統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第七節(jié)函數(shù)的圖象學(xué)生用書(shū)

第七節(jié)函數(shù)的圖象最新考綱1．在實(shí)際情境中，會(huì)依據(jù)不同的須要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．2．會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和探討函數(shù)的性質(zhì)．考向預(yù)料考情分析：本節(jié)的?？键c(diǎn)有函數(shù)圖象的辨析、函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用及利用圖象解方程或不等式，其中函數(shù)圖象的辨析仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，屬中檔題．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備學(xué)問(wèn)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記2個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．描點(diǎn)法作圖的流程2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱(chēng)變換y＝f(x)的圖象與y＝______的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；y＝f(x)的圖象與y＝______的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；y＝f(x)的圖象與y＝______的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與y＝________(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．(3)伸縮變換(4)翻折變換二、必明3個(gè)常用結(jié)論1．記住幾個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱(chēng)．(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)隨意自變量x滿(mǎn)意：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)．2．圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，假如x的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來(lái)，再進(jìn)行變換．3．圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行．三、必練4類(lèi)基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到．()(2)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．()(3)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．()(4)若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)意f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)．()(二)教材改編2．[必修1·P35例5改編]函數(shù)f(x)＝x＋1xA．y軸對(duì)稱(chēng)B．x軸對(duì)稱(chēng)C．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)3．[必修1·P24習(xí)題A組T7改編]下列圖象是函數(shù)y＝x2(三)易錯(cuò)易混4．(記錯(cuò)變換規(guī)律出錯(cuò))把函數(shù)f(x)＝lnx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到的圖象的函數(shù)解析式是________．5．(忽視定義域及分段不清出錯(cuò))畫(huà)出函數(shù)y＝eln(四)走進(jìn)高考6．[2024·浙江卷]已知函數(shù)f(x)＝x2＋14，g(x)＝sinA.y＝f(x)＋g(x)－1B．y＝f(x)－g(x)－1C．y＝f(x)g(x)D．y＝g關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類(lèi)題通法考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象[基礎(chǔ)性]作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝(12)|x|(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.反思感悟函數(shù)圖象的3種常用畫(huà)法方法適用條件干脆法當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟識(shí)的基本函數(shù)時(shí)，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征找出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)干脆作出圖象．轉(zhuǎn)化法含有肯定值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉肯定值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫(huà)圖象．圖象變換法若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出，但要留意變換依次，對(duì)不能干脆找到熟識(shí)的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)留意平移變換的依次對(duì)變換單位及解析式的影響．考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)[基礎(chǔ)性、綜合性][例1](1)[2024·浙江卷]函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]的圖象大致為()(2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝cosC．f(x)＝xx-D．f(x)＝xcosx聽(tīng)課筆記：反思感悟1．抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；(3)從周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱(chēng)性．2．抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特別值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·重慶診斷]函數(shù)f(x)＝xcosx-π2.[2024·開(kāi)封市第一次模擬考試]某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()A．f(x)＝(ex－e－x)cosxB．f(x)＝(ex－e－x)|cosx|C．f(x)＝(ex＋e－x)cosxD．f(x)＝(ex＋e－x)sinx考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用[綜合性]角度1探討函數(shù)的性質(zhì)[例2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿x軸滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng))，點(diǎn)D恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)頂點(diǎn)B(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對(duì)函數(shù)y＝f(x)的推斷不正確的是()A．函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)B．對(duì)隨意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇0，22]D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[6，8]上單調(diào)遞增反思感悟利用函數(shù)的圖象探討函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或解析式易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象探討：(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；(2)從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；(3)從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．角度2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用[例3](1)若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，則faA．faa>fB．fcc>fC．fbb>fD．faa>f(2)[2024·北京卷]已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)>0的解集是()A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪C．(0，1)D．(－∞，0)∪角度3求參數(shù)的取值范圍[例4](1)已知函數(shù)f(x)＝2x，x≥2，x-13，x<2.若關(guān)于x的方程f((2)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．