第09講 等腰三角形與等邊三角形（2大知識(shí)點(diǎn)+13大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁(yè)第09講等腰三角形與等邊三角形（2大知識(shí)點(diǎn)+13大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）題型一等邊對(duì)等角題型二根據(jù)等邊對(duì)等角證明題型三根據(jù)三線合一證明題型四格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形題型五根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形題型六根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等題型七根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)題型八直線上與已和兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)題型九作等腰三角形(尺規(guī)作園)題型十等腰三角形的性質(zhì)和判定題型十一等腰三角形的定義題型十二等邊三角形的判定和性質(zhì)題型十三含30度角的直角三角形知識(shí)點(diǎn)一：等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。（2）性質(zhì)①兩腰相等②兩底角相等（簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對(duì)稱軸。證明題目中的寫(xiě)法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評(píng)分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評(píng)分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等腰三角形“中點(diǎn)+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過(guò)腰或底上作腰或底的平行線知識(shí)點(diǎn)六：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）總結(jié)：知識(shí)點(diǎn)二：等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于60°判定：①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論：在直角三角形中，銳角為30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半?？偨Y(jié)：圖形等腰三角形等邊三角形性

質(zhì)兩條邊都相等三條邊都相等兩個(gè)角都相等三個(gè)角都相等，且都是60o底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合

每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合對(duì)稱軸（1條）對(duì)稱軸（3條）等腰三角形和等邊三角形對(duì)比②等腰三角形和等邊三角形的判定圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定方法：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形【典型例題一等邊對(duì)等角】1．（23-24八年級(jí)上·河南許昌·期中）等腰三角形的一個(gè)底角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（

）．A． B． C． D．或【答案】A【分析】本題主要查了等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)底角為，∴等腰三角形的頂角為．故選：A2．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）等腰三角形的頂角是，那么它的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等腰三角形的兩底角相等．【詳解】解：∵等腰三角形的兩底角相等∴底角為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．熟記相關(guān)結(jié)論即可．3．（23-24八年級(jí)上·湖南張家界·期末）已知等腰三角形一底角為，則這個(gè)等腰三角形頂角的大小是度．【答案】120【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三角形的內(nèi)角和為，可以求出其底角或頂角的度數(shù)．【詳解】解：等腰三角形頂角的大小是，故答案為：120．4．（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在中，，，則．【答案】/70度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可．【詳解】解：．故答案為：．5．（22-23八年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，在中，，，求的度數(shù)．【答案】25°【分析】先根據(jù)得到，，再由是的外角求得與的關(guān)系，即可求出．【詳解】解：∵，，∴．又∵，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊對(duì)等角以及三角形的外角性質(zhì)將已知角和所求角進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在上找一點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和得到，故作即可得．【詳解】如圖點(diǎn)D為所求．【點(diǎn)睛】本題考查等邊對(duì)等角，尺規(guī)作垂直平分線，需要在一定構(gòu)圖特殊性下的尺規(guī)作圖，需要分析題中條件，得到長(zhǎng)度角度關(guān)系，再考慮基礎(chǔ)尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行構(gòu)造即可．【典型例題二根據(jù)等邊對(duì)等角證明】1．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期末）等腰中，，用尺規(guī)作圖作出線段BD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．的周長(zhǎng)【答案】C【分析】根據(jù)作圖痕跡發(fā)現(xiàn)BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，由作圖痕跡發(fā)現(xiàn)BD平分∠ABC，∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∴AD=BD，故A、B正確；∵AD≠CD，∴S△ABD=S△BCD錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+AC=BC+AB，故D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)BD是角平分線是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·四川宜賓·期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：，是的中點(diǎn)，，，，而不一定成立，故選：B．3．（2023八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，如果點(diǎn)M在線段上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在線段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若使與全等，則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)為厘米/秒．【答案】2或3/3或2【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，分當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩種情況求出的值，再求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，①當(dāng)，時(shí)，，∴，∴，∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為厘米/秒．②當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為厘米/秒．綜上所述，點(diǎn)N的速度為2或3厘米/秒．故答案為：2或3．4．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)等邊等角可得，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)為即可求解．【詳解】解：把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，四邊形為長(zhǎng)方形，，，，，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在中，，D是內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，，∴，，∴，即．6．（23-24八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，，，連接交于點(diǎn)O，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用等邊對(duì)等角求得，再利用等角的余角相等即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【典型例題三根據(jù)三線合一證明】1．（2024·云南昭通·二模）如圖，在中，，平分，若，則（）A．10 B．12 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，據(jù)此作答即可．【詳解】解：∵在中，，平分，，∴，故選：A．2．（2024·河北唐山·二模）如圖，將折疊，使點(diǎn)C邊落在邊上，展開(kāi)得到折痕m，則m是的（

）

A．中線 B．中位線 C．角平分線 D．高【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三線合一．根據(jù)折疊后使點(diǎn)邊落在邊上，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，

折疊后使點(diǎn)邊落在邊上點(diǎn)處，，，三點(diǎn)共線，，，，即是的高線，故選：D．3．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在中，，，為頂角平分線，則．

