【寒假自學課】蘇教版2024年高一數(shù)學寒假第15講余弦定理、正弦定理的應用(原卷版+解析)

第15講余弦定理、正弦定理的應用【學習目標】1、進一步熟悉余弦定理、正弦定理；2、了解常用的測量相關術語；3、能運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決有關距離、高度、角度的實際問題?！究键c目錄】考點一：判定三角形的形狀考點二：求三角形邊長或周長范圍與最值問題考點三：求三角形面積范圍與最值問題考點四：幾何圖形的計算考點五：距離測量問題考點六：高度測量問題考點七：角度測量問題考點八：正余弦定理與三角函數(shù)性質的綜合應用【基礎知識】知識點一、解三角形應用題的步驟解三角形在實際中應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確．其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；明確已知和所求，理清量與量之間的關系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問題有關的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題．知識點二、解三角形應用題的基本思路實際問題畫圖數(shù)學問題解三角形數(shù)學問題的解檢驗實際問題的解【考點剖析】考點一：判定三角形的形狀例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形例2．(2023·全國·高一單元測試）在中，若，則這個三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形考點二：求三角形邊長或周長范圍與最值問題例3．(2023·四川內(nèi)江·高一期末（文））中，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例4．(2023·山西運城·高一階段練習）在中，，D是BC中點，且，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．例5．(2023·福建·晉江市磁灶中學高一階段練習）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且滿足關系式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點三：求三角形面積范圍與最值問題例6．(2023·江蘇南通·高一期末）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為(

)A．1 B．3 C．2 D．4例7．(2023·四川省岳池中學高一階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，則的面積的最大值為（

）A．3 B．6 C． D．例8．(2023·四川·攀枝花市第三高級中學校高一階段練習（理））設銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．考點四：幾何圖形的計算例9．(2023·山東濱州·高一期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.例10．(2023·遼寧·高一期末）如圖，在已知圓周上有四點、、、，，，.(1)求的長以及四邊形的面積；(2)設，，求的值.考點五：距離測量問題例11．(2023·上海市陸行中學高一期末）某觀測站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛去，行駛了20千米后，到達處，在觀察站處測得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問這艘漁船到達港口還需行駛多少千米？例12．(2023·上海市第十中學高一期末）如圖，要計算西湖岸邊兩景點與的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取和兩點，現(xiàn)測得，，，，，求兩景點與的距離（精確到）.參考數(shù)據(jù)：，，.考點六：高度測量問題例13．(2023·云南保山·高一期末）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽區(qū)太保山麓，古塔建設于唐代南詔時期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見面．如圖，某同學在測量塔高AB時，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和D．測得，在點C測得塔頂A仰角為，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（結果保留整數(shù)）．例14．(2023·四川樂山·高一期末）如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得點M的仰角，C點的仰角以及；從C點測得．已知山高，求山高．考點七：角度測量問題例15．(2023·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角．例16．(2023·重慶八中高一期末）從某點的指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，叫方位角．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我國海軍護航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45°，距離為20海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105°的方向．以20海里/小時的速度向前行駛，我海軍護航艦立即以海里/小時的速度，以直線軌跡行駛前去營救，求護航艦的航向（方位角）和靠近貨船所需的時間．考點八：正余弦定理與三角函數(shù)性質的綜合應用例17．(2023·廣東·廣州市培英中學高一期中）如圖，在中，，點E，F(xiàn)是線段BC（含端點）上的動點，且點F在點E的右下方，在運動的過程中，始終保持不變，設．(1)寫出的取值范圍，并分別求線段AE，AF關于的函數(shù)關系式；(2)求面積S的最小值．例18．(2023·全國·高一專題練習）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4733．(2023·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．4．(2023·全國·高考真題（文））如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高__________．5．(2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．6．（2023·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．7．（2023·全國·高考真題（理））的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．8．(2023·浙江·高考真題（理））在中，角、、所對的邊分別為、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．9．(2023·全國·高考真題（理））設銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為（1）求B的大?。唬?）求的取值范圍.10．(2023·湖南·高考真題（理））如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長．【過關檢測】一、單選題1．(2023·上?！とA東師范大學附屬東昌中學高一期末）某大學校園內(nèi)有一個“少年湖”，湖的兩側有一個健身房和一個圖書館，如圖，若設音樂教室在處，圖書館在處，為測量?兩地之間的距離，甲同學選定了與?不共線的處，構成，以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學應選擇的方案的序號為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④2．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點，、兩點在直線的兩側）.當變化時，線段長的最大值為（

