四川省南充市2024-2025學年高二數(shù)學下學期第一學月學習質(zhì)量監(jiān)測文試題含解析

Page16四川省南充市2024-2025學年高二數(shù)學下學期第一學月學習質(zhì)量監(jiān)測（文）試題（滿分：150分考試時間：120分鐘)第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的）1.下列求導錯誤是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則逐項計算、推斷作答.【詳解】對于A，，A正確；對于B，因是常數(shù)，則，B不正確；對于C，，B正確；對于D，，D正確.故選：B2.已知拋物線：的焦點坐標為，則的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由焦點坐標得，從而得準線方程．【詳解】拋物線焦點坐標為，則，所以準線方程是．故選：D．3.曲線在點處的切線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.135°【答案】B【解析】【分析】首先求出導函數(shù)，再求出導數(shù)值，即可得到切線的斜率，從而得到切線的傾斜角；【詳解】解：因為，所以，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，所以切線的傾斜角為故選：B4.若，則的解集為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，可先求出函數(shù)的定義域及函數(shù)的導數(shù)，再解出不等式的解集與函數(shù)的定義域取交集，即可選出正確選項．【詳解】解：由題，的定義域為，，令，整理得，解得或，結(jié)合函數(shù)的定義域知，的解集為．故選：．5.驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦聞名的建筑事務所steynstudio完成的，建筑師的設計靈感源于圣經(jīng)的經(jīng)文“上帝啊，你永無止境的愛是多么的寶貴，人們在你宏偉的翅膀下避難”．若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的離心率為，過點，則此雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用待定系數(shù)法求雙曲線方程.【詳解】雙曲線，由題意可得：∴雙曲線為，即．故選：A．6.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為，故選A7.函數(shù)在上是（）A.增函數(shù) B.偶函數(shù)C.周期函數(shù) D.在有唯一零點【答案】A【解析】【分析】求導函數(shù)，由導數(shù)確定單調(diào)性．再由奇偶性、周期性定義推斷BC，由零點定義推斷D．【詳解】，所以在R上是增函數(shù)，A正確；，是奇函數(shù)，B錯；是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，也不是周期函數(shù)，C錯；，時，，在上無零點，D錯．故選：A．8.已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為（為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)焦點到漸近線的距離求得關(guān)于的表達式，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線為，焦點為，焦點到漸近線距離為，所以，由于，所以.故選：C9.若直線y＝2x與雙曲線(a＞0，b＞0)有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1，) B.(，＋∞)C.(1，] D.[，＋∞)【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的漸近線方程,由雙曲線與直線有交點，應有漸近線的斜率,再由離心率可得結(jié)論.【詳解】雙曲線的兩條漸近線中斜率為正的漸近線為，由雙曲線與直線有交點知，應有，故，故選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、雙曲線的離心率、漸近線以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.10.設橢圓和雙曲線的公共焦點為，，是兩曲線的一個交點，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定方程求出焦距，再結(jié)合橢圓、雙曲線定義建立與的關(guān)系即可計算作答.【詳解】依題意，焦距，由橢圓、雙曲線定義得：，兩式平方相加得：，于是有，所以的值為.故選：D11.已知橢圓的左右焦點分別為，，點在橢圓上，是面積為的正三角形，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)是面積為的等邊三角形求出，再求出點P坐標，代入橢圓中，結(jié)合，解方程組，求出答案.【詳解】由題意得：，且，因為是面積為的等邊三角形，所以，解得：，過點P作PM⊥于點M，所以，，所以，將P點代入橢圓方程中得：，又，解得：.故選：C12.過拋物線：焦點且斜率為的直線與交于，兩點，設滿意，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理得，代入可得．【詳解】拋物線焦點為，直線方程為，設，由得，，，，，，則，，，所以，解得．故選：C．第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上）13.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則_________.【答案】4【解析】【詳解】∵函數(shù)的圖象在點處的切線方程是∴，∴故答案為414.雙曲線中心在原點，離心率為，若它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，則的虛軸長等于________.【答案】【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標，得雙曲線的，由離心率得，從而可求得．【詳解】由題意拋物線的焦點坐標為，所以雙曲線中，又，所以，，．故答案為：．15.