湖南省長沙市雅禮雨花中學2025屆九年級數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

湖南省長沙市雅禮雨花中學2025屆九年級數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖所示的幾何體，它的俯視圖是（）A． B．C． D．2．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為（

）A． B． C． D．13．下列約分正確的是（）A． B． C． D．4．一個不透明的盒子中裝有5個紅球和1個白球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，則下列敘述正確的是（）A．摸到紅球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等D．摸到紅球比摸到白球的可能性大5．拋物線的開口方向是（）A．向下 B．向上 C．向左 D．向右6．如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝4cm，動點P從點O出發(fā)，沿OA→→BO的路徑以每秒1cm的速度運動一周．設運動時間為t，s＝OP2，則下列圖象能大致刻畫s與t的關(guān)系的是（）A． B．C． D．7．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．8．某市從2017年開始大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計，該市2017年“竹文化”旅游收入約為2億元．預計2019“竹文化”旅游收入達到2.88億元，據(jù)此估計該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%9．如圖，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．10．用相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖都相同（如圖所示），則搭成該幾何體的小立方塊個數(shù)是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在反比例函數(shù)位于第一象限內(nèi)的圖象上取一點P1，連結(jié)OP1，作P1A1⊥x軸，垂足為A1，在OA1的延長線上截取A1B1=OA1，過B1作OP1的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于P2，過P2作P2A2⊥x軸，垂足為A2，在OA2的延長線上截取A2B2=B1A2，連結(jié)P1B1，P2B2，則的值是．12．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是___________．13．如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為點，且平分，則的長為_____.14．因式分解：______．15．已知一條拋物線，以下說法：①對稱軸為，當時，隨的增大而增大；②；③頂點坐標為；④開口向上.其中正確的是______.（只填序號）16．如圖，已知直線y＝mx與雙曲線y＝一個交點坐標為（3，4），則它們的另一個交點坐標是_____．17．若圓弧所在圓的半徑為12，所對的圓心角為60°，則這條弧的長為_____．18．如圖，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的兩個頂點A、B分別在OX，OY上移動，其中AB=10，那么點O到頂點A的距離的最大值為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A(0，1)，B(3，3)，C(1，3)，（1）①畫出△ABC關(guān)于原點O的中心對稱圖形△A1B1C1；②畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2，寫出點C2的坐標；（2）若△ABC上任意一點P(m，n)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應點為Q，則點Q的坐標為________.(用含m，n的式子表示)20．（6分）如圖1為放置在水平桌面上的臺燈，底座的高為，長度均為的連桿，與始終在同一平面上．當，時，如圖2，連桿端點離桌面的高度是多少？21．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為（每個方格的邊長均為個單位長度）.（1）將以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)度得到，請畫出；（2）請以點為位似中心，畫出的位似三角形，使相似比為.22．（8分）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，且B點的坐標為(3，0)，經(jīng)過A點的直線交拋物線于點D(2，3).（1）求拋物線的解析式和直線AD的解析式；（2）過x軸上的點E(a，0)作直線EF∥AD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a，使得以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.23．（8分）已知二次函數(shù)y＝2x2+4x+3，當﹣2≤x≤﹣1時，求函數(shù)y的最小值和最大值，如圖是小明同學的解答過程．你認為他做得正確嗎？如果正確，請說明解答依據(jù)，如果不正確，請寫出你得解答過程．24．（8分）如圖，在直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°，點E是斜邊BC的中點，圓O經(jīng)過A、C、E三點，F(xiàn)是弧EC上的一個點，且∠AFC＝36°，則∠B＝______.25．（10分）如圖，是半徑為的上的定點，動點從出發(fā)，以的速度沿圓周逆時針運動，當點回到地立即停止運動．（1）如果，求點運動的時間；（2）如果點是延長線上的一點，，那么當點運動的時間為時，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．26．（10分）先化簡，再求值:，其中.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據(jù)俯視圖的確定方法，找到從上面看所得到的圖形即是所求圖形．【詳解】從幾何體上面看，有三列，第一列2個，第二列1個位于第2層，第三列1個位于第2層．故選：D．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．2、A【解析】作AD⊥BC，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函數(shù)的定義求解.【詳解】作AD⊥BC于點D，則AD=5，BD=5，∴AB===5，∴cos∠B===.故選A.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義.3、D【分析】根據(jù)約分的運算法則，以及分式的基本性質(zhì)，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、，故A錯誤；B、，故B錯誤；C、，故C錯誤；D、，正確；故選：D．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，以及約分的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)進行解題．4、D【解析】根據(jù)可能性的大小，以及隨機事件的判斷方法，逐項判斷即可．【詳解】∵摸到紅球是隨機事件，∴選項A不符合題意；∵摸到白球是隨機事件，∴選項B不符合題意；