【答案】【分析】由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，為頂角平分線，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．4．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，若AD平分，則AD與BC的位置關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)，AD平分，等腰三角形三線合一性質(zhì)可得AD⊥BC即可．【詳解】解：∵，AD平分，∴AD⊥BC，∴AD與BC的位置關(guān)系是AD⊥BC．故答案為AD⊥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形頂角平分線底邊中線，底邊高線三線互相重合性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）在中，，是中線，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】首先根據(jù)是中線得到，，然后利用的周長(zhǎng)和的周長(zhǎng)關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，是中線，且，∴，，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．6．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，，點(diǎn)D在上．(1)若，則_______________．(2)若，則_______________．(3)若，則_______________．【答案】(1)垂直，且平分(2)平分，且平分(3)垂直，且平分【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴垂直，且平分；故答案為：垂直，且平分；（2）解：∵，，∴平分，且平分；故答案為：平分，且平分；（3）解：∵，，∴垂直，且平分．故答案為：垂直，且平分【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典型例題四格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】1．（22-23八年級(jí)上·遼寧盤(pán)錦·期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得為軸對(duì)稱圖形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰底邊；②為等腰其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論①為等腰底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②為等腰其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)，故點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8個(gè)．故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·吉林四平·期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、是兩格點(diǎn)，如果點(diǎn)也是圖中的格點(diǎn)，且使得為等腰直角三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查等腰直角三角形的定義，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)以為等腰三角形的底邊和腰進(jìn)行分類求解即可【詳解】解：如圖：分情況討論，為等腰直角底邊時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)；為等腰直角其中的一條腰時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)．故選：B．3．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則．【答案】45°【解析】略4．（22-23八年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）在如圖所示的方格中，以為邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有個(gè)．

【答案】4【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A、B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，即可得出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置．【詳解】解：如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)、、、，即為第三個(gè)頂點(diǎn)的位置；故以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出4個(gè)．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，解題時(shí)需要通過(guò)尺規(guī)作圖，找出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置．正確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出關(guān)于直線成軸對(duì)稱的．(2)在線段上找一點(diǎn)（點(diǎn)在格點(diǎn)上），使得為等腰三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）分別找到關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后順次連接對(duì)稱點(diǎn)即可；（2）與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，且，故的中點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖，

（2）解：如圖，【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作軸對(duì)稱圖形、網(wǎng)格作等腰三角形；解題的關(guān)鍵是按要求找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)．6．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）圖①、圖②是的正方形網(wǎng)格，、兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②中各畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)、以為一邊的等腰三角形，且所畫(huà)兩個(gè)三角形不全等.圖①圖②【答案】見(jiàn)解析【分析】分兩種情況，以AB為腰，或以AB為底邊，分別以點(diǎn)B、點(diǎn)A為等腰三角形頂角頂點(diǎn)作三角形即可．【詳解】如圖，△ABC即為所求作三角形，說(shuō)明：由于后兩個(gè)圖中三角形全等，故不能同時(shí)畫(huà)最后兩個(gè)圖.【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，,全等三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典型例題五根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形】1．（22-23八年級(jí)下·寧夏中衛(wèi)·開(kāi)學(xué)考試）下列條件中，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B． C．， D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，以及判定定理：等角對(duì)等邊即可判斷．【詳解】解：A、，，，即是等腰三角形，故選項(xiàng)不合題意；B、，，即是等腰三角形，故選項(xiàng)不合題意；C、，即是等腰三角形，故選項(xiàng)不合題意；D、由不能得出其中的兩個(gè)角相等，故不一定是等腰三角形，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等角對(duì)等邊．2．（22-23八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，AD平分，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用等腰三角形三線合一解題即可．【詳解】解：∵，∴，∴是等腰三角形，∵平分，∴是的中線，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟記等角對(duì)等邊判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．【答案】?jī)蓚€(gè)【分析】根據(jù)等角對(duì)等邊，證明三角形是等腰三角形，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．故答案為：兩個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定．熟練掌握等角對(duì)等邊，證明三角形是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)上·吉林白城·期中）如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，則圖中等腰三角形有個(gè)．【答案】3【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，根據(jù)已知角利用等量代換即可求解．【詳解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，∵∠C＝∠ABC＝72°，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，故圖中共3個(gè)等腰三角形，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等角對(duì)等邊判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)∠1＝∠2，得出DB＝DC，再根據(jù)“斜邊、直角邊”證明Rt△ABD≌Rt△ACD即可．【詳解】證明：∵DB⊥AB，DC⊥AC∴∠ABD＝∠ACD＝90°．∵∠1＝∠2，∴DB＝DC，∵AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的判定與全等三角形的判定進(jìn)行推理證明．6．（22-23八年級(jí)上·湖北黃石·期末）如圖，已知點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC，等量代換得到∠ABD=∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代換得到AC=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：平分∴∠ABD=∠DBC∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠ADB，；②，平分（2）理由：∵CD、BD分別平分∠ACE，∠ABE，，∠DBC=∠ABC，又又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典型例題六根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】1．（22-23八年級(jí)上·陜西渭南·期中）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等角對(duì)等邊，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，則：；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊．2．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖是一個(gè)蹺蹺板的示意圖，立柱與地面垂直（于點(diǎn)C），蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，點(diǎn)A、C、在同一水平線上，，若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵，首先根據(jù)等角對(duì)等邊得到，然后求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵∴∴∴．故選：B．3．（23-24八年級(jí)上·河北廊坊·期末）在中，，要使為等腰三角形，寫(xiě)出一個(gè)可添加的條件：．【答案】（或）【分析】本題考查的是等腰三角形的定義，等腰三角形的判定，熟記等腰三角形的定義與判定方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵中，，要使為等腰三角形，∴可添加（或）．故答案為：（或）4．（23-24七年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．【詳解】解：，，垂直平分，，，又，．故答案為：．5．（22-23八年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作EF//BC交AB、AC于點(diǎn)E、F，試說(shuō)明BE+CF=EF的理由.【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線的定義可得：∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，從而證出∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，再根據(jù)等角對(duì)等邊證出：EB=ED，F(xiàn)D=FC，從而證出：BE+CF=EF.【詳解】解：∵BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD∵EF//BC∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC∴EB=ED，F(xiàn)D=FC∴BE+CF=DE+DF=EF【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握角平分線、平行線和等腰三角形三者的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.6．（22-23七年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）如圖所示，四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，已知，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理可直接證明；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再由等角對(duì)等邊得出，運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可證明．【詳解】（1）解：在與中，，∴；（2）由（1）可得：，∴，∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【典型例題七根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】1．（23-24八年級(jí)上·四川樂(lè)山·期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，，則的周長(zhǎng)等于（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】本題考查了等角對(duì)等邊、垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌握垂直平分線的點(diǎn)到兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等角對(duì)等邊可得；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)上可得；可得；即可代入求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴；∵的垂直平分線交于點(diǎn)，∴；則；∴的周長(zhǎng)為．故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·陜西·期中）如圖是一個(gè)蹺蹺板的示意圖，立柱與地面垂直（于點(diǎn)C），蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，當(dāng)蹺蹺板的另一頭B在處著地時(shí)，點(diǎn)A、C、在同一水平線上，，若，則的長(zhǎng)度（