）A． B． C． D．3．(2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一階段練習）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為，此人往滕王閣方向走了42米到達點B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考最據(jù)：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形5．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學高一階段練習（理））己知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列結論正確的有（

）A．若為等邊三角形且邊長為2，則B．若滿足，則C．若，則D．若，則為銳角三角形6．(2023·河南·商水縣實驗高級中學高一期末）杭師大附中天文臺是學校圖書館處的標志性建筑.小金同學為了測量天文臺的高度，選擇附近學校宿舍樓三樓一陽臺，高為，在它們之間的地面上的點M（B、M、D三點共線）處測得樓頂A、天文臺頂C的仰角分別是和，在陽臺A處測得天文臺頂C的仰角為，假設和點M在同一平面內(nèi)，則小金可測得學校天文臺的高度為（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·高一期中）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高（

）A． B．C． D．8．(2023·四川省德陽中學校高一階段練習（理））已知輪船和輪船同時從島出發(fā)，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）．若船的航行速度為，后，船測得船位于船的北偏東的方向上，則此時，兩船相距（

）．A． B．40 C． D．二、多選題9．(2023·全國·高一課時練習）某人向正東方向走了后向右轉了，然后沿新方向走了，結果離出發(fā)點恰好，那么x的值是（

）A． B． C．3 D．610．(2023·全國·高一課時練習）一艘客船上午9：30在A處，此時測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時測得客船與燈塔S相距，則燈塔S可能在B處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向 C．東北方向 D．東南方向11．(2023·全國·高一課時練習）如圖，的內(nèi)角所對的邊分別為，且.若是外一點，，則下列說法中正確的是（

）A．的內(nèi)角B．的內(nèi)角C．四邊形面積的最小值為D．四邊形面積無最大值12．(2023·重慶·西南大學附中高一期末）銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點D在邊BC上，且，則下列判斷正確的是（

