浙江省杭州市第四中學(xué)下沙校區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

杭州第四中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試題卷2023年11月考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷上填寫班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)，并填涂卡號(hào)．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試題卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束，只上交答題卷．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線2x﹣3y+1=0的一個(gè)方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）【答案】D【解析】【詳解】由題意可得：直線2x﹣3y+1=0的斜率為k=，所以直線2x﹣3y+1=0的一個(gè)方向向量=（1，），或（3，2）故選D．2.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程是：故選：A3.如圖，，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，，是的三等分點(diǎn)，且，，，則向量可表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減以及數(shù)乘運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，，是的三等分點(diǎn)，連接,得,故選：A4.在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)建基向量，，表示，并根據(jù)向量夾角公式求其夾角的余弦值即可.【詳解】如下圖，構(gòu)建基向量，，.則，所以所以.故選：C.5.已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡為（）A.直線 B.拋物線 C.雙曲線 D.橢圓【答案】B【解析】【分析】設(shè)，借助為線段的中點(diǎn)及A在拋物線上，計(jì)算可得軌跡方程，即可得解.【詳解】設(shè)，由為線段的中點(diǎn)，故，又端點(diǎn)A在拋物線上，故有，化簡(jiǎn)得，故線段的中點(diǎn)的軌跡為拋物線.故選：B.6.已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可知直線，分別過(guò)定點(diǎn)，，且兩直線垂直，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，點(diǎn)到直線的距離的最大值即為圓心到直線的距離與半徑的和.【詳解】由已知直線，分別過(guò)定點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，：，：，交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，斜率的乘積為，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為，不包括點(diǎn)，點(diǎn)滿足該方程，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：.7.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率e為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理與構(gòu)建出關(guān)于a、b、c的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.【詳解】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)做傾斜角為的直線，直線方程為：，聯(lián)立方程，可得根據(jù)韋達(dá)定理：，因?yàn)?，即，所以所以即，所以，?lián)立，可得故選：D.8.如圖，在菱形中，，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.平面平面B.線段的最小值為C.當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離為D.當(dāng)P，Q分別為線段，的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，易知，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵在菱形中，，，∴，又，∴，所以，又易知，因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫蔄正確；以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，當(dāng)，時(shí)，，，，，所以點(diǎn)D到直線PQ的距離為，故C錯(cuò)誤；設(shè)，設(shè)，可得，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都是2，D，E分別是的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面與平面夾角的余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；找出等于平面與平面夾角的角計(jì)算余弦值即可可判斷B；作出直線與平面所成角，解直角三角形求得其正切值，判斷C；利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，判斷D.【詳解】對(duì)A：連接，交于點(diǎn)F，連接，則F為的中點(diǎn)，故為的中位線，則，平面，平面，故平面，故A正確；對(duì)B：由平面，故點(diǎn)在平面的投影為，又為等邊三角形，故，故平面與平面夾角的大小等于，由，，則，故B正確；對(duì)C：設(shè)G為的中點(diǎn)，連接，為正三角形，故，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，而平面，所以平面，則為直線與平面所成角，而，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故，又，則，故，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，則，即，故D正確.故選：ABD10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有一條公切線，則D.已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】利用直線系方程求解直線所過(guò)定點(diǎn)判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑判斷B；由圓心距等于半徑差列式求得判斷C；求出兩圓公共弦所在直線方程，再由直線系方程求得直線所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷D．【詳解】由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故B錯(cuò)誤；兩圓恰有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心，半徑為1，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心，半徑為，∴圓心距為，解得，故C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故D正確．故選：AD.11.已知圓，點(diǎn)在圓外，以線段為直徑作圓，與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A.直線均與圓相切B.若，則直線的方程為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合圓與圓相交弦所在直線方程判斷B選項(xiàng)的正確性，通過(guò)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程來(lái)判斷CD選項(xiàng)的正確性.【詳解】A選項(xiàng)，由于是圓的直徑，所以，所以直線均與圓相切，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，，圓的半徑為，則，所以圓的方程為，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，所以在圓上運(yùn)動(dòng)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，|PA|=|PB|=3,|OP|=32+42=5，所以在圓故選：ABC12.如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線x=0,y=4,y=2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C的左右頂點(diǎn)為D,E，則（）A.雙曲線C的方程為B.雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線C.雙曲線C上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D,E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3D.存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】由題意可得，代入雙曲線方程可求出，從而可求出雙曲線方程，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】由題意可得，所以，即，解得，所以雙曲線方程為，所以A正確；雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以B正確；由題意得，設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)，則，，所以，所以雙曲線C上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，所以C正確;由雙曲線的性質(zhì)可知，過(guò)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以不存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知直線，，若，則的值是___________.【答案】【解析】【分析】利用直線一般式情況下平行的結(jié)論即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以?dāng)，即時(shí)，，，顯然不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，由解得或，當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；綜上：.故答案為：.14.如圖，銳二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，，，則銳二面角的平面角的余弦值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】設(shè)銳二面角的平面角為，，則，則.故答案為：15.如圖，，是雙曲線上的兩點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn).是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn).若，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的定義、對(duì)稱性列方程，化簡(jiǎn)求得的關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，依題意：是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知：四邊形是矩形，所以，設(shè)，則，，由，即，整理得，.故答案為：16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與x軸交于A?B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），圓C的弦過(guò)點(diǎn)，分別過(guò)E?F作圓C的切線，交點(diǎn)為P，則線段的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)切線的垂直關(guān)系，可得在以為為直徑的圓上，求出的方程，將代入，求出點(diǎn)軌跡方程，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即可求出結(jié)論.【詳解】，圓心，令或，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，設(shè)，為圓的切線，，在以為直徑的圓上，其方程為，即，直線為圓:與以為直徑的圓的相交弦，直線方程為，弦過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為直線，其方程為，線段最小值為點(diǎn)到直線的距離為.故答案為:.四、解答題（本答題共6小題，滿分70分）17.已知點(diǎn)，直線：，（1）若是直線l的一個(gè)方向向量，求a的值；（2）若直線l與線段有交點(diǎn)，求a的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的方向向量的定義可求（2）判斷出直線l過(guò)定點(diǎn)，分別求出，即可求出l的斜率a的取值范圍【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭侵本€l的一個(gè)方向向量，所以【小問(wèn)2詳解】過(guò)定點(diǎn)，如圖因?yàn)?，要使直線l與線段有交點(diǎn)，則a的范圍為18.如圖，已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）解法一：連接，交于點(diǎn)，連接，利用中位線證明，進(jìn)而即可證明平面；解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求平面的一個(gè)法向量，由向量法能夠證明平面；（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量，又是平面的一個(gè)法向量，由向量法能夠求出二面角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】解法一：連接，交于點(diǎn)，連接，底面是正方形，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面解法二：側(cè)棱底面,底面,底面，,所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，．

