高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.4雙曲線(真題測試)(原卷版+解析)

專題9.4雙曲線（真題測試）一、單選題1．（2023·浙江·高考真題）漸近線方程為的雙曲線的離心率是（）A． B．1C． D．22．(2023·全國·高考真題（文））雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．5.（2023·天津·高考真題）設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．6．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．37．（2023·全國·高考真題（理））雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為（0A． B． C． D．8．（2023·浙江·高考真題）已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·重慶八中模擬預測）曲線C的方程為，則下列說法正確的是（

）A．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為圓B．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓C．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為雙曲線D．無論（且）取何值，曲線C的焦距為定值10．(2023·遼寧實驗中學模擬預測）若曲線C的方程為，則（

）A．當時，曲線C表示橢圓，離心率為B．當時，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為C．當時，曲線C表示圓，半徑為1D．當曲線C表示橢圓時，焦距的最大值為411．(2023·云南省下關第一中學高三開學考試）已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線l與雙曲線C交于，M、N兩點，且，則下列說法正確的是（

）A．是等邊三角形 B．雙曲線C的離心率為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．點到直線的距離為12．(2023·全國·高考真題（理））雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·全國·高考真題（文））雙曲線的右焦點到直線的距離為________．14．(2023·北京·高考真題（文））若雙曲線的離心率為，則a=_________.15．(2023·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．16．（2023·全國·高考真題（理））已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．四、解答題17.(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，在雙曲線的右支存在一點，使，求點的坐標．18．（2023·全國·高三專題練習）設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.19．(2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓的右焦點且斜率為1的直線交橢圓于兩點（點在軸上方），線段的垂直平分線交直線于點，求以為直徑的圓的方程.20．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求證：函數(shù)的圖像關于直線對稱；(3)某同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖像為雙曲線，和為其兩條漸進線，試求出其頂點?焦點的坐標，并利用雙曲線的定義加以驗證.21．(2023·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.22．（2023·全國·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.專題9.4雙曲線（真題測試）一、單選題1．（2023·浙江·高考真題）漸近線方程為的雙曲線的離心率是（）A． B．1C． D．2答案：C【解析】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線基礎知識、基本計算能力的考查.【詳解】根據(jù)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線，可得，所以c則該雙曲線的離心率為e，故選C．2．(2023·全國·高考真題（文））雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．答案：A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.3．（2023·全國·高考真題（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．答案：A分析：首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.4．（2023·全國·高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A分析：根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A5.（2023·天津·高考真題）設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．答案：D分析：由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程．【詳解】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：．6．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3答案：A分析：設公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.7．（2023·全國·高考真題（理））雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為（0A． B． C． D．答案：A分析：本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．【詳解】由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設為在上，，故選A．8．（2023·浙江·高考真題）已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（

）A． B． C． D．答案：D分析：根據(jù)題意可知，點既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點的坐標，得到的值．【詳解】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．故選：D.二、多選題9．(2023·重慶八中模擬預測）曲線C的方程為，則下列說法正確的是（

）A．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為圓B．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓C．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為雙曲線D．無論（且）取何值，曲線C的焦距為定值答案：BCD分析：對于A，由可判斷；對于B，當時，表示橢圓；對于C，當時，表示雙曲線；對于D，當時，橢圓的，當時，雙曲線的，由此可判斷.【詳解】解：對于A，因為，所以不存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為圓，故A不正確；對于B，當且時，即時，表示橢圓，所以存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓，故B正確；對于C，當，即時，表示雙曲線，故C正確；對于D，當時，表示橢圓，此時橢圓的，所以曲線C的焦距為定值；當時，表示雙曲線，此時雙曲線的，所以曲線C的焦距為定值；故D正確，故選：BCD.10．(2023·遼寧實驗中學模擬預測）若曲線C的方程為，則（

）A．當時，曲線C表示橢圓，離心率為B．當時，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為C．當時，曲線C表示圓，半徑為1D．當曲線C表示橢圓時，焦距的最大值為4答案：BC分析：根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)，由方程確定曲線形狀，然后求出橢圓的得離心率，得焦距判斷AD，雙曲線方程中只要把常數(shù)1改為0，化簡即可得漸近線方程，判斷B，由圓的標準方程判斷C．【詳解】選項A，時，曲線方程為，表示橢圓，其中，，則，離心率為，A錯；選項B，時曲線方程為表示雙曲線，漸近線方程為，即，B正確；選項C，時，曲線方程為，表示圓，半徑為1，C正確；選項D，曲線C表示橢圓時，或，時，，，，時，，，，所以，即，無最大值．D錯．故選：BC．11．(2023·云南省下關第一中學高三開學考試）已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線l與雙曲線C交于，M、N兩點，且，則下列說法正確的是（

）A．是等邊三角形 B．雙曲線C的離心率為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．點到直線的距離為答案：ABCD分析：先利用焦點三角形的性質(zhì)求出，再求出，即可判斷出A選項；在利用即可判斷B和C；再利用點到直線的距離公式即可判斷D.【詳解】設，，則，由雙曲線的定義的得所以，，所以是等邊三角形，選項A正確；在中，，即，，所以選項B正確，由得，所以雙曲線C的漸近線方程為所以選項B正確，漸近線方程為，所以選項C正確，點到直線的距離為，所以選項D正確．故選：ABCD．12．(2023·全國·高考真題（理））雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：AC分析：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】解：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.三、填空題13．（2023·全國·高考真題（文））雙曲線的右焦點到直線的距離為________．答案：分析：先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：14．(2023·北京·高考真題（文））若雙曲線的離心率為，則a=_________.答案：4【詳解】分析：根據(jù)離心率公式，及雙曲線中的關系可聯(lián)立方程組，進而求解參數(shù)的值.詳解：在雙曲線中，，且15．(2023·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．答案：2（滿足皆可）分析：根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）16．（2023·全國·高考真題（理））已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．答案：2.分析：通過向量關系得到和，得到，結合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．四、解答題17.(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，在雙曲線的右支存在一點，使，求點的坐標．答案：分析：設，由雙曲線的定義得，進而根據(jù)雙曲線的第二定義得，，再代入方程得，進而得答案.【詳解】解：由雙曲線得，右準線方程為，雙曲線的右支存在一點，由，，解得，設d為點到準線的距離，則由雙曲線的定義可得：，所以，，又，解得，代入得，所以．18．（2023·全國·高三專題練習）設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.答案：(1)(2)分析：（1）首先求出拋物線的焦點坐標，即可得到，再根據(jù)為等腰直角三角形，即可求出，最后根據(jù)，求出，即可求出雙曲線方程；（2）設，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元列出韋達定理，利用弦長公式計算可得；（1）解：拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.（2）解：依題意設，，由消去整理得，由，所以，，所以.19．(2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓的右焦點且斜率為1的直線交橢圓于兩點（點在軸上方），線段的垂直平分線交直線于點，求以為直徑的圓的方程.答案：(1)(2)分析：（1）由題知，進而結合題意，根據(jù)橢圓的離心率公式得，進而得答案；（2）根據(jù)題意得直線方程為，進而與橢圓聯(lián)立方程得，進而得，再求解圓的方程即可.(1)解：雙曲線的離心率，，其中，所以橢圓方程為：(2)解：由題知，故直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，其中點為所以，垂直平分線為：以為直徑的圓的圓心為：，半徑為，以為直徑的圓的方程為：20．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求證：函數(shù)的圖像關于直線對稱；(3)某同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖像為雙曲線，和為其兩條漸進線，試求出其頂點?焦點的坐標，并利用雙曲線的定義加以驗證.答案：(1)(2)證明見解析(3)，，，，驗證答案見解析分析：（1）求得，令，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）設為函數(shù)的圖像上一點，點關于直線對稱的點Q的坐標為，根據(jù)直線垂直且平分線段，求得代入得到，即可求解；（3）由（2）得直線為函數(shù)圖像的一條對稱軸，聯(lián)立方程組求得，得到雙曲線的兩個頂點一定只能是，進而求得，根據(jù)的兩個焦點，由，求得，，結合雙曲線的定義，作出證明.(1)解：由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明：設為函數(shù)的圖像上一點，點關于直線對稱的點Q的坐標為，由直線垂直且平分線段，可得，因為，所以，將代入，可得，即點Q也在函數(shù)的圖像上，所以函數(shù)的圖像關于直線對稱.(3)解：由（2）得直線為函數(shù)圖像的一條對稱軸，于是，解得，因為的圖像是雙曲線（以下記作），那么雙曲線的兩個頂點一定只能是，于是半實軸a的值一定只能是，雙曲線的實軸所在直線與它的一條漸近線的夾角為，以雙曲線的一個頂為直角的頂點，以為一個銳角，以半實軸a的長為一條直角邊的直角三角形的另一條直角邊的長應當?shù)扔诘陌胩撦Sb之長，其斜邊則等于的半焦距c之長.因此.因為雙曲線的兩個焦點在雙曲線的實軸所在的一條對稱軸上，所以的兩個焦點，應在直線上，由，得，利用對稱性另一個焦點應為，以下驗證圖像上的任意一點到?兩點的距離之差的絕對值為定值，設為函數(shù)圖像上的任意一點，則由，得，故有，因為，故得，即為定值，且恰等于前面所得的的值，由此驗證函數(shù)的圖像為雙曲線.21．(2023·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.答案：(1)(2)見解析分析：（1）利用焦點坐標求得的值，利用漸近線方程求得的關系，進而利用的平方關系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結論，進行證明即可.（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設,線段中點為,則,設,則條件③等價于,移項并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標：,同理：，∴∴,∴條件②等價于，綜上所述：條件①在上，等價于