）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m【答案】B【分析】此題考查了等角對(duì)等邊性質(zhì)，首先根據(jù)等角對(duì)等邊得到，然后求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵∴∴∴．故選：B．3．（22-23八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，△ABC中，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，則ΔOMN的周長(zhǎng)為．【答案】10cm【分析】由角平分線和平行線的性質(zhì)，等量代換得到∠MBO=∠MOB，再由等角對(duì)等邊得到OM=BM，同理ON=CN，從而求得結(jié)果．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，又OM∥AB，∴∠ABO=∠MOB，∴∠MBO=∠MOB，∴OM=BM，同理ON=CN，∵BC=10cm，則△OMN的周長(zhǎng)c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．故答案為10cm．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（23-24八年級(jí)下·甘肅酒泉·期中）如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以20海里/時(shí)的速度向正北航行，11時(shí)到達(dá)B處，從A，B處望燈塔C，測(cè)得，，那么從B處到燈塔C的距離是海里．

【答案】40【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，先求出海里，再利用三角形外角的性質(zhì)證明，則海里．【詳解】解：由題意得，海里，∵，，∴，∴，∴海里，∴從B處到燈塔C的距離是40海里，故答案為：40．5．（22-23八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，若，求的周長(zhǎng)．

【答案】【分析】根據(jù)可得，進(jìn)而求出周長(zhǎng)．【詳解】解：，．又，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形判定，掌握等腰三角形判定：等角對(duì)等邊是解題關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，上午8時(shí)，一條船從海港出發(fā)，以15海里/小時(shí)的速度向正北航行，11時(shí)到達(dá)海島處，從海港，海島處望燈塔，分別測(cè)得，．

(1)求海島與燈塔之間的距離；(2)若該船每海里耗油0.5升，油箱容量為40升，求該船當(dāng)天裝滿油箱從海港A出發(fā)到海島B，再?gòu)暮uB去到燈塔C的過(guò)程中至少還需補(bǔ)充多少升油？【答案】(1)從海島到燈塔的距離為45海里(2)該船當(dāng)天航行過(guò)程中至少還需補(bǔ)充5升油【分析】本題主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)三角形的外角得到，然后根據(jù)等角對(duì)等邊解題即可；（2）先計(jì)算出行駛的路程，然后乘以每海里耗油量解題即可．【詳解】（1）由題意得：（海里），，，，（海里），從海島到燈塔的距離為45海里．

