2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第一章第6節(jié)抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論歸納教師版

抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論歸納學(xué)問與方法1.軸對(duì)稱：假如函數(shù)滿意，就有，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.記法：自變量關(guān)于a對(duì)稱，函數(shù)值相等.例如，表示關(guān)于對(duì)稱，表示關(guān)于對(duì)稱.2.中心對(duì)稱：若函數(shù)滿意，就有，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.記法：自變量關(guān)于a對(duì)稱，函數(shù)值關(guān)于b對(duì)稱.例如，表示關(guān)于對(duì)稱，表示關(guān)于對(duì)稱.3.常用結(jié)論（視頻中有推導(dǎo)這些結(jié)論）：（1）假如函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，則肯定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱軸距離的2倍.（2）假如函數(shù)有一條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則肯定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間距離的4倍.（3）假如函數(shù)有在同一水平線上的兩個(gè)對(duì)稱中心，則肯定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱中心之間距離的2倍.典型例題【例1】已知函數(shù)滿意，且在上為增函數(shù)，則（）A. B.C. D.【解析】的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?，且在上為增函?shù)，所以，從而【答案】C【例2】己知函數(shù)滿意，若函數(shù)共有3個(gè)不同的零點(diǎn)、、，則_________.【解析】的圖象關(guān)于對(duì)稱，，由于的圖象也關(guān)于對(duì)稱，故它們的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，設(shè)，則必有且，故.【答案】3【例3】已知函數(shù)滿意，若，則_______.【解析】，分別取和得：，兩式相加得：，又，所以.【答案】0【例4】偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，則_______.【解析】由題意，周期為4，故.【答案】3【反思】對(duì)稱軸+對(duì)稱軸=周期，周期為對(duì)稱軸之間距離的2倍.【例5】（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷）若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意，若，則=（）A. B.0 C.2 D.50【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以，故，所以，即是以4為周期的周期函數(shù)，故，在中取知，又，所以，故.【答案】C【反思】對(duì)稱軸+對(duì)稱中心=周期，周期為二者之間距離的4倍，熟識(shí)這一結(jié)論，可干脆得出本題的周期為4.【例6】定義在R上的奇函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則_______.【解析】由題意，有對(duì)稱中心和，故其周期為2，所以.【答案】【反思】若有位于同一水平線上的兩個(gè)對(duì)稱中心，則為周期函數(shù)，周期為二者之間距離的2倍.強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）已知函數(shù)滿意，且在上為減函數(shù)，則（）A. B.C. D.【解析】的圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合在上為減函數(shù)知當(dāng)自變量與2的距離越大時(shí)，函數(shù)值越小，如圖，而，，，所以，故.【答案】B2.（★★★）函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故.【答案】A3.（★★★）已知函數(shù)滿意，若函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn)，，，則________.【解析】的圖象關(guān)于對(duì)稱，，而的圖象也關(guān)于對(duì)稱，故它們的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，所以.【答案】4.（★★★）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，則=_______.【解析】由題意，有對(duì)稱軸和，故其周期為2，.【答案】15.（多選★★★）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)隨意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則（）A.是周期函數(shù)，且周期為2B.的最大值是1，最小值是C.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，【解析】A項(xiàng)，是偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，所以是以4為周期的周期函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合是周期為4的偶函數(shù)可作出的草圖如圖，由圖可知，，故B項(xiàng)正確.C項(xiàng)，由圖可知C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，在中將換成得，故當(dāng)時(shí)，，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.【答案】BC6.（★★★）設(shè)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則_______.【解析】由題意，有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，故其周期為4，所以.【答案】7.（★★★）若是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，若，則______.【解析】的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸周期為4，在中取知，又，，所以，故.【答案】18.（★★★）函數(shù)滿意，，且，則_______.【解析】由知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由知關(guān)于對(duì)稱，所以是以4為周期的周期函數(shù)，故.【答案】9.（★★★）已知函數(shù)，定義域?yàn)镽的函數(shù)滿意，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，，…，，則（）A.0 B.6 C.12 D.24【解析】留意到函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，所以的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，，故.【答案】B10.（★★★）奇函數(shù)滿意，若當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的周期為2，如圖，與的圖象共有9個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有9個(gè)零點(diǎn).【答案】911.（★★★）偶函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為（）A.4 B.6 C.8 D.10【解析】的圖象關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以的周期為2，，作出圖象如圖，由圖可知兩函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，且它們兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，從而零點(diǎn)之和為6.【答案】B12.（★★★）偶函數(shù)滿意