高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第4講課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)關(guān)1．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線答案A解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.2．設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，且m，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若m，n?α，α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m，n?α，m∥β且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件．3．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為()A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′與△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25，故選D.4．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.5．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則()A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形答案B解析如圖，由題意得EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD.又因為H，G分別為BC，CD的中點，所以HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD.所以EF∥HG，且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH與平面ADC不平行，故選B.6．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中的真命題是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③答案C解析直線AA1∥平面α，且平面α與平面AA1C1C、平面AA1B1B分別交于FG，EH，所以AA1∥FG，AA1∥EH，所以FG∥EH.又平面ABC∥平面A1B1C1，平面α與平面ABC、平面A1B1C1分別交于EF，GH，所以EF∥GH.所以四邊形EFGH為平行四邊形．因為AA1∥平面α，且AA1⊥平面ABC，所以平面α⊥平面ABC，即平面α⊥平面BCFE.平面α與平面BCC1B1可能相交，考慮特殊情況：F與C重合，G與C1重合，此時滿足題意，但是兩平面相交．綜上，應(yīng)選C.7．如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B，B′C′的中點，G為△ABC的重心．從K，H，G，B′中取一點作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為()A．K B．HC．G D．B′答案C解析顯然EF∥AB，A′B′∥EF，故再選P點時，面PEF內(nèi)不能再有直線與棱平行，而選B′時只有AB一條棱與平面PEF平行．故選C.8．設(shè)α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________．答案①或③解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．9．(2018·北京海淀模擬)如圖，ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如圖所示，連接AC，易知MN∥平面ABCD，又平面PQNM∩平面ABCD＝PQ，MN?平面PQNM，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.10．如圖，在正四棱柱A1C中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)答案M位于線段FH上(答案不唯一)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.B組能力關(guān)1．如圖是正方體的平面展開圖，關(guān)于這個正方體有以下判斷：①ED與NF所成的角為60°；②CN∥平面AFB；③BM∥DE；④平面BDE∥平面NCF.其中正確判斷的序號是()A．①③ B．②③C．①②④ D．②③④答案C解析把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCD－EFMN，得ED與NF所成的角為60°，故①正確；CN∥BE，CN不包含于平面AFB，BE?平面AFB.∴CN∥平面AFB，故②正確；BM與ED是異面直線，故③不正確；∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，BD，BE?平面BDE，所以平面BDE∥平面NCF，故④正確．正確判斷的序號是①②④，故選C.2．(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)答案A解析如圖，過點A補作一個與正方體ABCD－A1B1C1D1相同棱長的正方體，易知m，n所成角為∠EAF1，因為△EAF1為正三角形，所以sin∠EAF1＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故選A.3．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，點M是棱AD的中點，點N在棱AA1上，且滿足AN＝2NA1，P是側(cè)面四邊形ADD1A1內(nèi)一動點(含邊界)．若C1P∥平面CMN，則線段C1P長度的取值范圍是()A．[eq\r(17)，5] B．[4,5]C．[3,5] D．[3，eq\r(17)]答案A解析如圖所示，取棱A1D1的中點E，在DD1上取點F，使D1F＝2DF，連接C1E，EF，C1F，EN，MF.∵E，M分別是所在棱的中點，D1F＝2DF，AN＝2NA1，∴Rt△D1EF≌Rt△AMN，Rt△A1EN≌Rt△DMF.∴EF＝MN，EN＝MF.∴四邊形MNEF為平行四邊形，∴MN∥EF.連接EM.∵E，M分別是A1D1，AD的中點，∴A1E＝AM，A1E∥AM.∴四邊形A1AME是平行四邊形．∴AA1∥EM且AA1＝EM.∴EM∥CC1，EM＝CC1，∴四邊形EMCC1是平行四邊形．∴C1E∥CM.又∵EF∩C1E＝E，MN∩CM＝M，∴平面C1EF∥平面CNM.∵P是側(cè)面四邊形ADD1A1內(nèi)一點，且C1P∥平面CMN，∴點P必在線段EF上．∵AA1＝6，AB＝3，AD＝8，∴C1E＝5，C1F＝5，EF＝4eq\r(2)，∴△C1EF為等腰三角形．當(dāng)P在EF的中點時，C1P⊥EF，此時C1P最短；當(dāng)P位于E或F處時，C1P最長．故(C1P)min＝eq\r(C1E2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)EF))2)＝eq\r(52－2\r(2)2)＝eq\r(17)，(C1P)max＝C1E＝C1F＝5，∴線段C1P長度的取值范圍是[eq\r(17)，5]．故選A.4．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形，G和H分別是CE和CF的中點．求證：平面BDGH∥平面AEF.證明在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，所以GH∥EF，又因為GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.設(shè)AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因為OA＝OC，CH＝HF，所以O(shè)H∥AF，又因為OH?平面AEF，AF?平面AEF，所以O(shè)H∥平面AEF.又因為OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.C組素養(yǎng)關(guān)1．(2018·豫東名校聯(lián)考)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.2．底面是平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，E是AB上一點，且eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,2)，在側(cè)棱PD上能否找到一點F，使AF∥平面PEC.解設(shè)AF存在，過F點作DC的平行線交PC于點G，連接EG