2023-2024學(xué)年山東省菏澤市高一下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年山東省菏澤市高一下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2+i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.32 B.?32 C.32.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,?1)，則|ACA.2 B.3 C.2 D.3.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法不正確的是(

)

A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15

B.這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為31

C.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差

D.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為294.已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是(

)A.若a⊥c，b⊥c，則a/?/b

B.若a/?/b，a/?/α，則b//α

C.若a/?/α，b//α，c⊥a，且c⊥b，則c⊥α

D.若β⊥α，γ⊥α，且β∩γ=a，則a⊥α5.已知向量|a|=1，|b|=2，且a與b的夾角為45°，則b在A.22a B.2a 6.某商場開展20周年店慶購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)(100%中獎(jiǎng))，活動(dòng)方式是在電腦上設(shè)置一個(gè)包含1，2，3，4，5，6的6個(gè)數(shù)字編號(hào)的滾動(dòng)盤，隨機(jī)按下啟動(dòng)鍵后，滾動(dòng)盤上的數(shù)字開始滾動(dòng)，當(dāng)停止時(shí)滾動(dòng)盤上出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字，若該數(shù)字是大于5的數(shù)，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為150元;若該數(shù)字是小于4的奇數(shù)，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為100元;若該數(shù)字出現(xiàn)其它情況，則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為50元.現(xiàn)某顧客依次操作兩次，則該顧客獎(jiǎng)金之和為200元的概率為(

)A.536 B.518 C.297.建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺(如圖所示)，因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺(tái)O1O2，已知該圓臺(tái)的上、下底面積分別為16πcm2和9πcm2，高超過1cm，該圓臺(tái)上、下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球O的表面上，且球O的表面積為A.80πcm3 B.259π3cm38.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB上的點(diǎn)，CD平分∠ACB，且CD=1，csinA+3acosA.1 B.3 C.2 D.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,x)，則A.當(dāng)x=2時(shí)，a+b=(?1,4)

B.若a/?/b，則x=?1

C.若a⊥b，則x=1

10.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1，2;紅球有兩個(gè)，編號(hào)為3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“取出的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，則(

)A.A與D相互獨(dú)立 B.A與B相互獨(dú)立 C.B與D相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，DF⊥平面DA.FD1=FC B.三棱錐C?DED1的體積為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若虛數(shù)3?i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一個(gè)根，則m=

13.已知圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為

．14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c2=2a2?2b2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且bcos(1)證明：a+b=2c．(2)若a=6，cosC=916，求16.(本小題12分)近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營銷形式.某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖?①所示.為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．(1)應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家?(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時(shí)，工作人員對抽取的80個(gè)商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)(單位：元)，所得頻率直方圖如圖?②所示．(ⅰ)估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤的75百分位數(shù)與平均數(shù)(求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值為代表);(ⅱ)若將平均日利潤超過480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù)．17.(本小題12分)已知盒中有大小、質(zhì)地相同的

紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是34，得到黃球或藍(lán)球的概率是1(1)求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；(2)隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．(i)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω；(ii)設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個(gè)游戲是否公平，請說明理由．18.(本小題12分)

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF/?/AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

(Ⅰ)求證：NC//平面MFD；

(Ⅱ)若EC=3，求證：ND⊥FC；

(Ⅲ)求四面體NFEC體積的最大值．19.(本小題12分)“費(fèi)馬點(diǎn)”是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cos2B+(1)求A;(2)若bc=2，求PA(3)設(shè)|PB|+|PC|=t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．

答案解析1.A

【解析】解：∵1?i∴z=2+i則復(fù)數(shù)z的虛部為322.A

【解析】解：根據(jù)題意可得AC=AB+BC=(0,?1)+(2,1)=(2,0)，

故|3.C

【解析】解：A選項(xiàng)，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10年的糧食年產(chǎn)量極差為40?25=15，故A正確；B選項(xiàng)，這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為28+28+27+26+33+36+40+37+25+3010=31，故C選項(xiàng)，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動(dòng)小于后5年的糧食產(chǎn)量波動(dòng)，所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故C錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，從小到大，選取第5個(gè)和第6個(gè)的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為28+302=29，故故選：C．4.D

【解析】解：對于A，若a⊥c，b⊥c，則a、b可能平行，可能異面，可能相交，故A錯(cuò)誤；

對于B，若a/?/b，a/?/α，則b/?/α或b?α，故B錯(cuò)誤；

對于C，以長方體ABCD?A′B′C′D′為例，AB/?/平面A′B′C′D′，CD/?/平面A′B′C′D′，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC與平面A′B′C′D′不垂直，故C錯(cuò)誤；

