世．如圖，若某人在點(diǎn)A測(cè)得滕王閣頂端仰角為，此人往滕王閣方向走了42米到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考最據(jù)：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米答案：B【解析】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)知：，所以，則，又，可得米.故選：B4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形答案：A【解析】由正弦定理，若，則，為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；例如，，，滿足，但此時(shí)不是等腰三角形，C錯(cuò)；時(shí)，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯(cuò)．故選：A．5．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））己知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．若為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，則B．若滿足，則C．若，則D．若，則為銳角三角形答案：B【解析】對(duì)于A：因?yàn)闉榈冗吶切吻疫呴L(zhǎng)為2，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，即，所以，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，即，所以，則角為銳角，但角，角不確定，故D錯(cuò)誤；故選：B6．(2023·河南·商水縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一期末）杭師大附中天文臺(tái)是學(xué)校圖書館處的標(biāo)志性建筑.小金同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、天文臺(tái)頂C的仰角分別是和，在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為，假設(shè)和點(diǎn)M在同一平面內(nèi)，則小金可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)的高度為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故選：D7．(2023·浙江·高一期中）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（

）A． B．C． D．答案：A【解析】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A8．(2023·四川省德陽(yáng)中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））已知輪船和輪船同時(shí)從島出發(fā)，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）．若船的航行速度為，后，船測(cè)得船位于船的北偏東的方向上，則此時(shí)，兩船相距（

）．A． B．40 C． D．答案：B【解析】由圖所示：由題意可知：，，，由正弦定理可知：，所以，所以，即此時(shí)，兩船相距；故選：B二、多選題9．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某人向正東方向走了后向右轉(zhuǎn)了，然后沿新方向走了，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么x的值是（

）A． B． C．3 D．6答案：AB【解析】由題意設(shè)．由余弦定理得，解得或．故選：AB.10．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一艘客船上午9：30在A處，此時(shí)測(cè)得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時(shí)的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得客船與燈塔S相距，則燈塔S可能在B處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向 C．東北方向 D．東南方向答案：AB【解析】畫出示意圖如圖所示，由題意得，，，所以，解得，所以或．當(dāng)船在B處時(shí)，，所以；當(dāng)船在處時(shí)，，所以．綜上，燈塔S在B處的北偏東或南偏東方向．故選：AB.11．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.若是外一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的內(nèi)角B．的內(nèi)角C．四邊形面積的最小值為D．四邊形面積無(wú)最大值答案：AB【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理，得，所以，又因?yàn)?，所以，所以因?yàn)樗?，又因?yàn)椋?，所以，所以，因此A，B正確；四邊形面積等于，所以當(dāng)即時(shí)，取最大值，所以四邊形面積的最大值為，因此C，D錯(cuò)誤故選：AB12．(2023·重慶·西南大學(xué)附中高一期末）銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點(diǎn)D在邊BC上，且，則下列判斷正確的是（

）A． B．△BOD為直角三角形C．△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（3，9] D．AD的最大值為答案：ABD【解析】由題知，，由正弦定理可得，又△ABC為銳角三角形，所以，A正確；連接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，故B正確；△ABC周長(zhǎng)因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，故，所以，所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤；易知，當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，所以AD的最大值為，D正確.故選：ABD三、填空題13．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點(diǎn)，其集圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線