∵紅球比白球多，∴摸到紅球比摸到白球的可能性大，∴選項C不符合題意，D符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了可能性的大小，以及隨機事件的判斷，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．5、B【分析】拋物線的開口方向由拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）的二次項系數(shù)a的符號決定，據(jù)此進行判斷即可．【詳解】解：∵y=2x2的二次項系數(shù)a=2＞0，

∴拋物線y=2x2的開口方向是向上；

故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的開口方向．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的開口方向：當a＜0時，開口方向向下；當a＞0時，開口方向向上．6、C【解析】在半徑AO上運動時，s=OP1=t1；在弧BA上運動時，s=OP1=4；在BO上運動時，s=OP1=（4π+4-t）1，s也是t是二次函數(shù)；即可得出答案．【詳解】解：利用圖象可得出：當點P在半徑AO上運動時，s=OP1=t1；在弧AB上運動時，s=OP1=4；在OB上運動時，s=OP1=（1π+4-t）1．結(jié)合圖像可知C選項正確故選：C．【點睛】此題考查了動點問題的函數(shù)圖象，能夠結(jié)合圖形正確得出s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．7、D【分析】根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義即可判斷．【詳解】A、是軸對稱圖形，不符合題意；B、是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．8、C【解析】分析：設該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率為x，根據(jù)2017年及2019年“竹文化”旅游收入總額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．詳解：設該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為20%．故選C．點睛：本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【詳解】A、根據(jù)平行線截得的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；C、兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤．D、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10、B【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)．【詳解】依題意可得所以需要4塊；故選：B【點睛】考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【詳解】解：設P1點的坐標為（），P2點的坐標為（b，）∵△OP1B1，△B1P2B2均為等腰三角形，

∴A1B1=OA1，A2B2=B1A2，

∴OA1=a，OB1=2a，B1A2=b-2a，B1B2=2（b-2a），

∵OP1∥B1P2，

∴∠P1OA1=∠A2B1P2，

∴Rt△P1OA1∽Rt△P2B1A2，

∴OA1：B1A2=P1A1：P2A2，a：（b-2a）=整理得a2+2ab-b2=0，解得：a=（）b或a=（）b（舍去）∴B1B2=2（b-2a）=（6-4）b，∴故答案為：【點睛】該題較為復雜，主要考查學生對相似三角形的性質(zhì)和反比例函數(shù)上的點的坐標與幾何圖形之間的關(guān)系．12、【分析】根據(jù)根的判別式可得方程有實數(shù)根則，然后列出不等式計算即可．【詳解】根據(jù)題意得：解得：故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程的根的情況確定與0的關(guān)系是關(guān)鍵．13、．【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO=CO=BO=DO，可證△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的長．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴，∵平分∴，且，，∴≌（）∴，且∴，∴，∵，∴，∴故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運用矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．14、x（x-5）【分析】直接提公因式，即可得到答案.【詳解】解：，故答案為：.【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法.15、①④【分析】先確定頂點及對稱軸，結(jié)合拋物線的開口方向逐一判斷．【詳解】因為y=2(x﹣3)2+1是拋物線的頂點式，頂點坐標為(3，1)，①對稱軸為x=3，當x＞3時，y隨x的增大而增大，故①正確；②，故②錯誤；③頂點坐標為(3，1)，故③錯誤；④∵a=1＞0，∴開口向上，故④正確．故答案為：①④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性和求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16、（﹣3，﹣4）【分析】根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的中心對稱性解答即可.【詳解】解：因為直線y＝mx過原點，雙曲線y＝的兩個分支關(guān)于原點對稱，所以其交點坐標關(guān)于原點對稱，一個交點坐標為（3，4），則另一個交點的坐標為（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合和中心對稱的定義很容易解決．反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱．17、4π【分析】直接利用弧長公式計算即可求解．【詳解】l＝＝4π，故答案為：4π．【點睛】本題考查弧長計算公式，解題的關(guān)鍵是掌握：弧長l＝（n是弧所對應的圓心角度數(shù)）18、10【分析】當∠ABO=90°時，點O到頂點A的距離的最大，則△ABC是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵∴當∠ABO=90°時，點O到頂點A的距離最大．