對于D，設(shè)α∩β=b，α∩γ=c，

在β內(nèi)取直線e⊥b，在γ內(nèi)取直線f⊥c，

由α⊥β，α∩β=b，e⊥b，e?β，可得e⊥α，

同理可得f⊥α，故e//f，

又e?γ，f?γ，故e//γ，

又e?β，β∩γ=a，

故e//a，故a⊥α，故D正確．

故選D．5.B

【解析】解：∵|a|=1，|b|=2，，

a與

b的夾角為

45?°，

∴b6.B

【解析】解：由題意得，抽獎(jiǎng)兩次滾動(dòng)盤上出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字的情況為：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，?，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種情況，

兩次抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)金之和為200元包括三種情況：

?①第一次與第二次都中二等獎(jiǎng)，其包含的情況為(1,3)，(3,1)，(1,1)，(3,3)，概率為P1=436=19;

?②第一次中一等獎(jiǎng)，第二次中三等獎(jiǎng)，其包含的情況為(6,5)，(6,4)，(6,2)，概率為P2=336=112;

?③第一次中三等獎(jiǎng)，第二次中一等獎(jiǎng)，其包含的情況為(5,6)，7.B

【解析】解：由題意作出圓臺(tái)的軸截面，跟外面的球的截面圓得到等腰梯形與圓外接，且兩底在圓心兩側(cè)(同側(cè)不滿足高超過1cm)

其中O為球心，O1和O2分別為圓臺(tái)的兩個(gè)底面圓圓心，

由題意易得O1D=4，O2C=3，OD=OC=5，

由勾股定理可得O1O=3，O2O=4.可得圓臺(tái)的高?=8.B

【解析】解：

∵csinA+3acosC=0，

∴由正弦定理可得sinCsinA+3sinAcosC=0，

因?yàn)閟inA≠0，所以sinC+3cosC=0，

可得tanC=sinCcosC=??3，

由0<C<π可得C=

2π3，

∴

∠ACD=

∠BCD=

π3．

∵

S△ACB=

S△ACD+

S△BCD，

∴

12ab

sin2π3=

19.ACD

【解析】解：對于A、當(dāng)x=2時(shí)，b=(?2,2)，則a+b=(?1,4)，故A正確；

對于B、若a/?/b，則1×x=?2×2，則x=?4，故B錯(cuò)誤；

對于C、若a⊥b，則a→·b→=?2+2x=0，則x=1，故C正確；

對于D、若a與b的夾角為鈍角，則a10.BCD

【解析】解：不放回依次取出兩個(gè)，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12種，事件A=“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B=“12,13,14,21,23,24”；事件C=“12,21,31,41,32,42”；事件D=“12,21,34,43”.事件AD=?，事件AB=“13,14,23,24”，事件BD=“12,21,”，事件AC=“31,41,32,42”，則PA=812=PAD=0，PAB=4所以PAD≠PAPDPAB=PAPBPBD=PBPDPAC=PAPC故選：BCD11.ABD

【解析】解：對A選項(xiàng)，易知Rt△DFD1≌Rt△DFC，∴FD1=FC，∴A選項(xiàng)正確；

對B選項(xiàng)，∵△CDE的面積為定值，且D1到平面CDE的距離也為定值，

∴三棱錐C?DED1的體積為定值，∴B選項(xiàng)正確；

對C選項(xiàng)，易知AC/?/A1C1且△A1C1B為等邊三角形，

∴BC1與AC所成的角為60°，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤．

對D選項(xiàng)，∵AE⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A112.?12

【解析】解：將3?i代入方程2x2+mx+n=0，

可得2(3?i)2+(3?i)m+n=0，

化簡可得3m+n+16?(12+m)i=0，

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得3m+n+16=012+m=013.2【解析】解：半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，

則圓錐的母線長為R，

設(shè)圓錐的底面半徑為r，

則2πr=πR，

即r=R2，

∵r=3，

∴R=2314.π6【解析】解：因?yàn)閏2=2a2?2b2，

所以由正弦定理得sin2C=2sin2A?2sin2B=2×1?cos2A2?2×1?cos2B2=cos2B?cos2A=cos(B+A+B?A)?cos[B+A?(B?A)]=?2sin(B+A)sin(B?A)，