）A． B．△BOD為直角三角形C．△ABC周長的取值范圍是（3，9] D．AD的最大值為三、填空題13．(2023·全國·高一專題練習）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑.1996年經(jīng)國務院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點，其集圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點M（B、M、D三點共線）處測得樓頂A和教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______米.14．(2023·青?！ず|市教育研究室高一期末）甲，乙兩艘漁船從港口處出海捕魚，甲在處西北方向上的處捕魚，乙在處北偏東方向上的處捕魚，已知處在處北偏東的方向上，則，之間的距離為_____________．15．(2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習）法國數(shù)學家費馬被稱為業(yè)余數(shù)學之王，很多數(shù)學定理以他的名字命名.對而言，若其內(nèi)部的點滿足，則稱為的費馬點.如圖所示，在中，已知，設為的費馬點，且滿足，.則的外接圓直徑長為______.16．(2023·全國·高一課時練習）在中，角所對的邊分別為，已知向量，且．若，且是銳角三角形，則的取值范圍為______．四、解答題17．(2023·上海市陸行中學高一期末）某觀測站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛去，行駛了20千米后，到達處，在觀察站處測得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問這艘漁船到達港口還需行駛多少千米？18．(2023·湖南·隆回縣教育科學研究室高一期末）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，已知，，°(1)求的值；(2)求sinC的值；(3)若D為邊BC上一點，且cos∠ADC=，求BD的長.19．(2023·黑龍江·建三江分局第一中學高一期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)若，求cosB的值；(2)是否存在△ABC，滿足B為直角？若存在，求出△ABC的面積；若不存在，請說明理由.20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．21．(2023·浙江省杭州第二中學高一期末）如圖，直線，點是，之間的一個定點，過點的直線垂直于直線，，（，為常數(shù)），點，分別為，上的動點，已知.設（），的面積為.(1)若，求梯形的面積；(2)寫出的解析式；(3)求的最小值.22．(2023·江西·臨川一中高一階段練習）如圖所示，公路一側有一塊空地，其中，，．市政府擬在中間開挖一個人工湖，其中都在邊上（不與重合，M在之間），且．(1)若M在距離A點處，求的長度；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積盡可能小，設，試確定的值，使的面積最小，并求出最小面積．第15講余弦定理、正弦定理的應用【學習目標】1、進一步熟悉余弦定理、正弦定理；2、了解常用的測量相關術語；3、能運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決有關距離、高度、角度的實際問題?！究键c目錄】考點一：判定三角形的形狀考點二：求三角形邊長或周長范圍與最值問題考點三：求三角形面積范圍與最值問題考點四：幾何圖形的計算考點五：距離測量問題考點六：高度測量問題考點七：角度測量問題考點八：正余弦定理與三角函數(shù)性質的綜合應用【基礎知識】知識點一、解三角形應用題的步驟解三角形在實際中應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確．其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；明確已知和所求，理清量與量之間的關系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問題有關的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題．知識點二、解三角形應用題的基本思路實際問題畫圖數(shù)學問題解三角形數(shù)學問題的解檢驗實際問題的解【考點剖析】考點一：判定三角形的形狀例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案：A【解析】因為，所以所以，即，因為，所以，因為，所以，因為，所以，即是直角三角形.故選：A例2．(2023·全國·高一單元測試）在中，若，則這個三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：D【解析】由正弦定理及題意，得，．∵，∴，∴或，即或．∴這個三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D考點二：求三角形邊長或周長范圍與最值問題例3．(2023·四川內(nèi)江·高一期末（文））中，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理，因為，所以，由正弦定理，所以，因為，所以，所以.故選：A例4．(2023·山西運城·高一階段練習）在中，，D是BC中點，且，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．答案：A【解析】因為是的中點，所以，因為，，所以，在中由正弦定理，有，所以，．所以，（其中，，所以時，此時取得最大值為，所以的最大值為．故選：A例5．(2023·福建·晉江市磁灶中學高一階段練習）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且滿足關系式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】,由正弦定理可得，再由余弦定理可得，,.所以在銳角中，，由正弦定理得：所以，所以.因為，所以，所以.故選：D.考點三：求三角形面積范圍與最值問題例6．(2023·江蘇南通·高一期末）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為(

)A．1 B．3 C．2 D．4答案：C【解析】，，即，即，則，整理得，∴，當且僅當a2，則．故選：C．例7．(2023·四川省岳池中學高一階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，則的面積的最大值為（

