函數(shù)及其表示方法（函數(shù)的概念）高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

3.1.1

函數(shù)及其表示方法第三章

函數(shù)人教B版（2019）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一些函數(shù)的知識(shí)，例如已經(jīng)總結(jié)出：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱(chēng)為變量；在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量

x與

y

，并且對(duì)于

x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)

y是

x的函數(shù).

情境與問(wèn)題（1）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的課題組公布，如果將2005年中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來(lái)中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示．年度20082009201020112012201320142015中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5以

y表示年度值，i表示中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的取值，則

i是

y的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以怎樣表示？（2）利用醫(yī)療儀器可以方便地測(cè)量出心臟在各時(shí)刻的指標(biāo)值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如下圖所示．醫(yī)生在看心電圖時(shí)，會(huì)根據(jù)圖形的整體形態(tài)來(lái)給出診斷結(jié)果（如根據(jù)兩個(gè)峰值的間距來(lái)得出心率等）．如果用

t

表示測(cè)量的時(shí)間，v

表示測(cè)量的指標(biāo)值，則

v

是

t

的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以怎樣表示？初中實(shí)際上是用變量的觀(guān)點(diǎn)和解析式來(lái)描述函數(shù)的，但從情境與問(wèn)題中的兩個(gè)實(shí)例可知，初中的方法有一定的局限性：情境與問(wèn)題中的

i是

y的函數(shù)，v是

t

的函數(shù)，但是這兩個(gè)函數(shù)與初中的函數(shù)有所不同，比如都很難用一個(gè)解析式表示，而且每個(gè)變量的取值范圍也有了限制，等等.一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集

A與

B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系

f，如果對(duì)于集合

A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)

x，在集合

B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)

y與

x對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)

f為定義在集合

A上的一個(gè)函數(shù)，記作

y=

f

(x)，x

∈A．函數(shù)的定義其中x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量，自變量取值的范圍（即數(shù)集A）稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的定義域.如果自變量取值a，則由對(duì)應(yīng)關(guān)系f確定的值

y

稱(chēng)為函數(shù)在

a處的函數(shù)值，記作y=f(a)或y|x=a.所有函數(shù)值組成的集合{y|y=f(x)，x∈

A}稱(chēng)為函數(shù)的值域.

函數(shù)的這種定義強(qiáng)調(diào)的是“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，對(duì)應(yīng)關(guān)系也可用其他小寫(xiě)英文字母如g，h等表示.

在表示函數(shù)時(shí)，如果不會(huì)產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫(xiě)，此時(shí)就約定：函數(shù)的定義域就是使得這個(gè)函數(shù)有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合.在上述約定下，以下表達(dá)式都可以表示函數(shù)f(x)=2x+1，x∈

R：f(x)=2x＋1，y=2x＋1.（1）分式中分母不能為零；（2）二次根式中的被開(kāi)方數(shù)要大于或等于零.以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：

此解法，實(shí)質(zhì)上是在用方程判斷一個(gè)數(shù)是否屬于函數(shù)的值域.嘗試與發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)上用的是不等式的性質(zhì).練習(xí)鞏固