，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則由，得，．

，，

又平面，平面．【小問(wèn)2詳解】由知是平面的一個(gè)法向量，

又是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，

．19.已知．（1）求在上的投影向量；（2）若四邊形是平行四邊形，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．【答案】（1）（2）（3）【解析】分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根據(jù)可求的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點(diǎn)面距公式可求點(diǎn)P到平面的距離．【小問(wèn)1詳解】，，故在上的投影向量為，而.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，故，故的坐標(biāo)為.【小問(wèn)3詳解】，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，故點(diǎn)P到平面的距離為.20.如圖，已知圓和點(diǎn)，由圓O外一點(diǎn)向圓O引切線為切點(diǎn)，且．（1）求的最小值；（2）以P為圓心作圓，若圓P與圓O有公共點(diǎn)，求半徑最小的圓P的方程．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)題意得到，代入列方程得到，再利用完全平方公式即可得解；（2）根據(jù)題意得到半徑最小時(shí)，兩圓外切且垂直，根據(jù)垂直和外切求出點(diǎn)和半徑，從而求得圓的方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，因?yàn)闉閳A的切線，所以，在中，，又，所以，即，整理得，因，即，故，所以，則，所以的最小值為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)以為圓心的圓在垂直，且與圓外切時(shí)半徑最小，此時(shí)方程為，聯(lián)立，解得，所以，半徑為，所以圓的方程為.21.已知過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)時(shí)，．（1）求拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)，連接QA，QB分別交拋物線C于點(diǎn)E，F(xiàn)，且與的面積之比為，求直線AB的方程．【答案】（1）方程為．（2）方程為．【解析】【分析】（1）直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出的值，即可得解；（2）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，直線AQ的方程與拋物線聯(lián)立，設(shè)，則，設(shè)，同理可得，利用三角形面積公式可得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)為，所以當(dāng)直線l過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，直線AB的方程為，由得．則，，整理得，所以，故拋物線C的方程為．【小問(wèn)2詳解】易知直線AB的斜率在且不為零，設(shè)直線AB的方程為，由得，則，即或，．易知直線AQ的方程為，由得，設(shè)，則，設(shè)，同理可得，則，得，故直線AB的方程為．22.如圖，已知：為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓C上不同于A，B的一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓作