2023-2024學年福建省南平市高一下學期期末質量檢測數學試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年福建省南平市高一下學期期末質量檢測數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=52?i，則z在復平面內對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如圖，水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖為?A′B′C′，其中∠x′O′y′=45°，O′B′=O′C′=1A.2 B.7 C.3 3.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“至多有一枚硬幣正面朝上”，事件B=“兩枚硬幣正面均朝上”，事件C=“兩枚硬幣正面均朝下”，則(

)A.A與C對立 B.B與C不互斥 C.A與B對立 D.B與C對立4.已知向量a=1,1，b=0,t，若a⊥A.22 B.1 C.25.已知α，β為兩個不重合的平面，l，m為兩條不同的直線，(

)A.若l/?/m，m//α，則l/?/α B.若l⊥m，m⊥α，則l/?/α

C.若α∩β=m，l/?/m，則l/?/α D.若l?β，β//α，則l/?/α6.在?ABC中，BD=2DC，點E是線段AD的中點，則BE=A.?23AB+16AC B.7.如圖，在某座山的山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡從A向上走了600米到達B處，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高PQ=(

)

A.300米 B.3002米 C.3003米8.在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，A1B1=2，AA1=3，若球A.1216π B.412π C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某校統(tǒng)計100名學生體重，這些學生的體重數據(單位：kg)全部介于45至70之間，將數據整理得到如下所示的頻率分布直方圖，則(

)

A.頻率分布直方圖中a的值為0.08

B.這100名學生中體重不低于55kg的人數為60

C.這100名學生體重的第80百分位數為65

D.這100名學生體重的眾數小于平均數10.已知?ABC的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，(

)A.若sinA>sinB，則A>B

B.若?ABC是邊長為2的正三角形，則AB?BC=2

C.若acosA=bcosB，則?ABC是等腰三角形

D.若a=11.如圖，圓錐的頂點為S，底面圓心為O，AB為底面直徑，AB=12，SA=12，N是底面圓周上一點，∠AON=23π，M是線段SA上的動點，則(

)

A.圓錐SO的體積為2163π

B.當M是SA的中點時，線段MN在圓錐底面上的射影長為37

C.存在點M，使得MN⊥SA

D.直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=?3,4，b=2,2，則a在b的投影向量的坐標是13.從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的概率為

．14.如圖，在棱長為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1D1，C1D四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知復數z=a+bi(a,b∈R,a>0)，2+iz為純虛數，且z(1)求復數z；(2)若復數z是關于x的方程x2+mx+n=0的一個根，求實數m，n16.(本小題12分)現有3個北方城市A1，A2，A3和3個南方城市B1，B2(1)求甲選擇的2個城市均是北方城市的概率；(2)若旅游愛好者乙也計劃從這6個城市中選2個旅游，由于個人愛好，乙選擇的2個城市均是北方城市的概率為13，且甲、乙兩人的選擇互不影響，求甲、乙兩人中至少有一人的選擇為2個北方城市的概率．17.(本小題12分)已知?ABC的

三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且acos(1)求A；(2)若a=3，且?ABC的面積為31618.(本小題12分)如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點．現將?ADE沿DE折起，得到四棱錐A?BCDE．(1)證明：BF//平面ADE；(2)當?ACD為等邊三角形時，證明：平面AEF⊥平面BCDE；(3)在(2)的條件下，求二面角A?DE?C的余弦值．19.(本小題12分)某校高一年級有男生200人，女生100人．為了解該校全體高一學生的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取總樣本量為30的樣本，并觀測樣本的指標值(單位：cm)，計算得男生樣本的身高平均數為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數據：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163記抽取的第i個女生的身高為xii=1,2,3,???,10，樣本平均數x=160參考數據：15≈3.9，159(1)若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一女生身高在160,165范圍內的人數；(2)如果女生樣本數據在x?2s,(3)用總樣本的平均數和標準差分別估計該校高一學生總體身高的平均數μ和標準差σ，求的值μ，σ．