（2）這一天走的總路程：（海里），應(yīng)耗油：（升），（升），答：該船當(dāng)天航行過(guò)程中至少還需補(bǔ)充5升油．【典型例題八直線上與已和兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】1．（2024·貴州畢節(jié)·一模）點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，若點(diǎn)C是直線l上的點(diǎn)，且是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C最多有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，先以A點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線l于點(diǎn)、，再先以B點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線l于點(diǎn)，最后作的垂直平分線交直線l于點(diǎn)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為所作，故答案為：A．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在y軸上確定點(diǎn)B，使為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)B共有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論，并分別作圖即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與y軸交于點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與y軸交于點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，作線段的垂直平分線，與y軸交于點(diǎn)；綜上，共有4個(gè)，故選：A．3．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·階段練習(xí)）如圖所示，用兩根鋼索加固直立的電線桿，若要使鋼索與的長(zhǎng)度相等，需加條件，理由是．【答案】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)．添加可得是的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得．【詳解】解：添加，∵，∴是的垂直平分線，∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），故答案為：，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．4．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，已知中，.在直線或上取一點(diǎn)P，使得是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有個(gè).【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。根據(jù)題意，畫(huà)出圖形結(jié)合求解．【詳解】如圖，第1個(gè)點(diǎn)在AC上，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則有；第2個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑截取，交延長(zhǎng)線上于點(diǎn)P；第3個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑截取，在上邊于延長(zhǎng)線上交于點(diǎn)P；第4個(gè)點(diǎn)是以B為圓心，以長(zhǎng)為半徑截取，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P；第5個(gè)點(diǎn)是以B為圓心，以長(zhǎng)為半徑截取，與在左邊交于點(diǎn)P；第6個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑截取，與在右邊交于點(diǎn)P；故符合條件的點(diǎn)P有6個(gè)點(diǎn)．故答案為：6．5．（22-23八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），B（4，0），試在x軸上找點(diǎn)P使△ABP為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（9，0），（﹣1，0），（﹣4，0），（，0）【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A（0，3），B（4，0），∴AO＝3，BO＝4，∴AB＝＝5，△ABP是等腰三角形，點(diǎn)P在x軸上，則有三種情況，①若BA＝BP＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，0），（﹣1，0），②若AB＝AP＝5，且AO⊥BO，可得OP＝OB＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，0）③若PA＝PB，∵PA2＝AO2+OP2，∴PB2＝9+（4﹣PB）2，∴PB＝，∴PO＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（9，0），（﹣1，0），（﹣4，0）；（，0）；【點(diǎn)睛】此題主要考查坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵根據(jù)分情況討論.6．（22-23八年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）（1）如圖1，線段OA的一個(gè)端點(diǎn)O在直線l上，且與直線l所成的銳角為50°，以O(shè)A為一邊畫(huà)等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫(huà)個(gè)．（2）如圖1，如果OA與直線l所成的銳角為60°，以O(shè)A為一邊畫(huà)等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫(huà)個(gè)．想一想：如圖2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，過(guò)頂點(diǎn)C作一條直線，分割出一個(gè)等腰三角形這樣的直線最多可以畫(huà)條．算一算：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在過(guò)點(diǎn)C的一條直線，能把該三角形分成兩個(gè)等腰三角形，試求∠B的度數(shù)．【答案】（1）4；（2）2;想一想：4；算一算：70°或40°或100°．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，兩個(gè)邊相等的三角形是等腰三角形即可得到結(jié)論；（2）以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)弧，交直線l于兩點(diǎn)，即可得到結(jié)論；想一想：分四種情況：①當(dāng)AC=AF，②當(dāng)BC=BE，③當(dāng)CB=CG，④當(dāng)AD＝CD，⑤當(dāng)BE=EC故過(guò)頂點(diǎn)C作一條直線，分割出一個(gè)等腰三角形這樣的直線最多可以畫(huà)5條，算一算：如圖3，當(dāng)AD=CD，分三種情況：①當(dāng)CD=BD時(shí)，∠B=∠BCD=70°；②當(dāng)CD=BC時(shí)，∠B=∠CDB=40°；③當(dāng)BD=BC時(shí)，∠B=180°-40°-40°=100°；如圖4，當(dāng)AC=AE，CE=BE時(shí)，G根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，①當(dāng)AO＝OP1，②當(dāng)AO＝AP2；③當(dāng)AO＝OP3，④當(dāng)AP4＝OP4，這樣的等腰三角形能畫(huà)4個(gè)．故答案為：4；（2）以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)弧，交直線l于兩點(diǎn)；故這樣的等腰三角形能畫(huà)2個(gè)，故答案為：2；想一想：①當(dāng)AC＝AF，②當(dāng)BC＝BE，③當(dāng)CB＝CG，④當(dāng)AD＝CD時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)C作一條直線，能分割出一個(gè)等腰三角形，⑤當(dāng)BE=EC故過(guò)頂點(diǎn)C作一條直線，分割出一個(gè)等腰三角形這樣的直線最多可以畫(huà)5條，∴過(guò)頂點(diǎn)C作一條直線，分割出一個(gè)等腰三角形這樣的直線最多可以畫(huà)5條，故答案為：5；算一算：如圖3，當(dāng)AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝20°，∴∠CDB＝40°，∴①當(dāng)CD＝BD時(shí)，∠B＝∠BCD＝70°；②當(dāng)CD＝BC時(shí)，∠B＝∠CDB＝40°；③當(dāng)BD＝BC時(shí)，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；如圖4，當(dāng)AC＝AE，CE＝BE時(shí)，∵∠A＝20°，∴∠ACE＝∠AEC＝80°，∴∠B＝∠BCE＝40°，當(dāng)AC=CE，CE=BE時(shí)，∵∠A=20°，∴∠AEC=∠A=20°，∴∠B=10°，綜上所述，存在過(guò)點(diǎn)C的一條直線，能把該三角形分成兩個(gè)等腰三角形，∠B的度數(shù)為70°或40°或100°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與作圖；特別注意利用分類討論的方法，避免漏解．【典型例題九作等腰三角形(尺規(guī)作園)】1．（22-23八年級(jí)上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，用尺規(guī)作圖求作等腰三角形”里用到的基本作圖是A．作一條線段等于已知線段，作已知線段的垂直平分線 B．作已知角的平分線C．過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線 D．作一個(gè)角等于已知角【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)即可判斷．【詳解】當(dāng)已知等腰三角形的底邊時(shí)，可先尺規(guī)作圖作出已知線段，然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可知底邊上的高所在直線為底邊的垂直平分線，因此作底邊的垂直平分線，并運(yùn)用尺規(guī)截取高度即可得到等腰三角形的頂點(diǎn)，最后連接頂點(diǎn)與底邊的兩個(gè)端點(diǎn)即可得到等腰三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖作一個(gè)等腰三角形的原理，理解基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023·河北保定·一模）如圖，給出線段，，作等腰，使，邊上的高.嘉嘉的作法是：①作線段；②作線段的垂線；③以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，與分別交于點(diǎn)，；④連接，，為所求作的等腰三角形.上述作法的四個(gè)步驟中，你認(rèn)為有錯(cuò)誤的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】利用基本作圖（過(guò)已知直線上一點(diǎn)作直線的垂線）可判斷②錯(cuò)誤．【詳解】有錯(cuò)誤的一步是②，應(yīng)該為過(guò)D點(diǎn)作MN⊥AD．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．3．（2023九年級(jí)·北京·專題練習(xí)）“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無(wú)處不在．課堂上李老師提出一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知．判斷是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）．小麗的方法如圖2，在、上分別取點(diǎn)，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，則．李老師說(shuō)小麗的作法正確，請(qǐng)你寫(xiě)出她作圖的依據(jù)：．【答案】等腰三角形的三線合一【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得．【詳解】由作圖可知，是等腰三角形是等腰斜邊上的中線（等腰三角形的三線合一），即故答案為：等腰三角形的三線合一．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一，熟記等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)上·福建寧德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x軸上確定點(diǎn)M，使三角形MAB是等腰三角形，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（任寫(xiě)一個(gè)）．【答案】，（任寫(xiě)一個(gè)）【分析】畫(huà)AB的垂直平分線交x軸于一點(diǎn)，再以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧交x軸于兩點(diǎn)，最后以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸于一點(diǎn)，分別寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】如圖所示，是以A為圓心，AB為半徑交x軸于兩點(diǎn)，故所有滿足條件點(diǎn)M的坐標(biāo)是：，（任寫(xiě)一個(gè)）．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，已知線段，求作等腰三角形，使底邊AB的長(zhǎng)為，底上高的長(zhǎng)為（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】圖見(jiàn)解析【分析】本題考查復(fù)雜作圖—作等腰三角形，作射線，截取，作的中垂線，交于點(diǎn)，在中垂線上截取，連接，即為所求．掌握中垂線的作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，即為所求；6．（23-24七年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖．已知一個(gè)含有角的直角三角形，請(qǐng)利用它用兩種不同的方法構(gòu)造一個(gè)含角的直角三角形．（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)做法，保留作圖軌跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．①在上截取，即為含角的直角三角形，②延長(zhǎng)，并在上截取，即為含45°角的直角三角形．【詳解】解：①為含角的直角三角形，①為含角的直角三角形．【典型例題十等腰三角形的性質(zhì)和判定】1．（23-24八年級(jí)下·吉林白山·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，，且，則點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解即可．【詳解】，，為等腰直角三角形，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A．2．（2024·浙江嘉興·三模）在中，，小豪作圖過(guò)程如下∶（1）以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，連結(jié)∶（2）分別以C，D為圓心，大于作弧交于點(diǎn)E：（3）作射線交于點(diǎn)F．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查作圖，作等腰三角形和垂直平分線，根據(jù)作圖可知，結(jié)合垂直即可知射線垂直平分線段，其余選項(xiàng)均無(wú)法確定．【詳解】解：∵以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，連結(jié)，∴，由作圖知，點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，則射線垂直平分線段，故D正確；∵無(wú)法確定和的關(guān)系，∴A和D無(wú)法確定；只能確定和的關(guān)系，無(wú)法確定和的關(guān)系，則C無(wú)法確定；故選D．3．（23-24八年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，在中，，，平分的外角，則．【答案】/度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線定義求解即可．【詳解】解：，，，，平分的外角，，故答案為：．4．（23-24八年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上且點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，連接，若，，則線段的長(zhǎng)度為．【答案】5【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，故答案為：5．5．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)D，連接，使得．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查基本作圖，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，判斷是等腰直角三角形即可得．【詳解】解：如圖，點(diǎn)D即為所求：6．（23-24八年級(jí)下·山西太原·期中）如圖，中，，點(diǎn)D是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫(xiě)作法；如果完成有困難，可畫(huà)出草圖后解答（2）題）；(2)在（1）得到的圖中，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖——作垂線，等腰三角形的判定及性質(zhì)．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖——作垂線的方法作圖即可；（2）由可得，，，又由得到，從而，因此得證．【詳解】（1）解：如圖，為所求．（2）證明：∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【典型例題十一等腰三角形的定義】1．（22-23七年級(jí)下·重慶渝中·期末）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則它的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義．根據(jù)等腰三角形的定義分兩種情況討論，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件求解即可．【詳解】解：當(dāng)邊長(zhǎng)為的邊為腰時(shí)，則等腰三角形的三邊分別為，，，∵，∴此時(shí)不能組成三角形，不符合題意；當(dāng)邊長(zhǎng)為的邊為底時(shí)，則等腰三角形的三邊分別為，，，∵，∴此時(shí)能組成三角形，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為；故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·河北保定·期中）等腰三角形一邊上的高與一腰所夾的銳角是，則該等腰三角形頂角是（