聽(tīng)課筆記：反思感悟利用函數(shù)的圖象探討不等式的基本思路當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系問(wèn)題或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合法求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于隨意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．2．已知奇函數(shù)f(x)在x≥0時(shí)的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集為_(kāi)_______．3．[2024·淄博模擬]關(guān)于函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||，下列描述不正確的有()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增B．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝4D．函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)微專(zhuān)題eq\o(○,\s\up1(10))破解抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性[例]下列說(shuō)法中，正確命題的個(gè)數(shù)為()①函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝0對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(－x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③假如函數(shù)y＝f(x)對(duì)于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)；④函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)．A．1B．2C．3D．4解析：對(duì)于①，把函數(shù)y＝f(x)中的y換成－y，x保持不變，得到的函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；對(duì)于②，把函數(shù)y＝f(x)中的x換成－x，y換成－y，得到的函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)于③，若對(duì)于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a+x+a-x2＝a對(duì)稱(chēng)；對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它們的圖象分別向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象，即y＝f(x－1)與y＝f(1－x答案：D名師點(diǎn)評(píng)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的常用結(jié)論(1)函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱(chēng)①f(－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱(chēng)?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；③若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a+b2(2)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系①函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a+b2對(duì)稱(chēng)；函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a②函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝b對(duì)稱(chēng)．[變式訓(xùn)練]已知下圖(1)中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x)，則下圖(2)中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四個(gè)式子中，可能是________(填序號(hào))．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．第七節(jié)函數(shù)的圖象積累必備學(xué)問(wèn)一、2．(1)f(x)－k(2)－f(x)f(－x)－f(－x)logax(4)|f(x)|f(|x|)三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪0，+∞且f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)答案：C3．解析：其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的部分組成．答案：C4．解析：依據(jù)伸縮變換方法可得，所求函數(shù)解析式為y＝ln12答案：y＝ln15．解析：y＝1，0<x<16．解析：y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sinx，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，解除A；y＝f(x)－g(x)－14＝x2－sinx，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，解除B；y＝f(x)g(x)＝x2則y′＝2xsinx＋x2+1當(dāng)x＝π4時(shí)，y′＝π2×答案：D提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一解析：(1)先作出y＝(12)x的圖象，保留y＝(12)x圖象中x≥0的部分，再作出y＝(12)x的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)部分，即得y＝(12)(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝x2-2x-1，x≥0，x考點(diǎn)二例1解析：(1)因?yàn)閒(x)＝xcosx＋sinx，則f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則C，D錯(cuò)誤．當(dāng)x＝π時(shí)，y＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，知B錯(cuò)誤；只有A滿(mǎn)意．(2)從圖象看，y＝f(x)應(yīng)為奇函數(shù)，解除C；又fπ2＝0，知f(x)＝x＋sinx對(duì)于B，f(x)＝cosxx，得f′(x)＝當(dāng)0<x<π2時(shí)，f′(x所以f(x)＝＝cosxx在只有f(x)＝xcosx滿(mǎn)意圖象的特征．答案：(1)A(2)D對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：依據(jù)題意，f(x)＝xcosx-π2＝xsinx，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．有f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，即函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，x>0，sinx>0，有f(x)>0，解除C.只有A適合．答案：A2．解析：當(dāng)x＝0時(shí)，C選項(xiàng)中f(0)＝2，不合題意，解除C.當(dāng)x＝π時(shí)，B選項(xiàng)中f(π)＝ex-1eπ×1>0，不合題意，解除答案：A考點(diǎn)三例2解析：由題意得，當(dāng)－4≤x＜－2時(shí)，點(diǎn)B的軌跡為以(－2，0)為圓心，2為半徑的14圓；當(dāng)－2≤x＜2時(shí)，點(diǎn)B的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，22為半徑的14圓；當(dāng)2≤x＜4時(shí)，點(diǎn)B的軌跡為以(2，0)為圓心，2為半徑的14圓，如圖所示；以后依次重復(fù)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)．由圖象可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)的周期為8，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正確；由圖象可知，f(x)的值域?yàn)閇0，22]，故C正確；由圖象可知，f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞增，因?yàn)閒答案：A例3解析：(1)由題意可得，faa，fbb，fcc分別看作函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)圖象上的點(diǎn)(a，f(a))，(b，f結(jié)合圖象可知，當(dāng)a>b>c>0時(shí)，faa<fb(2)函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝2x，y＝x＋1的圖象(圖略)，結(jié)合圖象易得2x>x＋1的解集為(－∞，0)∪1答案：(1)B(2)D例4解析：(1)畫(huà)出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出，若f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，也即函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍為(0，1)．(2)設(shè)y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.在同始終角坐標(biāo)系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示．由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，所以①y=-x2-3x，消去y得x2＋