函數(shù)在上為減函數(shù)，則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求出的導函數(shù)，由函數(shù)在上是減函數(shù)，得到導函數(shù)恒小于0，導函數(shù)為開口向下且與軸最多有一個交點時，導函數(shù)值恒小于0，即可得到的取值范圍．【詳解】解：由，得到，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以恒成立，所以，則的取值范圍是．故答案為.【點睛】此題考查學生會利用導函數(shù)的正負推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，敏捷運用二次函數(shù)的思想解決實際問題，是一道中檔題．16.已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線相交于，兩點，則_________.【答案】【解析】【分析】設，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消元后應用韋達定理得，求得，由焦半徑公式得，，代入計算化簡可得．【詳解】設，由得，所以，，，，．故答案為：1．三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17—21題為必考題，每個考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分17.已知函數(shù).（1）若，求在點處切線方程；（2）若對于隨意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義結(jié)合直線點斜式方程求解作答.（2）依據(jù)給定條件，分別參數(shù)，借助二次函數(shù)的最大值推理作答.【小問1詳解】當時，，求導得：，則，而，有，即，所以所求切線方程為.【小問2詳解】當時，恒成立，即當時，恒成立，有在上恒成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，于是得，所以實數(shù)的取值范圍為.18.設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有三個不等實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）中所得函數(shù)的單調(diào)性，得極值，可結(jié)合函數(shù)的圖象得其與直線三個交點時的的范圍．【小問1詳解】由已知可得：，令，即，解得，，所以當或時，，當時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）可知的圖象的大致走勢及走向，如圖所示，又，，所以當時，直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，方程有三個不等實根.19.已知空間幾何體中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.（1）若，求證：；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理得線線垂直，由面面垂直得線面垂直，再得線線垂直；（2）分別取，中點，，由面面垂直得線面垂直，再得線線平行，證得平行四邊形為平行四邊形后可得證結(jié)論．【小問1詳解】因為、是全等的正三角形，所以，又因，所以，故，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】分別取，中點，，連接，，，因為是等邊三角形，所以，，因為平面平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以．20.設拋物線C：的焦點為F，是C上的點．（1）求C的方程；（2）若直線l：y＝kx＋2與C交于A，B兩點，且|AF|·|BF|＝13，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點代入拋物線求出即可得出方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程。利用韋達定理建立關(guān)系即可求出.【小問1詳解】因為是拋物線C上的點，所以，因為，所以p＝2，因此拋物線C的方程為．【小問2詳解】設點，由，得，，則．由拋物線的定義知，，，則，解得．21.已知橢圓為橢圓的左?右焦點，焦距為，點在上，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于兩點，以為直徑的圓是否恒過軸上的定點？若存在該定點，懇求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）以為直徑的圓恒過軸上的定點.【解析】【分析】（1）依據(jù)焦距求出，再依據(jù)面積的最值求出，即得橢圓的方程；（2）當直線的斜率為0時，圓與軸的交點為；當直線的斜率不為0時，設直線.聯(lián)立直線和圓的方程得到韋達定理，得到，即，解方程，且即得解.【小問1詳解】解：由橢圓的焦距為，可得，即.設點的縱坐標為的面積，其中，依據(jù)面積的最大值為，可得.由橢圓的性質(zhì)可得：.于是橢圓的方程為.【小問2詳解】解：當直線的斜率為0時，以為直徑的圓的方程為圓與軸的交點為當直線的斜率不為0時，設直線.將直線與橢圓聯(lián)立，可得.設點的坐標分別為，則有以為直徑的圓的方程為令，可得：①.其中②，③.②③代入①可得④.式子④可變換為⑤.當，且時，⑤式成立，可解得.綜上可得，以為直徑的圓恒過軸上的定點.（二）選考題：共10分.考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.22.已知數(shù)列的首項，且滿意．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此證得數(shù)列是等比數(shù)列.（2）利用分組求和法求得.【小問1詳解】由，得，又，故，故，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以．23.在①，②AC邊上的高為，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并完成解答.問題：記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，______.（1）求c的值；（2）設AD是的角平分線，求AD的長.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）選條件①：利用余弦定理干脆求得；選條件②：利用三角形的面積公式干脆求得；選條件③：先求出，利用和差角公式及正