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2025屆河北省唐山市豐潤(rùn)區(qū)數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每題4分,共48分)1.如圖,在RtΔABC中∠C=90°,AC=6,BC=8,則sin∠A的值()A. B. C. D.2.根據(jù)阿里巴巴公布的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù),截至年月日時(shí),天貓雙全球狂歡節(jié)總交易額約億元,用科學(xué)記數(shù)法表示為()A. B. C. D.3.對(duì)于反比例函數(shù),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.它的圖像在第一、三象限B.它的函數(shù)值隨的增大而減小C.點(diǎn)為圖像上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn).的面積是.D.若點(diǎn)和點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上,則4.將一元二次方程化成一般式后,二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為()A.4,3 B.4,7 C.4,-3 D.5.下列方程是一元二次方程的是()A.2x﹣3y+1 B.3x+y=z C.x2﹣5x=1 D.x2﹣+2=06.若,下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.以上結(jié)論均不正確7.已知反比例函數(shù),下列結(jié)論中不正確的是.()A.圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-2) B.圖象位于第二、四象限C.若,則 D.在每一個(gè)象限內(nèi),隨值的增大而增大8.27的立方根是()A.±3 B.±3 C.3 D.39.如圖所示,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠C=45°.AB=4,則⊙O的半徑為()A. B.4C. D.510.如圖,二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),與y軸的交點(diǎn)B在(0,1)與(0,3)之間(不包括這兩點(diǎn)),對(duì)稱軸為直線x=1.下列結(jié)論:abc<0;②9a+3b+c>0;③若點(diǎn)M(,y1),點(diǎn)N(,y1)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1<y1;④﹣<a<﹣.其中正確結(jié)論有()A.1個(gè) B.1個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)11.150°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是5πcm,則此弧所在圓的半徑是()A.1.5cm B.3cm C.6cm D.12cm12.二次函數(shù)的圖像如圖所示,下面結(jié)論:①;②;③函數(shù)的最小值為;④當(dāng)時(shí),;⑤當(dāng)時(shí),(、分別是、對(duì)應(yīng)的函數(shù)值).正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題(每題4分,共24分)13.如圖,矩形中,邊長(zhǎng),兩條對(duì)角線相交所成的銳角為,是邊的中點(diǎn),是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值是_______.14.如圖,中,,,,將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處,此時(shí)線段與的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn),則的面積為_(kāi)_____.15.如圖,⊙M的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為(6,8),點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn),PA⊥PB,且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,則AB的最小值為_(kāi)___.16.如圖,邊長(zhǎng)為4的正六邊形內(nèi)接于,則的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____________.17.函數(shù)是關(guān)于反比例函數(shù),則它的圖象不經(jīng)過(guò)______的象限.18.如圖,如果一只螞蟻從圓錐底面上的點(diǎn)B出發(fā),沿表面爬到母線AC的中點(diǎn)D處,則最短路線長(zhǎng)為_(kāi)____.三、解答題(共78分)19.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中(如圖),已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與軸交于點(diǎn),,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn),對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn),如果,求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,點(diǎn)是位于軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn),如果是以為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).20.(8分)正面標(biāo)有數(shù)字,,3,4背面完全相同的4張卡片,洗勻后背面向上放置在桌面上.甲同學(xué)抽取一張卡片,正面的數(shù)字記為a,然后將卡片背面向上放回桌面,洗勻后,乙同學(xué)再抽取一張卡片,正面的數(shù)字記為b.(1)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法把所有結(jié)果表示出來(lái);(2)求出點(diǎn)在函數(shù)圖象上的概率.21.(8分)如圖,點(diǎn)P在直線y=x-1上,設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線y=x2于A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn),當(dāng)滿足PA=PB時(shí),稱點(diǎn)P為“優(yōu)點(diǎn)”.