答案解析1.A

【解析】z=5對應點為2,1，則z在復平面內對應的點位于第一象限．故選：A．2.A

【解析】用斜二測畫法作出的直觀圖，還原為原圖形，如圖所示；在?ABC中，O′B′=O′C故選：A3.C

【解析】拋擲兩枚質地均勻的硬幣，其中朝上的情況共有Ω={正反，正正，反正，反反}共4種情況，其中事件A={正反，反正，反反}；事件B={正正}，事件C={反反}，對A，事件A為事件C可能同時發(fā)生，即反反這種情況，即事件A，C不對立，故A錯誤；對B，事件B與事件C顯然不可能同時發(fā)生，則它們?yōu)榛コ馐录蔅錯誤；對C，顯然事件A和事件B不可能同時發(fā)生，即它們互斥，且兩者構成了所有的發(fā)生情況，即事件A和事件B必有一個發(fā)生，則A與B對立，故C正確；對D，事件B與C互斥，但是不對立，比如可能發(fā)生正反或反正的情況，故D錯誤．故選：C．4.B

【解析】由題意可知，因為a=(1,1)，b所以a+2又因為a⊥(a+2即1×1+1×1+2t=0，解得所以|b故選：B．5.D

【解析】對于A，若l/?/m，m//α，則l/?/α或l?α，故A錯誤；對于B，若l⊥m，m⊥α，則l/?/α或l?α，故B錯誤；對于C，若α∩β=m，l/?/m，則l/?/α或l?α，故C錯誤；對于D，若l?β，β//α，由面面平行的性質定理可得l/?/α，故D正確．故選：D6.B

【解析】∵

E為線段AD的中點∴

BE→又BD→∴

BE→故選：B．7.B

【解析】如圖，過點B作BC⊥PQ于點C，由題意知，∠PAQ=30°，∠BAQ=15°，在?PAB中，∠PAB=15°，∠BPA=30而sin15∴PB=300∴PQ=PC+CQ=3006故選：B8.C

【解析】設棱臺上下底面的中心為N,M，連接D1則D1所以棱臺的高MN=設球半徑為R，根據正四棱臺的結構特征可知：球O與上底面A1B1C1設BC中點為E，連接OE,OM,ME，所以OE2=O所以球O的表面積為4πR故選：C9.BD

【解析】頻率分布直方圖的面積之和為1，(0.01+0.02+0.04+0.06+a)×5=1,解得a=0.07，故A錯；∵100×0.06+0.04+0.02×5=60，故因為0.01+0.07+0.06×5=0.7，0.01+0.07+0.06+0.04所以故第80百分位數為60+0.10.2×5=62.5眾數為52.5，平均數x=(47.5×0.01+52.5×0.07+57.5×0.06+62.5×0.04+67.5×0.02)×5=57.25，故D故選：BD．10.AD

【解析】對于A，因為sinA>sinBab=sinAsinB>1對于B，AB?BC=2×2×對于C，由正弦定理，得a=2RsinA，因為acos所以sinA所以sin2A=所以2A=2B，或2A+2B=π，所以A=B，或A+B=π所以?ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，如圖所示，AD=1因為a=3，所以BD=CD=在?ABC中，cosC=在?ACD中，cosC=所以b2化簡得b2因為b2+c所以2bc≤72，即所以bc的最大值為74，故D故選：AD．11.BCD

【解析】對于A，設圓錐的底面半徑為R=12AB=6圓錐的母線長為12，故?=故圓錐體積為v=13×π對于B，當M為AB中點時，設M在底面上的投影為H，則H為OA的中點，則HN為線段MN在底面的投影，OH=3，而∠NOH=120°,ON=6HN即HN=37，即線段MN在底面的投影長為3

