小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練簡單數(shù)列的規(guī)律

小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練簡單數(shù)列的規(guī)律第六講找簡單數(shù)列的規(guī)律日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…（1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年級(jí)各班的學(xué)生人數(shù)（按班級(jí)順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45（3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2個(gè)數(shù)稱為第2項(xiàng)，…，第n個(gè)數(shù)就稱為第n項(xiàng).如數(shù)列（3）中，第1項(xiàng)是45，第2項(xiàng)也是45，第3項(xiàng)是44，第4項(xiàng)是46，第5項(xiàng)45。根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個(gè)例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。例1觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20。②19，17，15，13，（），9，7。③1，3，9，27，（），243。④64，32，16，8，（），2。⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…⑥1，3，4，7，11，18，（），47…⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。⑨1，1，3，7，13，（），31。⑩1，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析與解答①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填11，即：13—2=11。不妨把①與②聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個(gè)數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值.我們把類似①②這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.③1，3，9，27，（），243。此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括號(hào)中應(yīng)填81，即81=27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即243＝81×3。④64，32，16，8，（），2與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：因此，括號(hào)中填4，代入后符合規(guī)律。綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號(hào)中應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)：1，2，3，4，5偶數(shù)項(xiàng)：2，4，8，16可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號(hào)中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32（32=16×2）。(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項(xiàng)：偶數(shù)項(xiàng)：2，4，6，8，10奇數(shù)項(xiàng)：1，3，9，27，（）.所以，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，括號(hào)中應(yīng)填81（81=27×3）。像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中都含有兩個(gè)系列，這兩個(gè)系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重?cái)?shù)列。例2下面數(shù)列的每一項(xiàng)由3個(gè)數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…問：第100個(gè)數(shù)組內(nèi)3個(gè)數(shù)的和是多少？方法1：注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個(gè)分量依次是：1，2，3…構(gòu)成等差數(shù)列，所以第100個(gè)數(shù)組中的第1個(gè)數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個(gè)分量3，6，9…也構(gòu)成等差數(shù)列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個(gè)數(shù)組中的第2個(gè)數(shù)為3×100=300；同理，第3個(gè)分量為5×100=500，所以，第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為100+300+500=900。方法2：因?yàn)轭}目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個(gè)數(shù)而直接求和，考察各組的三個(gè)數(shù)之和。第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18第3組：3+9+15=27…，由于9=9×1，18=9×2，27=9×3，所以9，18，27…構(gòu)成一等差數(shù)列，第100項(xiàng)為9×100=900，即第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為900。例3在下面各題的五個(gè)數(shù)中，選出與其他四個(gè)數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再從括號(hào)中選一個(gè)合適的數(shù)替換。①42，20，18，48，24（21，54，45，10）②15，75，60，45，27（50，70，30，9）③42，126，168，63，882（27，210，33，25）解：①中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。②15、75、60、45都是15的整數(shù)倍數(shù)，而27不是，用30來替換27。③同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而63卻不是.因此，用210來代替63。習(xí)題六按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1.1，2，3，4，5，（），7…2.100，95，90，85，80，（），703.1，2，4，8，16，（），645.2，1，3，4，7，（），18，29，476.1，2，5，10，17，（），37，507.1，8，27，64，125，（），3438.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5習(xí)題六解