(1)當(dāng)a+b=0時(shí),求“優(yōu)點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo);(2)若“優(yōu)點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)為3,求式子18a-9b的值;(3)小安演算發(fā)現(xiàn):直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”,請(qǐng)判斷小安發(fā)現(xiàn)是否正確?如果正確,說(shuō)明理由;如果不正確,舉出反例.22.(10分)如圖,在中,,正方形的頂點(diǎn)分別在邊、上,在邊上.(1)點(diǎn)到的距離為_(kāi)________.(2)求的長(zhǎng).23.(10分)如圖,已知二次函數(shù)y=ax1+4ax+c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C.一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)D(0,﹣3),與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E,且AD:DE=3:1.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;(1)若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn),求MD+MA的最小值.24.(10分)如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱.AB=6m,某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC=4m(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影.(2)在測(cè)量AB的投影時(shí),同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為9m,請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng).25.(12分)綜合與實(shí)踐背景閱讀:旋轉(zhuǎn)就是將圖形上的每一點(diǎn)在平面內(nèi)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng),其中“旋”是過(guò)程,“轉(zhuǎn)”是結(jié)果.旋轉(zhuǎn)作為圖形變換的一種,具備圖形旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等:對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角:旋轉(zhuǎn)前、后的圖形是全等圖形等性質(zhì).所以充分運(yùn)用這些性質(zhì)是在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的關(guān)?。畬?shí)踐操作:如圖1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=12,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),連接DE,將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.問(wèn)題解決:(1)①當(dāng)α=0°時(shí),=;②當(dāng)α=180°時(shí),=.(2)試判斷:當(dāng)0°≤a<360°時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.問(wèn)題再探:(3)當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí),求得線段BD的長(zhǎng)為.26.如圖1,為等腰三角形,是底邊的中點(diǎn),腰與相切于點(diǎn),底交于點(diǎn),.(1)求證:是的切線;(2)如圖2,連接,交于點(diǎn),點(diǎn)是弧的中點(diǎn),若,,求的半徑.
參考答案一、選擇題(每題4分,共48分)1、B【分析】由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)度,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義式求得sin∠A的值.【詳解】∵AC=6,BC=8,∴AB==,∴sin∠A=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用,根據(jù)求得的直角三角形的邊長(zhǎng)利用銳角三角函數(shù)的定義求值是解題關(guān)鍵.2、A【解析】根據(jù)科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法即可得出答案.【詳解】根據(jù)科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法可得:2135應(yīng)該表示為2.135×103,故答案選擇A.【點(diǎn)睛】本題考查的是科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方式:(,n為正整數(shù)).3、B【分析】對(duì)反比例函數(shù)化簡(jiǎn)得,所以k=>0,當(dāng)k>0時(shí),雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小,根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】解:A、∵k=>0,∴它的圖象分布在第一、三象限,故本選項(xiàng)正確;B、∵它的圖象分布在第一、三象限,∴在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、∵k=,根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義可得的面積為=,故本選項(xiàng)正確;D、∵它的圖象分布在第一、三象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小,∵x1=﹣1<0,x2=﹣<0,且x1>x2,∴,故本選項(xiàng)正確.故選:B.【點(diǎn)睛】題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì),熟知反比例函數(shù)y=(k≠0)中,當(dāng)k>0時(shí)函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一三象限是解答此題的關(guān)鍵.4、C【分析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a≠0)特別要注意a≠0的條件.這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).在一般形式中ax2叫二次項(xiàng),bx叫一次項(xiàng),c是常數(shù)項(xiàng).其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng).【詳解】解:化成一元二次方程一般形式是4x2-1x+7=0,則它的二次項(xiàng)系數(shù)是4,一次項(xiàng)系數(shù)是-1.
