第11講圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（高階拓展）（學(xué)生版）

圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙卷（文科），第12題,5分由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率已知方程求雙曲線的漸近線討論雙曲線與直線的位置關(guān)系2022年新Ⅱ卷，第16題,5分由中點(diǎn)弦求弦方程根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分求雙曲線中的弦長(zhǎng)由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的中點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算2.會(huì)用點(diǎn)差法求解相關(guān)問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓xkAB.kOM=?b2a2=e2kAB.雙曲線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則

k3.拋物線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則kAB=py04.中點(diǎn)弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于短軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有點(diǎn)差法妙解中點(diǎn)弦問題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為Ax將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。

（1）設(shè)點(diǎn):若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=1a>b化簡(jiǎn)可得y1+考點(diǎn)一、橢圓中的中點(diǎn)弦問題1．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝12．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．4．（全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．5．（浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．1．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線過橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．2．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓()的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．13．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A．直線的方程為 B．C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 D．橢圓的離心率為5．（2023·江西吉安·江西省峽江中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求的方程．6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C上頂點(diǎn)，過平行于的直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，M為弦BC的中點(diǎn)且直線的斜率與OM的斜率乘積為，則橢圓C的離心率為；若，則直線的方程為．考點(diǎn)二、雙曲線中的中點(diǎn)弦問題1．（江蘇·高考真題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．2．（全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．4．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上（1）求的方程（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．2．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）過雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3．（2022·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是.4．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┎慌c軸重合的直線經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為.5．（2022·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，且，記雙曲線的離心率為，則．考點(diǎn)三、拋物線中的中點(diǎn)弦問題1．（四川·高考真題）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（）A．3 B．4 C． D．2．（山東·高考真題）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．3．（北京·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合(如圖).（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求所在直線的方程.1．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若l的傾斜角為，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離是．3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線AB的斜率為.4．（2023·云南紅河·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)A平分線段時(shí)，求直線l的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，證明：．【能力提升】1．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是橢圓上的三點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)，直線的斜率恒為，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．5．（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學(xué)校考一模）已知m，n，s，t為正數(shù)，，，其中m，n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，點(diǎn)M(m,n)是曲線的一條弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程為（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，點(diǎn)在雙曲線C上，橢圓E的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（

）A． B．C． D．7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為．8．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為．9．（2023·安徽合肥·校考一模）已知橢圓方程為，且橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則弦所在的直線的方程是.10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，斜率為正的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，且，則直線l的斜率為．11．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎本€與橢圓交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則橢圓的離心率是.12．（2022·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．13．（2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？级＃┮阎p曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，點(diǎn)，在雙曲線上，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．14．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線l過且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若直線l不與x軸垂直，且，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．15．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．16．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．17．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，直線l交雙曲線兩條漸近線于點(diǎn)A、B，M為線段的中點(diǎn)，設(shè)直線l、的斜率分別為，若，則漸近線方程為．18．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l過點(diǎn)N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為．19．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）如圖，已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為3，則雙曲線的離心率為.20．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知拋物線C：，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．21．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．22．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．5 D．623．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線過焦點(diǎn)時(shí)，最小值為4B．直線過焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)（點(diǎn)在第一象限），C．若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為8D．點(diǎn)坐標(biāo)，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點(diǎn)為，則直線，方程為：24．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃ǘ噙x）拋物線為定值焦點(diǎn)為，與直線相交于兩點(diǎn)，為作軸的垂線，垂足為，過作的垂線，交軸于，則（

）A．B．的縱坐標(biāo)是定值C．為定值D．存在唯一的使得25．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的拋物線方程為.26．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）若A，B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，則的最大值為．27．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則.28．（2023·北京大興·?？既＃┮阎獟佄锞€頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段