對于C，作NT⊥AB于T，作TM1⊥SA于M由于SO⊥平面ABN，SO?平面SAB，所以平面SAB⊥底面ABN，平面SAB⊥底面BNE=AB，NT?底面ABN，NT⊥AB，故NT⊥平面SAB，SA?平面SAB，故NT⊥SA，又TM1⊥SA，TM1∩NT=T,TMM1N?平面NTM故當M與M1重合時，MN⊥AB，C對于D，由C的分析知，NT⊥平面SAB，而TN=6×直線MN與平面SAB所成角為∠NMT，則其正切值為tan∠NMT=當MTmin=M1T=故選：BCD12.12【解析】根據投影向量的定義可知，a在b上可投影向量為a?故答案為：113.310或0.3【解析】從5條線段中任取3條線段的基本事件有1,3,5,1,3,7,1,3,9,1,5,7,1,5,9,故答案為：314.9【解析】因為M，N分別為棱A1D1，C過點B作GH//AC交DA的延長線于點G，交DC的延長線于點H，連接GM交AA1于點E，連接NH交CC因為A1C1//AC，則A1故過點B，M，N平面截該正方體所得截面為五邊形BEMNF，由勾股定理得ME=MN=NF=32故五邊形BEMNF的周長為3×3故答案為：915.(1)因為z=a+bi(a,b∈R,a>0)，且2+iz=所以2a?b=0，且a+2b≠0，即b=2a，且2b≠?a，又z=5因為a>0，所以a=1，于是b=2，因此復數z=1+2i；(2)由(1)知z=1+2i，故z=1?2i是關于x的方程x所以由韋達定理得，z+z=?m,z?z=n，即因此實數m=?2，n=5．【解析】(1)由題意可得2a?b=0，且a+2b≠0，由z=5(2)由(1)知z=1+2i，從而可得z=1?2i是關于x的方程x16.(1)由題意知，從6個城市中任選2個，得到的樣本空間為Ω={A則n(Ω)=15，設事件A=“甲選擇的2個城市均是北方城市”，則A=A1,因此，P(A)=3(2)設事件C=“甲、乙兩人中至少有一人的選擇為2個北方城市”，事件A=“甲選擇的2個城市均是北方城市”，事件B=“乙選擇的2個城市均是北方城市”．則A=“甲選擇的2B=“乙選擇的2所以A與B，A與B，A與B，A與B都相互獨立，由已知條件及(1)可得，PA所以PC【解析】(1)根據古典概型概率公式即可求解；(2)根據對立事件公式及獨立性乘法公式即可求解．17.(1)由正弦定理可得sinA所以sinA即sinB因為0<B<π，所以sinB≠0所以3sinA?cosA?1=0又由0<A<π，可得?π故A?π6=(2)由已知可得，S=1可得4b2?4bc+c2又由余弦定理可得a2=聯(lián)立解得b=1,c=2，所以?ABC的周長為3+

【解析】(1)利用正弦定理邊化角，結合三角公式即可求解；(2)根據三角形的面積公式可得4b18.(1)在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，所以BE//FD，且BE=FD，故四邊形BEDF為平行四邊形，于是BF//ED.在四棱錐A?BCDE中，BF?平面ADE，ED?平面ADE，所以BF//平面ADE；(2)當?ACD為正三角形時，因為點F是CD的中點，所以AF⊥CD，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，故EF⊥CD又AF?EF=F，AF?平面AEF，EF?平面AEF，故CD⊥平面AEF，因為CD?平面BCDE，所以平面AEF⊥平面BCDE；(3)在四棱錐A?BCDE中，過點A作AO⊥EF于點O，過點O作OG⊥DE于點G，連接AG．在正方形ABCD中，令BC=a，則AE=a2，因為?ACD為等邊三角形，點F為CD的中點，所以AF=32a由(2)知，平面AEF⊥平面BCDE，平面AEF∩平面BCDE=EF,AO⊥EF，AO?平面AEF，故AO⊥平面BCDE，從而AO⊥DE．又OG⊥DE,AO∩OG=O,AO?平面AOG,OG?平面AOG，故DE⊥平面AOG，而AG?平面AOG，故DE⊥AG，所以∠AGO為二面角A?DE?C的平面角．在Rt?EAF中，AO=在Rt?DEF中，EF⊥DF,DE=因為OG⊥DE，所以OGOE=DF從而在Rt?AOG中，AG=故cos∠AGO=因此，二面角A?DE?C的的余弦值為1

【解析】(1)先證明BF//ED，再根據線面平行的判定定理即可證明；(2)先證明CD⊥平面AEF，再根據面面垂直的判定定理即可證明；(3)在四棱錐A?BCDE中，過點A作AO⊥EF于點O，過點O作OG⊥DE于點G，連接AG.從而可證AE⊥AF，進而得到DE⊥平面AOG，從而可得∠AGO為二面角A?DE?C的平面角，計算求解即可．19.(1)因為抽取的女生身高在[160,165]之內的頻率為410所以估計該校女生身高在[160,165]之內的人數為25(2)因為x?2s=152.2,