故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式,關(guān)鍵把握要確定一次項(xiàng)系數(shù),首先要把方程化成一般形式.5、C【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件:(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為1.逐一判斷即可.【詳解】解:A、它不是方程,故此選項(xiàng)不符合題意;B、該方程是三元一次方程,故此選項(xiàng)不符合題意;C、是一元二次方程,故此選項(xiàng)符合題意;D、該方程不是整式方程,故此選項(xiàng)不符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程定義,一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件:(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為1.6、B【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系,得出.【詳解】∵,∴,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,掌握互為余角的正余弦關(guān)系:一個(gè)角的正弦值等于另一個(gè)銳角的余角的余弦值則這兩個(gè)銳角互余.7、C【分析】A.將x=3代入反比例函數(shù),根據(jù)所求得的y值即可判斷;B.根據(jù)反比例函數(shù)的k值的正負(fù)即可判斷;C.結(jié)合反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷;D.根據(jù)反比例函數(shù)的k值的正負(fù)即可判斷.【詳解】解:A.當(dāng)x=3時(shí),,故函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-2),A選項(xiàng)正確;B.由反比例函數(shù)的系數(shù)k=-6<0,得到反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限,本選項(xiàng)正確;C.由反比例函數(shù)圖象可知:當(dāng),則,故本選項(xiàng)不正確;D.由反比例函數(shù)的系數(shù)k=-6<0,得到反比例函數(shù)圖象在各自象限y隨x的增大而增大,故本選項(xiàng)正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)(k≠0),當(dāng)k>0時(shí),圖象位于第一、三象限,且在每一個(gè)象限,y隨x的增大而減??;當(dāng)k<0時(shí),圖象位于第二、四象限,且在每一個(gè)象限,y隨x的增大而增大.在做本題的時(shí)候可根據(jù)k值畫(huà)出函數(shù)的大致圖,結(jié)合圖象進(jìn)行分析.8、C【分析】由題意根據(jù)如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,那么x是a的立方根,據(jù)此定義進(jìn)行分析求解即可.【詳解】解:∵1的立方等于27,∴27的立方根等于1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求一個(gè)數(shù)的立方根,解題時(shí)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方.由開(kāi)立方和立方是互逆運(yùn)算,用立方的方法求這個(gè)數(shù)的立方根.注意一個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相同.9、A【解析】試題解析:連接OA,OB.∴在中,故選A.點(diǎn)睛:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.10、D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.【詳解】①由開(kāi)口可知:a<0,∴對(duì)稱軸x=?>0,∴b>0,由拋物線與y軸的交點(diǎn)可知:c>0,∴abc<0,故①正確;②∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),對(duì)稱軸為x=1,∴拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為(5,0),∴x=3時(shí),y>0,∴9a+3b+c>0,故②正確;③由于<1<,且(,y1)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(,y1),∵<,∴y1<y1,故③正確,④∵?=1,∴b=-4a,∵x=-1,y=0,∴a-b+c=0,∴c=-5a,∵1<c<3,∴1<-5a<3,∴-<a<-,故④正確故選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圖象與系數(shù)的關(guān)系,本題屬于中等題型.11、C【分析】根據(jù)150°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是5πcm,代入弧長(zhǎng)公式即可得到此弧所在圓的半徑.【詳解】設(shè)此弧所在圓的半徑為rcm,∵150°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是5πcm,∴,解得,r=6,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算,熟知弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.12、C【分析】由拋物線開(kāi)口方向可得到a>0;由拋物線過(guò)原點(diǎn)得c=0;根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可得到函數(shù)的最小值為-3;根據(jù)當(dāng)x<0時(shí),拋物線都在x軸上方,可得y>0;由圖示知:0<x<2,y隨x的增大而減??;【詳解】解:①由函數(shù)圖象開(kāi)口向上可知,,故此選項(xiàng)正確;②由函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)在可知,,故此選項(xiàng)正確;③由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在可知,函數(shù)的最小值為,故此選項(xiàng)正確;④因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為,與軸的一個(gè)交點(diǎn)為,則與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為,所以當(dāng)時(shí),,故此選項(xiàng)正確;⑤由圖像可知,當(dāng)時(shí),隨著的值增大而減小,所以當(dāng)時(shí),,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;其中正確信息的有①②③④.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線,當(dāng)a>0,拋物線開(kāi)口向上;對(duì)稱軸為直線x=,;拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);當(dāng)b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0,拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).二、填空題(每題4分,共24分)13、【分析】根據(jù)對(duì)稱性,作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′M與AC的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P,再求直角三角形中30的臨邊即可.