）（1）甲的結(jié)果是；（2）乙的結(jié)果是；（3）丙的結(jié)果是．A．甲、乙的結(jié)果合起來(lái)才對(duì) B．乙、丙的結(jié)果合起來(lái)才對(duì)C．甲、乙、丙的結(jié)果合起來(lái)才對(duì) D．甲、乙、丙的結(jié)果合起來(lái)也不對(duì)【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題時(shí)考慮問(wèn)題要全面，必要時(shí)可做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．分情況先畫(huà)出圖形，再解答即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切窝系母吲c另一腰的夾角為時(shí)，當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)如圖1，于點(diǎn)，∠，∴；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)如圖2，于點(diǎn)，，∴，∴．當(dāng)?shù)妊切蔚走吷系母吲c腰的夾角為時(shí)，如圖3于點(diǎn)，，∴，∴甲、乙、丙的結(jié)果合起來(lái)才對(duì)；故選：C．3．（23-24七年級(jí)下·江西九江·期末）等腰三角形的一邊等于1，一邊等于3，則它的周長(zhǎng)等于．【答案】7【分析】本題考查了等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件，根據(jù)等腰三角形的定義及構(gòu)成三角形的條件即可求解．【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為1時(shí)，，不能構(gòu)成等腰三角形當(dāng)腰長(zhǎng)3時(shí)，，可以構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為：，故答案為：7．4．（23-24七年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為18，其中一邊長(zhǎng)為5，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為．【答案】8或5【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．由于長(zhǎng)為4的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)腰為5時(shí)，另一腰也為5，則底為，∵，符合題意，當(dāng)?shù)诪?時(shí)，腰為，符合題意，∴該三角形的底邊長(zhǎng)為8或5．故答案為：8或5．5．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．(1)如果腰長(zhǎng)是底邊的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？(2)如果一腰上的中線將該等腰三角形的周長(zhǎng)分為兩部分，那么各邊的長(zhǎng)為多少？【答案】(1)，，(2)，．【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.（1）設(shè)底邊，則，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)是，列出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出答案．（2）設(shè)，，根據(jù)中線將的周長(zhǎng)分為兩部分，得出兩部分的長(zhǎng)度，然后列出關(guān)于a，b的二元一次方程并求解，然后分2種情況討論，并根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出正確的答案．【詳解】（1）解：如下圖：設(shè)底邊，則，∵三角形的周長(zhǎng)是，∴，∴，，答：等腰三角形的三邊長(zhǎng)是，，．（2）如下圖：設(shè)，，∵中線將的周長(zhǎng)分為兩部分，，，∴，或，，解得：，或，，當(dāng)，時(shí)，∴三角形三邊長(zhǎng)是，，，因?yàn)?，不符合三角形三邊關(guān)系定理，∴此種情況舍去，當(dāng)，，時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)是，，，符合三角形的三邊關(guān)系定理，綜合上述：符合條件的三角形三邊長(zhǎng)是，，，答：等腰三角形的邊長(zhǎng)是，．．6．（23-24八年級(jí)下·廣東惠州·期中）如圖，等腰的周長(zhǎng)為，底邊，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的周長(zhǎng)．【答案】13【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，利用性質(zhì)將線段進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵．由垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可得，所以的周長(zhǎng)，根據(jù)根據(jù)題目條件求出即可．【詳解】解：由題意得，，，，，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)．【典型例題十二等邊三角形的判定和性質(zhì)】1．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，，則的周長(zhǎng)是（）A．2 B．4 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意可知是等邊三角形，進(jìn)而求出周長(zhǎng)即可．【詳解】解：，∴是等邊三角形，，∴的周長(zhǎng)．故選：C．2．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知的大小為，是內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值等于（）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】本題考查軸對(duì)稱求最短距離．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接、，此時(shí)周長(zhǎng)最小為，由對(duì)稱性可求是等邊三角形，則可求的長(zhǎng)為1．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接、，由對(duì)稱性可知，，，周長(zhǎng)，此時(shí)周長(zhǎng)最小，，，，，，是等邊三角形，，，故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則．【答案】/30度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，，可得出．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴是的平分線，∴，故答案為：．4．（23-24七年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）在中，，要使是等邊三角形需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．（只需寫(xiě)出一種情況）【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定條件是解題關(guān)鍵．由等邊三角形的定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；判定定理2：有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：∵在中，，∴是等腰三角形，要使是等邊三角形，只需添加、的夾角即可．故答案為：（答案不唯一）．5．（23-24八年級(jí)上·甘肅慶陽(yáng)·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接．若，求證：是等邊三角形．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)有一角是的等腰三角形是等邊三角形即可求證．【詳解】證明：，為等腰三角形，又，，是等邊三角形．6．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求證：是等邊三角形．(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴．∵，∴，．∴是等邊三角形．（2）∵為等邊三角形，∴．∵平分，∴．

