2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第五章第5節(jié)錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和教師版

錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和學(xué)問與方法設(shè)是等差數(shù)列，是公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的常規(guī)求法是錯(cuò)位相減法，取巧可這樣做：設(shè)，則，其中，.推導(dǎo)過程請(qǐng)參考視頻，x、y的計(jì)算公式可不記，記住的形式，取和用待定系數(shù)法來(lái)算就可以了.典型例題【例題】已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】解法1：，，兩式作差得：，所以.解法2：由題意，，所以可設(shè)，又，，所以，解得：，故.【反思】上面的解法2不能作為正式作答的書寫方法，操作的時(shí)候可以草稿紙上這樣算，卷面上按解法1的格式來(lái)寫，詳情請(qǐng)參考本節(jié)視頻.變式已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解法1：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得：，即，明顯也滿意上式，所以.解法2：設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，兩式作差得：，故，留意到數(shù)列與僅首項(xiàng)不同，，，所以.強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）由題意，，故，當(dāng)時(shí)，，所以，故，從而是等比數(shù)列，所以.（2），所以兩式作差得：，所以.2.（★★★）已知數(shù)列和滿意，，，.（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）由題意，，所以，又，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，所以，故，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2.（2）由（1）知，，故，所以，兩式作差得：，所以.3．（★★★★）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解法1：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，兩式作差得：，即，明顯也滿意上式，故.解法2：設(shè)，的前n項(xiàng)和為，則兩式作差得：故，留意到與僅首項(xiàng)不同，，，故.4.（★★★★）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故，所以，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以其公比為3