【詳解】如圖,作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′M,交AC于點(diǎn)P,∴PB′=PB,此時(shí)PB+PM最小,∵矩形ABCD中,兩條對(duì)角線相交所成的銳角為60,∴△ABP是等邊三角形,∴∠ABP=60,∴∠B′=∠B′BP=30,∵∠DBC=30,∴∠BMB′=90,在Rt△BB′M中,BM=4,∠B′=30°,∴BB’=2BM=8∴B′M=,∴PM+PB′=PM+PB=B′M=4.故答案為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵是作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′.14、【分析】A1B1與OA相交于點(diǎn)E,作B1H⊥OB于點(diǎn)H,如圖,利用勾股定理得到AB=1,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OD=AD=DB,則∠1=∠A,接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠3=∠2,A1B1=AB=1,OB1=OB=8,OA1=OA=2,易得∠2+∠1=90°,所以∠OEB1=90°,于是可利用面積法計(jì)算出OE,再由四邊形OEB1H為矩形得到B1H=OE,根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論.【詳解】A1B1與OA相交于點(diǎn)E,作B1H⊥OB于點(diǎn)H,如圖,∵∠AOB=90°,AO=2,BO=8,∴AB1.∵D為AB的中點(diǎn),∴OD=AD=DB,∴∠1=∠A.∵△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1OB1,∴∠3=∠2,A1B1=AB=1,OB1=OB=8,OA1=OA=2.∵∠3+∠A=90°,∴∠2+∠1=90°,∴∠OEB1=90°.∵OE?A1B1OB1?OA1,∴OE.∵∠B1EO=∠EOB=∠OHB1=90°,∴四邊形OEB1H為矩形,∴B1H=OE,∴的面積===.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì).15、1【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值,則PO需取得最小值,連接OM,交⊙M于點(diǎn)P′,當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí),OP′取得最小值,據(jù)此求解可得.【詳解】解:連接OP,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵AO=BO,
∴AB=2PO,
若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值,
連接OM,交⊙M于點(diǎn)P′,當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí),OP′取得最小值,
過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,
則OQ=6、MQ=8,
∴OM=10,
又∵M(jìn)P′=4,
∴OP′=6,
∴AB=2OP′=1,
故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置.16、【分析】解:如圖,連接OA、OB,易得△AOB是等邊三角形,從而可得OA=AB=4,再過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M,則∠OAM=30°,AM=ME,然后解直角△AOM求得AM的長(zhǎng),進(jìn)而可得答案.【詳解】解:如圖,連接OA、OB,則∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB是等邊三角形,∴OA=AB=4,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M,則∠OAM=30°,AM=ME,在直角△AOM中,,∴AE=2AM=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓,作輔助線構(gòu)造直角三角形、利用解直角三角形的知識(shí)求解是解題關(guān)鍵.17、第一、三象限【解析】試題解析:函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù),解得:比例系數(shù)它的圖象在第二、四象限,不經(jīng)過(guò)第一、三象限.故答案為第一、三象限.18、3.【分析】將圓錐側(cè)面展開(kāi),根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”和勾股定理,即可求得螞蟻的最短路線長(zhǎng).【詳解】如圖將圓錐側(cè)面展開(kāi),得到扇形ABB′,則線段BF為所求的最短路線.設(shè)∠BAB′=n°.∵,∴n=120,即∠BAB′=120°.∵E為弧BB′中點(diǎn),∴∠AFB=90°,∠BAF=60°,Rt△AFB中,∠ABF=30°,AB=6∴AF=3,BF==3,∴最短路線長(zhǎng)為3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查“化曲面為平面”求最短路徑問(wèn)題,屬中檔題.三、解答題(共78分)19、(1),;(2);(3)或【分析】(1)將點(diǎn)A、B代入拋物線,即可求出拋物線解析式,再化為頂點(diǎn)式即可;
(2)如圖1,連接AB,交對(duì)稱軸于點(diǎn)N,則N(-,-2),利用相等角的正切值相等即可求出EH的長(zhǎng),OE的長(zhǎng),可寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)分∠EAP=90°和∠AEP=90°兩種情況討論,通過(guò)相似的性質(zhì),用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),可分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】解:(1)(1)將點(diǎn)A(-3,-2)、B(0,-2)代入拋物線,
得,,
解得,a=,c=-2,
∴y=x2+4x-2
=(x+)2-5,
∴拋物線解析式為y=x2+4x-2,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,-5);(2)如圖1,連接AB,交對(duì)稱軸于點(diǎn)N,則N(-,-2),,則,過(guò)作,,則,∵OH=3,∴OE=1,∴(3)①如圖2,當(dāng)∠EAP=90°時(shí),
∵∠HEA+∠HAE=90,∠HAE+∠MAP=90°,
∴∠HEA=∠MAP,
又∠AHE=∠PMA=90°,,則,設(shè),則將代入得(舍),,∴②如圖3,當(dāng)∠AEP=90°時(shí),∵∠EAG+∠AEG=90°,∠AEG+∠PEN=90°,
∴∠AEG=∠EPN,