）A．3 B．6 C． D．答案：A【解析】，故，因為，所以，又，由余弦定理得：，由面積公式得：，由三角形三邊關系得：，解得：，故當時，△ABC面積取得最大值，此時面積為3.故選：A例8．(2023·四川·攀枝花市第三高級中學校高一階段練習（理））設銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得：，；，，，解得：，；由正弦定理得：；為銳角三角形，，解得：，，，，.故選：D.考點四：幾何圖形的計算例9．(2023·山東濱州·高一期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.【解析】（1）因為的面積為，所以.又因為，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因為，所以，所以.例10．(2023·遼寧·高一期末）如圖，在已知圓周上有四點、、、，，，.(1)求的長以及四邊形的面積；(2)設，，求的值.【解析】(1)由余弦定理可得，整理可得，因為，解得.由圓內(nèi)接四邊形的性質可知，所以，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因為，所以，.(2)由余弦定理可得，，則為銳角，為鈍角，所以，，，則，，因此，.考點五：距離測量問題例11．(2023·上海市陸行中學高一期末）某觀測站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛去，行駛了20千米后，到達處，在觀察站處測得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問這艘漁船到達港口還需行駛多少千米？【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以.在中，，，.由正弦定理得（千米）.所以這艘漁船到達港口還需行駛15千米.例12．(2023·上海市第十中學高一期末）如圖，要計算西湖岸邊兩景點與的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取和兩點，現(xiàn)測得，，，，，求兩景點與的距離（精確到）.參考數(shù)據(jù)：，，.【解析】根據(jù)題意，在中，，，，所以由余弦定理得：，即；所以，，因為，所以，所以，所以，在中，，，所以，，即.所以，景點與的距離大約為考點六：高度測量問題例13．(2023·云南保山·高一期末）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽區(qū)太保山麓，古塔建設于唐代南詔時期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見面．如圖，某同學在測量塔高AB時，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和D．測得，在點C測得塔頂A仰角為，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（結果保留整數(shù)）．【解析】（1）在中，因為，所以，則，所以，所以，又，所以，則；（2）在中，因為，所以米，則中，米，所以塔高AB為47米.例14．(2023·四川樂山·高一期末）如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得點M的仰角，C點的仰角以及；從C點測得．已知山高，求山高．【解析】在中，因，則，在，，則，由正弦定理可得，即，解得，在中，，，則．所以山高為.考點七：角度測量問題例15．(2023·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角．【解析】由勾股定理得：，，由余弦定理得：，因為，所以.例16．(2023·重慶八中高一期末）從某點的指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，叫方位角．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我國海軍護航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45°，距離為20海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105°的方向．以20海里/小時的速度向前行駛，我海軍護航艦立即以海里/小時的速度，以直線軌跡行駛前去營救，求護航艦的航向（方位角）和靠近貨船所需的時間．【解析】設護航艦靠近貨船所需時間為t小時，營救地點為，可得，．在△ABC中，由余弦定理可得，∴，化簡可得，∴或（舍去）．∴護航艦需要1小時靠近貨船．∴，BC＝20，在△ABC中，根據(jù)正弦定理得：，∴，為三角形內(nèi)角，∴，∴可得護航艦航行的方位角為75°，所需時間為1小時．考點八：正余弦定理與三角函數(shù)性質的綜合應用例17．(2023·廣東·廣州市培英中學高一期中）如圖，在中，，點E，F(xiàn)是線段BC（含端點）上的動點，且點F在點E的右下方，在運動的過程中，始終保持不變，設．(1)寫出的取值范圍，并分別求線段AE，AF關于的函數(shù)關系式；(2)求面積S的最小值．【解析】（1）由題意知，．（2）．當且僅當時，取“”．例18．(2023·全國·高一專題練習）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【解析】（1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡得：，又在鈍角中，不妨設為鈍角，有，則有.∴.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距答案：A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．（2023·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473答案：B【解析】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．3．(2023·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．答案：【解析】[方法一]：余弦定理設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.[方法四]：判別式法設，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當取最小值時，，即.

4．(2023·全國·高考真題（文））如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高__________．答案：150【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為150．考點：正弦定理的應用．5．(2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．6．（2023·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．【詳解】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當PB⊥AB，點Q位于點C右側，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，?3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P（?13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.7．（2023·全國·高考真題（理））的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是8．(2023·浙江·高考真題（理））在中，角、、所對的邊分別為、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．【解析】（1）因為；（2）根據(jù)余弦定理可知：，，又，即，，當且僅當時，，故的最大值是．9．(2023·全國·高考真題（理））設銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為（1）求B的大?。唬?）求的取值范圍.答案：（1）；（2）【解析】分析：（1）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由△ABC為銳角的三角形得（2）由△ABC為銳角的三角形知，所以，，，由此有，所以，的取值范圍為10．(2023·湖南·高考真題（理））如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長．答案：(1)(2)【解析】分析：試題分析：(1)利用題意結合余弦定理可得；(2)利用題意結合正弦定理可得：.試題解析：（I）在中，由余弦定理得(II)設

在中，由正弦定理，

故【過關檢測】一、單選題1．(2023·上?！とA東師范大學附屬東昌中學高一期末）某大學校園內(nèi)有一個“少年湖”，湖的兩側有一個健身房和一個圖書館，如圖，若設音樂教室在處，圖書館在處，為測量?兩地之間的距離，甲同學選定了與?不共線的處，構成，以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學應選擇的方案的序號為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案：C【解析】①測量∠A，∠C，∠B，知道三個角度值，三角形有無數(shù)多組解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；②測量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離；③測量∠A，AC，BC，已知兩邊及其一邊的對角，由正弦定理可知，三角形可能有2個解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；④測量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離.綜上可得，一定能唯一確定A，B兩地之間的距離的所有方案的序號是②④.故選：C2．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點，、兩點在直線的兩側）.當變化時，線段長的最大值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】方法一：如圖，將繞點順時針旋轉，得到，連接，，，在中，，，，，