∵是等邊三角形，∴．∴．【典型例題十三含30度角的直角三角形】1．（23-24八年級(jí)下·廣西桂林·期中）如圖，在中，，，的平分線交于，于點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合，求出的長(zhǎng)即可，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的平分線交于，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．2．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖是某公園一段索道的示意圖，已知A、B分別為索道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離為40米，，則纜車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程（的長(zhǎng)）為（

）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米【答案】A【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，由含角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵米，，∴（米），故選：A．3．（23-24八年級(jí)下·陜西寶雞·期中）如圖，是等邊三角形，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了含度角的直角三角形的性質(zhì)，利用“一銳角為的直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，通過(guò)等量代換可得．【詳解】解：與相交于，如圖，為等邊三角形，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，，在中，，即，解得，．故答案為．4．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，．分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，作直線分別交，于點(diǎn)D和點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，以及含直角三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)可得出，由垂直平分線的性質(zhì)可得出，由等邊對(duì)等角得出，進(jìn)一步求出，由含直角三角形的性質(zhì)可求出．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，由作法得垂直平分，∴，∴，∴，在中，∵，∴．故答案為：4．5．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知，，，這種草皮每平方米的售價(jià)是元，求購(gòu)買這種草皮需要多少元．

【答案】元【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，可求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求出的值，可求出，由此即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，

∵，∴，又，，∴，∴，∵這種草皮每平方米售價(jià)是元，∴購(gòu)買這種草皮需要元．【點(diǎn)睛】本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)，幾何圖形面積的計(jì)算方法，掌握構(gòu)造輔助線，運(yùn)用含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，點(diǎn)Q為射線邊上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，是直角三角形.