可得sin2C=?2sinCsin(B?A)，

因?yàn)閟inC≠0，可得sinC=?2sin(B?A)，

可得sinC=?2sinBcosA+2sinAcosB，

即sin(A+B)=?2sinBcosA+2sinAcosB，

所以sinAcosB+sinBcosA=?2sinBcosA+2sinAcosB，

可得3sinBcosA=sinAcosB，即3bcosA=acosB，

又c2=2a2?2b2>0，

所以a>b，則A>B，

所以B∈(0,π2)15.解：(1)證明：因?yàn)閎(cos?C+1)=c(2?cos?B)，整理得sin?Bcos?C+sin因?yàn)锳+B+C=π，所以sinA=由正弦定理可得a+b=2c．(2)因?yàn)閏osC=916，

由余弦定理可得，

c2=a2+則4c因?yàn)閍=6，所以6+b=2c，

所以36+12b+b則144+4b2?27b=36+12b+b2解得b=4或b=9，當(dāng)b=4時(shí)，a=6，

此時(shí)?ABC的面積

S=1當(dāng)b=9時(shí)，a=6，

此時(shí)?ABC的面積

S=1所以?ABC的面積為1574【解析】(1)利用正弦定理及正弦的和角公式計(jì)算即可；(2)利用余弦定理及(1)的結(jié)論，三角形面積公式計(jì)算即可．16.解：(1)小吃類所占百分比為1?30%?15%?10%?5%?5%=35%

應(yīng)抽取小吃類80×35%=28家，

應(yīng)抽取生鮮類80×15%=12家，

答：所以應(yīng)抽取小吃類28家，生鮮類12家．

(2)(i)根據(jù)題意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1，解得a=0.004，

設(shè)75百分位數(shù)為x，因?yàn)?0.002+0.004+0.006)×50=0.6，

(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8，

所以(x?450)×0.004+0.6=0.75，解得x=487.5，

所以75百分位數(shù)x應(yīng)該在450與500之間，

(x?450)×0.004+0.6=0.75，解得487.5，

該直播平臺(tái)商家平均日利的中位數(shù)為487.5元．

平均數(shù)為(325×0.002+375×0.004+425×0.006+475×0.004+525×0.002+575×0.002)×50=440，

所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤的平均數(shù)為440元．

(ⅱ)(500?48050×0.004+0.002+0.002)×50×1000=280

所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為【解析】(1)根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；

(ii)根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可．17.解：(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录?/p>

A,B,C

，因?yàn)?/p>

A,B,C

為兩兩互斥事件，由已知得

P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是

2,1,1

；(2)(i)由(1)知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，

用1，2表示紅球，用

a

表示黃球，用

b

表示藍(lán)球，

m

表示第一次取出的球，

n

表示第二次取出的球，

(m,n)

表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間

Ω={(1,1),(1,2),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,a),(2,b),(a,1),(a,2),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,a),(b,b)}

．(ii)由(i)得

n(Ω)=16

，記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件

M

，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件

N

，則

n(M)=6

，所以

P(M)=6所以

P(N)=1?P(M)=1?3因?yàn)?/p>

58>【解析】(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录?/p>

A,B,C

，根據(jù)

A,B,C

為兩兩互斥事件，由

P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=3(2)(i)根據(jù)紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用

a

表示黃球，用

b

表示藍(lán)球，

m

表示第一次取出的球，

n

表示第二次取出的球，

(m,n)

表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，列舉出來；(ii)由(i)利用古典概型的概率求解．18.(Ⅰ)證明：因?yàn)樗倪呅蜯NEF，EFDC都是矩形，

所以MN//EF//CD，MN=EF=CD，

所以四邊形MNCD是平行四邊形，

所以NC//MD，

因?yàn)镹C?平面MFD，MD?平面MFD，

所以NC//平面MFD.

(Ⅱ)證明：連接ED，設(shè)ED∩FC=O，

因?yàn)槠矫鍹NEF⊥平面ECDF，平面MNEF∩平面ECDF=EF，且NE⊥EF，NE?平面NEFM，

所以NE⊥平面ECDF，

又因?yàn)镕C?平面ECDF，

所以FC⊥NE，

又矩形ECDF中，EC=CD，

所以矩形ECDF為正方形，

所以

FC⊥ED，

又因?yàn)镕C⊥NE，NE∩ED=E，NE?平面NED，ED?平面NED，

所以FC⊥平面NED，

又因?yàn)镹D?平面NED，

所以ND⊥FC.

(Ⅲ)解：設(shè)NE=x，則EC=4?x，其中0<x<4，

由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，

所以四面體NFEC的體積為：

VN?FEC=13S△EFC?NE=12x(4?x)，

所以VN?FEC≤【解析】(Ⅰ)先證明四邊形MNCD是平行四邊形，利用線面平行的