，在中，，當點在上時，即、、三點共線，此時有的最大值，的最大值為：，，的最大值為：.故選：C.方法二：如圖，設，，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，由同角關系可得：，，令，則，當時等號成立.的最大值為：.故選：C.3．(2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一階段練習）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為，此人往滕王閣方向走了42米到達點B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考最據(jù)：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米答案：B【解析】設滕王閣的高度為，由題設知：，所以，則，又，可得米.故選：B4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形答案：A【解析】由正弦定理，若，則，為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯；例如，，，滿足，但此時不是等腰三角形，C錯；時，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯．故選：A．5．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學高一階段練習（理））己知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列結論正確的有（

）A．若為等邊三角形且邊長為2，則B．若滿足，則C．若，則D．若，則為銳角三角形答案：B【解析】對于A：因為為等邊三角形且邊長為2，所以，故A錯誤；對于B：因為，即，所以，因為，所以，故B正確；對于C：因為，可得，當且僅當時取等號，因為，所以，故B錯誤；對于D：因為，即，即，所以，則角為銳角，但角，角不確定，故D錯誤；故選：B6．(2023·河南·商水縣實驗高級中學高一期末）杭師大附中天文臺是學校圖書館處的標志性建筑.小金同學為了測量天文臺的高度，選擇附近學校宿舍樓三樓一陽臺，高為，在它們之間的地面上的點M（B、M、D三點共線）處測得樓頂A、天文臺頂C的仰角分別是和，在陽臺A處測得天文臺頂C的仰角為，假設和點M在同一平面內(nèi)，則小金可測得學校天文臺的高度為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故選：D7．(2023·浙江·高一期中）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高（

）A． B．C． D．答案：A【解析】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A8．(2023·四川省德陽中學校高一階段練習（理））已知輪船和輪船同時從島出發(fā)，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）．若船的航行速度為，后，船測得船位于船的北偏東的方向上，則此時，兩船相距（

）．A． B．40 C． D．答案：B【解析】由圖所示：由題意可知：，，，由正弦定理可知：，所以，所以，即此時，兩船相距；故選：B二、多選題9．(2023·全國·高一課時練習）某人向正東方向走了后向右轉了，然后沿新方向走了，結果離出發(fā)點恰好，那么x的值是（

）A． B． C．3 D．6答案：AB【解析】由題意設．由余弦定理得，解得或．故選：AB.10．(2023·全國·高一課時練習）一艘客船上午9：30在A處，此時測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時測得客船與燈塔S相距，則燈塔S可能在B處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向 C．東北方向 D．東南方向答案：AB【解析】畫出示意圖如圖所示，由題意得，，，所以，解得，所以或．當船在B處時，，所以；當船在處時，，所以．綜上，燈塔S在B處的北偏東或南偏東方向．故選：AB.11．(2023·全國·高一課時練習）如圖，的內(nèi)角所對的邊分別為，且.若是外一點，，則下列說法中正確的是（

）A．的內(nèi)角B．的內(nèi)角C．四邊形面積的最小值為D．四邊形面積無最大值答案：AB【解析】因為，所以由正弦定理，得，所以，又因為，所以，所以因為所以，又因為，所以，所以，所以，因此A，B正確；四邊形面積等于，所以當即時，取最大值，所以四邊形面積的最大值為，因此C，D錯誤故選：AB12．(2023·重慶·西南大學附中高一期末）銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點D在邊BC上，且，則下列判斷正確的是（

）A． B．△BOD為直角三角形C．△ABC周長的取值范圍是（3，9] D．AD的最大值為答案：ABD【解析】由題知，，由正弦定理可得，又△ABC為銳角三角形，所以，A正確；連接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，故B正確；△ABC周長因為△ABC為銳角三角形，故，所以，所以，所以，所以，故C錯誤；易知，當A、O、D三點共線時取得最大值，所以AD的最大值為，D正確.故選：ABD三、填空題13．(2023·全國·高一專題練習）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑.1996年經(jīng)國務院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點，其集圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點M（B、M、D三點共線