【答案】或【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖1所示：∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，∵，∴∴；當(dāng)時(shí)，如圖2所示：則，∴，∴；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，是直角三角形【變式訓(xùn)練1等邊對(duì)等角】1．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）等腰三角形底角為，則此等腰三角形的頂角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)“等腰三角形的兩底角相等”，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形底角為，∴此等腰三角形的頂角度數(shù)為．故選：B2．（22-23八年級(jí)上·云南昭通·期中）等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為，則它的頂角為（

）A． B． C．或 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分為頂角和底角進(jìn)行求解．【詳解】解：分情況討論，當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角為頂角時(shí)，其頂角為；當(dāng)為底角時(shí)，則其頂角為；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·期末）若等腰三角形的底角為55°，則這個(gè)等腰三角形的頂角是°．【答案】70【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：∵等腰三角形的底角為55°，∴等腰三角形的頂角為，故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．4．（22-23八年級(jí)上·云南昭通·期中）等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)為，則頂角的度數(shù)為．【答案】或【分析】根據(jù)題意當(dāng)?shù)捉菫榛蝽斀菫闀r(shí)兩種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：∵等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)為，∴①當(dāng)?shù)捉菫闀r(shí)，頂角的度數(shù)為；②當(dāng)頂角為．綜上所述，頂角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的內(nèi)角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分底角為或頂角為兩種情況討論．5．（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）在等腰三角形中，有一個(gè)角為40°，求其余各角．【答案】其余各角為70°，70°或40°，100°．【分析】由一個(gè)等腰三角形內(nèi)角為40°，分別從40°是等腰三角形頂角與40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【詳解】解：（1）當(dāng)40°的角為頂角時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個(gè)底角的度數(shù)之和，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個(gè)底角的度數(shù)；（2）當(dāng)40°的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為40°，則頂角的度數(shù)，∴其余各角為70°，70°或40°，100°．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．6．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，在中，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】解：，，，，，答：的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練2根據(jù)等邊對(duì)等角證明】1．（22-23八年級(jí)上·北京·期中）已知：是等腰三角形，，是底邊上的高，下面結(jié)論不一定成立的是（）

A． B． C．平分 D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可確定答案．【詳解】解：由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得：，平分，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)不一定有，除非是等腰直角三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2020·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）老師在投影屏上展示了如下一道試題：已知：如圖，平分，．求證：．證明：∵平分，∴（①角平分線定義），∵，∴（②等角對(duì)等邊），∴③，∴（④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．則以上證明過(guò)程中，結(jié)論或者依據(jù)錯(cuò)誤的是一項(xiàng)是（

）．A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)題目條件可直接判斷②錯(cuò)誤，應(yīng)該是“等邊對(duì)等角”．【詳解】解：證明：∵平分，∴（①角平分線定義），∵，∴（②等邊對(duì)等角），∴③，∴（④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，理解掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·重慶江北·期末）如圖，在中，，點(diǎn)都在邊上，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】7【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和題目的已知條件證得△BAD≌△CAE后即可求得CE的長(zhǎng).【詳解】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=7.故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知和隱含條件證得三角形全等.4．（22-23八年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）如圖，在中，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為.【答案】9【分析】要求CE的長(zhǎng)度，只需要求出AE的長(zhǎng)度即可.通過(guò)，可知，通過(guò)等量代換可知，從而得出，則CE的長(zhǎng)度可求.【詳解】解：∵∵∴∴故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，能夠通過(guò)等量代換找到是解題的關(guān)鍵.5．（2023·北京豐臺(tái)·一模）如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，∠BAD與∠CDE滿足什么條件時(shí)AD=AE？寫(xiě)出你的推理過(guò)程．【答案】當(dāng)∠BAD=2∠CDE時(shí)，AD=AE，證明見(jiàn)解析【分析】若∠BAD=2∠CDE，設(shè)∠CDE=x，則∠BAD=2x，根據(jù)角之間的關(guān)系可求得∠1=x+∠C=∠2，即AD=AE，所以當(dāng)∠BAD=2∠CDE，AD=AE【詳解】當(dāng)∠BAD=2∠CDE時(shí)，AD=AE，證明：若∠BAD=2∠CDE，設(shè)∠CDE=x，則∠BAD=2x，

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B∴∠2=x+∠C，∠1+x=2x+∠B=2x+∠C∴∠1=x+∠C=∠2

∴AD=AE6．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）已知：如圖，在中，，點(diǎn)D在上，且．

(1)求證：；(2)若，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由得，由得，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）設(shè)，則，，由三角形的內(nèi)角和定理可列出方程，解出答案即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，

∴，，∴，

，∴；（2）解：設(shè)，，，，，，解得：，．【變式訓(xùn)練3根據(jù)三線合一證明】1．（22-23八年級(jí)下·四川瀘州·期末）如圖，在中，，是的平分線，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：為邊上的中線，從而求解．【詳解】解：是的平分線，，為邊上的中線，．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．2．（22-23八年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）如圖．在中，．若是的角平分線，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)解題．【詳解】∵，是的角平分線，∴，，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，等腰中，，是的平分線，，則的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵，是的平分線，，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形“三線合一”，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形頂角的角平分線，底邊上的高，底邊上的中線互相重合．4．（22-23八年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，中，，，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作BE⊥AC垂足為E，交AD于F，此時(shí)CF+EF最小，利用面積法即可求得答案．【詳解】作BE⊥AC垂足為E，交AD于F，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴FB=FC，∴CF+EF=BF+EF，∵線段BE是垂線段，根據(jù)垂線段最短，∴點(diǎn)E、點(diǎn)F就是所找的點(diǎn)；∵，∴，∴CF+EF的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，掌握應(yīng)用面積法求高是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期中）如圖，中，，是邊上的高，的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】此題考查的是等腰三角形的三線合一：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的高，底邊上的中線重合，解決此題的關(guān)鍵是利用三線合一和周長(zhǎng)求腰長(zhǎng)．根據(jù)三線合一可得，根據(jù)的周長(zhǎng)求解即可．【詳解】∵，是邊上的高，，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，解得．6．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期中）如圖，在中，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且是的中線，平分，交于點(diǎn)．