則OA=AB=10．

故答案是：10．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正確確定點O到頂點A的距離的最大的條件是解題關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）①見解析，②見解析，點C2的坐標為(-3，1)；（2）(-n，m)【分析】(1)①根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征得到A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；

②利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應點A2、B2、C2，然后順次連接，從而得到點C2的坐標；

(2)利用②中對應點的規(guī)律寫出Q的坐標．【詳解】解：（1）①如圖，△A1B1C1為所求；②如圖，△A2B2C2為所求，點C2的坐標為(-3，1)（2）∵A(0，1)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應點A2（-1，0），B(3，3)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應點B2（-3,3）,C(1，3)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應點C2（-3，1），∴點Q的坐標為(-n，m).【點睛】本題考查了作圖??中心對稱與旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．20、【分析】作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．判斷四邊形PCHG是矩形，求出DP，CH，再加上AB即可求出DF．【詳解】解：如圖，作于，于，于，于．則四邊形是矩形，，，，，∴，，，.∴連桿端點D離桌面l的高度是.【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．21、（1）見詳解；（2）見詳解.【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，將點A、B圍繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到A1、B1，連接O、A1、B1即可；

（2）連接OA并延長到A2，使OA2=2OA，連接OB并延長到B2，使OB2=2OB，然后順次連接O、A2、B2即可；【詳解】解：（1）如圖，△OA1B1即為所求作三角形；（2）如圖，△OA2B2即為所求作三角形；【點睛】本題考查了利用位似變換作圖，坐標位置的確定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及平面直角坐標系的知識是解題的關(guān)鍵．22、（1）y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值為-3或．【分析】（1）把點B和D的坐標代入拋物線y=-x2+bx+c得出方程組，解方程組即可；由拋物線解析式求出點A的坐標，設直線AD的解析式為y=kx+a，把A和D的坐標代入得出方程組，解方程組即可；（2）分兩種情況：①當a＜-1時，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；②當a＞-1時，顯然F應在x軸下方，EF∥AD且EF=AD，設F（a-3，-3），代入拋物線解析式，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）把點B和D的坐標代入拋物線y=-x2+bx+c得：解得：b=2，c=3，∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；當y=0時，-x2+2x+3=0，解得：x=3，或x=-1，∵B（3，0），∴A（-1，0）；設直線AD的解析式為y=kx+a，把A和D的坐標代入得：解得：k=1，a=1，∴直線AD的解析式為y=x+1；（2）分兩種情況：①當a＜-1時，DF∥AE且DF=AE，則F點即為（0，3），∵AE=-1-a=2，∴a=-3；②當a＞-1時，顯然F應在x軸下方，EF∥AD且EF=AD，設F（a-3，-3），由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，解得：a=；綜上所述，滿足條件的a的值為-3或．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及平行四邊形的判定，綜合性較強．23、錯誤，見解析【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和小明的做法，可以判斷小明的做法是否正確，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．【詳解】解：小明的做法是錯誤的，正確的做法如下：∵二次函數(shù)y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2+1，∴該函數(shù)圖象開口向上，該函數(shù)的對稱軸是直線x＝﹣1，當x＝﹣1時取得最小值，最小值是1，∵﹣2≤x≤﹣1，∴當x＝﹣2時取得最大值，此時y＝1，當x＝﹣1時取得最小值，最小值是y＝1，由上可得，當﹣2≤x≤﹣1時，函數(shù)y的最小值是1，最大值是1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵在于熟記性質(zhì).24、18°【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可