高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解+真題測試專題13.1復(fù)數(shù)及其四則運算(真題測試)(原卷版+解析)

專題13.1復(fù)數(shù)及其四則運算（真題測試）一、單選題1．(2023·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．2．(2023·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．(2023·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．254．(2023·全國·高考真題（文））設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．(2023·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則（）A． B． C． D．8．(2023·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·遼寧·高三開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)D．復(fù)數(shù)的模10．(2023·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) D．復(fù)數(shù)的模11．(2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式（為虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)此公式，則有（

）A． B．C． D．12．（2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知R，復(fù)數(shù)，，則（

）A．，B．若，時，C．若，，，則D．若，則三、填空題13．（2023·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．14．（2023·江蘇·高考真題）已知復(fù)數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是_____.15．（2023·江蘇·高考真題）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.16．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________.四、解答題17．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，其中R，問m為何值時．18．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，且滿足，求和的值．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位．(1)若z為實數(shù)，求m的值；(2)若z為純虛數(shù)，求的虛部．20．（2023·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)．(1)求．(2)類比數(shù)列知識，求．21．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，.(1)求；(2)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，其中為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，求的值.22．(2023·上海交大附中高三期中）已知虛數(shù)，其中，，為虛數(shù)單位．(1)若對任意，均有，求實數(shù)的取值范圍．(2)若，恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，求，的值．專題13.1復(fù)數(shù)及其四則運算（真題測試）一、單選題1．(2023·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.2．(2023·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實數(shù)，故，故選：B.3．(2023·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25答案：B分析：利用復(fù)數(shù)四則運算，先求出，再計算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．4．(2023·全國·高考真題（文））設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案：A分析：根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出．【詳解】因為R，，所以，解得：．故選：A.5．(2023·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．答案：C分析：由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.【詳解】故選：C6．（2023·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：A分析：利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第一象限，故選：A.7．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則（）A． B． C． D．答案：C分析：本題考點為復(fù)數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．8．(2023·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案：A分析：先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:二、多選題9．(2023·遼寧·高三開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)D．復(fù)數(shù)的模答案：BD分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡求解，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的虛部概念逐項分析即可求解.【詳解】，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，故A錯誤；所以復(fù)數(shù)的虛部為，故B正確；故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故C錯誤；所以復(fù)數(shù)的模，故D正確.故選：BD10．(2023·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) D．復(fù)數(shù)的模答案：BCD分析：化簡得，再得到其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的象限，虛部，共軛復(fù)數(shù)，模即可得到答案.【詳解】，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，故A錯誤；虛部為，故B正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；復(fù)數(shù)的模，故D正確；故選：BCD.11．(2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式（為虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)此公式，則有（

）A． B．C． D．答案：ABC分析：根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運算法則，逐項計算后可得正確的選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，因為，所以，故選項A正確；對于B，，故B正確；對于C，由，，所以,得出，故選項C正確；對于D，由C選項的分析得，推不出，故選項D錯誤.故選：ABC.12．（2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知R，復(fù)數(shù)，，則（

）A．，B．若，時，C．若，，，則D．若，則答案：BC分析：利用復(fù)數(shù)的乘方，可得純虛數(shù)的乘方，易知模長的表示，根據(jù)指數(shù)的運算，可得答案.【詳解】，同理，對于A，，同理，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，由，則，即，因，則，故C正確；對于D，由，則，即，，故D錯誤.故選：BC三、填空題13．（2023·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．答案：分析：利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.14．（2023·江蘇·高考真題）已知復(fù)數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是_____.答案：2.分析：本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，令實部為0即得a的值.【詳解】，令得.15．（2023·江蘇·高考真題）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.答案：3分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡即可求得實部的值.【詳解】∵復(fù)數(shù)∴∴復(fù)數(shù)的實部為3.故答案為：3.16．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________.答案：分析：方法一：令，，根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得，代入復(fù)數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.方法二：設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為,,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判定平行四邊形為菱形，，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計算.【詳解】方法一：設(shè)，，，，又，所以，，.故答案為：.方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為,,由已知,∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，∴.【點睛】方法一：本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道中檔題.方法二：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解四、解答題17．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，其中R，問m為何值時．答案：.分析：由題可得，即得.【詳解】∵復(fù)數(shù)，，又因為，則,解得，故當(dāng)時，有．18．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，且滿足，求和的值．答案：，.分析：設(shè)，代入關(guān)系式，然后即可建立方程求解.【詳解】由是純虛數(shù)，可設(shè)，則，整理，得．由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得，解得，所以，．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位．(1)若z為實數(shù)，求m的值；(2)若z為純虛數(shù)，求的虛部．答案：(1)(2)8分析：（1）由題意得，求解即可；（2）先由題意求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡復(fù)數(shù)，由此可求得答案.(1)解：若z為實數(shù)，則，解得．(2)解：由題意得解得，∴，故，∴的虛部為8．20．（2023·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)．(1)求．(2)類比數(shù)列知識，求．答案：(1)1(2)分析：（1）首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法求出，再求模長即可；（2）利用等比數(shù)列前項和公式結(jié)合復(fù)數(shù)知識即可得解.(1)∵，∴(2)∵，又，∴21．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，.(1)求；(2)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，其中為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，求的值.答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出，再利用復(fù)數(shù)乘法運算計算作答.（2）根據(jù)給定條件，求出，的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算作答.(1)因復(fù)數(shù)，則，所以.(2)依題意，，當(dāng)時，，所以.22．(2023·上海交大附中高三期中）已知虛數(shù)，其中，，為虛數(shù)單位．(1)若對任意，均有，求實數(shù)的取值