求證：(1)；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由三線合一，得到平分，結(jié)合平分，和平角的定義，即可得證；（2）由三線合一，得到，結(jié)合（1）中的結(jié)論即可得證．【詳解】（1）證明：是的中線，∴平分，∴，∵平分，∴，∵，∴，即：，∴；（2）∵是的中線，∴，由（1）知：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】1．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．要在格點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連接和，使是等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】D【分析】分別尋找以為腰，以為底的等腰即可得到答案．【詳解】解；如圖所示，一共有8個(gè)點(diǎn)C符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（22-23七年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A，B是兩個(gè)格點(diǎn)，如果點(diǎn)C也是圖形中的格點(diǎn)，且△ABC為等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)C有（

）A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示：，故為等腰三角形，，故為等腰三角形，，故為等腰三角形，，故為等腰三角形，，故為等腰三角形，則一共有5個(gè)等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的定義，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．3．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，4），D在第一象限，且DO=DB，△DOA為等腰三角形，則∠OBD的度數(shù)為．【答案】45°，60°，75°，15°【分析】根據(jù)△DOA為等腰三角形，分三種情況：①OD=AD；②OD=OA③OA=OD分別求得各邊的長(zhǎng)度，再利用三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】如圖，∵D在第一象限，且DO=DB，△DOA為等腰三角形，∴點(diǎn)D分四種情況：①OD1=AD1；②OD2=OA；③OA=OD3；④AD4=OA∴∠OBD1=45°，∠OBD2=60°，∠OBD3=15°+60°=75°，∠OBD4=15°故答案為45°，60°，75°，15°【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定和坐標(biāo)與圖形性質(zhì).4．（22-23九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，A．B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形、點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C共有個(gè)．【答案】9【分析】根據(jù)已知條件，可知按照點(diǎn)C所在的直線分兩種情況：①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，AB為底邊；②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊．【詳解】解：①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個(gè)；②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊，符合點(diǎn)C的有4個(gè)．所以符合條件的點(diǎn)C共有9個(gè)．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定來(lái)解決特殊的實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解．注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．5．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在圖①、圖②、圖③中以為邊各畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫(huà)三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形，找到的矩形的對(duì)角線即可完成作圖．【詳解】解：如圖所示：即為所求銳角三角形；即為所求直角三角形；即為所求鈍角三角形

6．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，分別在三幅圖中的線段上畫(huà)出格點(diǎn)P，使點(diǎn)P滿足以下要求：(1)在圖①中，連結(jié)，使最小；(2)在圖②中，連結(jié)、，使；(3)在圖③中，連結(jié)、，使為直角三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）根據(jù)垂線段最短，在線段上取格點(diǎn)P，使即可；（2）作線段的垂直平分線，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（3）在線段上取格點(diǎn)P，使即可．【詳解】（1）解：如圖①，在線段上取格點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；（2）解：如圖②，作線段的垂直平分線，則點(diǎn)P即為所求；（3）解：如圖③，在線段上取格點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【變式訓(xùn)練5根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形】1．（22-23八年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A+∠B＝∠CC．∠A＝55°，∠B＝70° D．∠A：∠B＝1：2【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，沒(méi)有相等的角，則不是等腰三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵∠A＝55°，∠B＝70°，∴∠C＝55°，∴∠A＝∠C∴△ABC為等腰三角形，選項(xiàng)正確；D、∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A，∠B的度數(shù)不能確定，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定定理及三角形內(nèi)角和定理，理解掌握定理是關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·福建廈門·階段練習(xí)）下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．a(chǎn)=3，b=3，c=4 B．a(chǎn)：b：c=4：5：6C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的定義與等角對(duì)等邊的判定定理，即可求得答案．【詳解】解：A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=4：5：6∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定．注意掌握等腰三角形的定義與等角對(duì)等邊的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，已知∠AOD＝28°，點(diǎn)C是射線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，恰好是等腰三角形，則此時(shí)∠A所有可能的度數(shù)為．【答案】或或【分析】由等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，綜上：當(dāng)是等腰三角形，為或或故答案為：為或或【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)及分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）等有三角形的判定：如果一個(gè)三角形有，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）．幾何書(shū)寫(xiě)：∵∴AB＝AC（等角對(duì)等邊）．【答案】?jī)蓚€(gè)角相等∠B=∠C【解析】略5．（22-23八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且EC∥AD．證明：△ACE是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析．【分析】利用角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得∠E＝∠ACE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得結(jié)論.【詳解】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EC∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，∴∠E＝∠ACE，∴△ACE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，即有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，還涉及了兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，靈活利用角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)證明角相等是解題的關(guān)鍵.6．（22-23八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是的平分線和的外角平分線的交點(diǎn)，，則線段、、之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】DE+EC=BD，證明見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，求出△BDF與△ECF是等腰三角形，通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】解：DE+EC=BD．證明：∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