又∵∠N=∠G=90°,∴,則設(shè),則將代入得,(舍),∴綜上所述:,【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式,銳角三角函數(shù),直角三角形的存在性等,解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造相似三角形,并注意分類討論思想的運(yùn)用.20、(1)共有16種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果;(2)(點(diǎn)在函數(shù)的圖象上)=【分析】(1)列出圖表,圖見(jiàn)詳解,(2)找出在上的點(diǎn)的個(gè)數(shù),即可求出概率.【詳解】(1)解:列表如下:∴共有16種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果(2)點(diǎn),,,在函數(shù)的圖象上∴(點(diǎn)在函數(shù)的圖象上)==【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法求概率,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉概率的實(shí)際應(yīng)用是解題關(guān)鍵.21、(1)點(diǎn)橫坐標(biāo)為;(2)27;(3)正確,理由見(jiàn)解析.【分析】(1)先判斷點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱得到PA∥x軸,所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a2,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a2+1,則利用PA=AB得到a2+1-a=a-(-a),然后求出a得到優(yōu)點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo);
(2)由于A點(diǎn)為PB的中點(diǎn),根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到a=,即2a-b=3,然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值;(3)設(shè)P(x,x-1),利用A點(diǎn)為PB的中點(diǎn)得到a=,a2=,消去a得到方程x2+2(b-1)x+1-b2=0,然后通過(guò)證明此方程一定有解判斷直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”.【詳解】(1)∵,∴點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱,∴軸,∵,∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵軸,∴,解得,∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為;(2)∵點(diǎn)在直線上,∴點(diǎn)坐標(biāo)為,∵,∴,∴,∴;(3)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)時(shí),分析出點(diǎn)的坐標(biāo)為,把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中,,整理,得,∵,∴對(duì)于任意,總有x使得PA=AB,∴直線上的點(diǎn)均為優(yōu)點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題:熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì);記住線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式;理解判別式的意義.22、(1);(2)【分析】(1)根據(jù)勾股定理即可得出BC=8,再運(yùn)用等面積法,即可得出答案.(2)根據(jù)正方形的性質(zhì),即可得出,再根據(jù)相似三角形的判定可得出,進(jìn)而得出,設(shè)x得出方程進(jìn)行求解即可.【詳解】解:(1)∵∴BC=8∴==24∴∴點(diǎn)C到AB的距離是.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),∵四邊形是正方形,∴,∴,∴,∴.設(shè),則,解得∴的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考察了勾股定理和相似三角形,正確找出三角形的線段關(guān)系和靈活運(yùn)用等面積法是解題的關(guān)鍵.23、(1);(1).【分析】(1)先把D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x+b中求得b,則一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣3,于是可確定A(﹣6,0),作EF⊥x軸于F,如圖,利用平行線分線段成比例求出OF=4,接著利用一次函數(shù)解析式確定E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣5),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;(1)作MH⊥AD于H,作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,如圖,則D′(0,3),利用勾股定理得到AD=3,再證明Rt△AMH∽R(shí)t△ADO,利用相似比得到MH=AM,加上MD=MD′,MD+MA=MD′+MH,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí),MD+MA的值最小,然后證明Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA,利用相似比求出D′H即可.【詳解】解:(1)把D(0,﹣3)代入y=﹣x+b得b=﹣3,∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣3,當(dāng)y=0時(shí),﹣x﹣3=0,解得x=﹣6,則A(﹣6,0),作EF⊥x軸于F,如圖,∵OD∥EF,∴==,∴OF=OA=4,∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,當(dāng)x=4時(shí),y=﹣x﹣3=﹣5,∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣5),把A(﹣6,0),E(4,﹣5)代入y=ax1+4ax+c得,解得,∴拋物線解析式為;(1)作MH⊥AD于H,作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,如圖,則D′(0,3),在Rt△OAD中,AD==3,∵∠MAH=∠DAO,∴Rt△AMH∽R(shí)t△ADO,∴=,即=,∴MH=AM,∵M(jìn)D=MD′,∴MD+MA=MD′+MH,當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí),MD+MA=MD′+MH=D′H,此時(shí)MD+MA的值最小,∵∠D′DH=∠ADO,∴Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA,∴=,即=,解得D′H=,∴MD+MA的最小值為.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合,解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合能力.24、(1)見(jiàn)解析;(2)13.5m.【分析】(1)直接利用平行投影的性質(zhì)得出答案;(2)利用同一時(shí)刻實(shí)際物體的影子與物體的高度比值相同進(jìn)而得出答案.【詳解】解:(1)如圖所示:EF即為所求;(2)∵AB=6m,某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC=4m,DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為9m,∴=,解得:DE=13.5m,答:DE的長(zhǎng)為13.5m.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),解題法的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì).25、(1)①,②;(2)無(wú)變化,證明見(jiàn)解析;(2)
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