立體幾何外接球的10種歸類-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊）（解析版）

專題H-1立體幾何外接球的，0種歸類

。?？碱}型目錄

題型1墻角模型................................................................................4

?類型1兩兩垂直型（特別是四個(gè)面都是直角三角形）........................................4

?類型2對棱垂直推理兩兩垂直............................................................11

?類型3對棱相等模型....................................................................15

題型2直棱柱的外接球（漢堡模型）.............................................................19

?類型1直棱柱的外接球..................................................................19

?類型2直棱錐的外接球..................................................................22

題型3切瓜模型...............................................................................27

題型4正棱錐與普通棱錐的外接球..............................................................34

題型5兩個(gè)直角三角形拼接模型................................................................41

題型6圓錐的外接球...........................................................................44

題型7圓柱的外接球...........................................................................47

題型8圓臺的外接球...........................................................................49

題型9棱臺的外接球...........................................................................52

題型10二面角型外接球........................................................................59

Q知識梳理

知識點(diǎn)一.正方體長方體的外接球

1.長方體的外接球:長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R，則2R=7求+按+Q

2.正方體的外接球：正方體的棱長為。，外接球半徑為R,貝y/3/J

3.墻角模型(補(bǔ)成長方體)

(1)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖1所示.

(2)若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長方體，如圖2所示.

(3)正四面體可以補(bǔ)形為正方體如圖3所示，

(4)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖4所示

知識點(diǎn)二.直棱柱的夕席球(漢堡模型)

1.直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)

圖1圖2

【例如】直三棱柱內(nèi)接于一球

勾股定理：。。?+口廳二口廳，則Z7=戶+勺

2.計(jì)算公式口=后不；其中2=鑒

知識點(diǎn)三.直棱錐的夕燧球（側(cè)棱垂直底面的三棱錐）補(bǔ)形成直棱柱

題設(shè)：PA,平面ABC

第一步：將平面ABC畫在小圓面上，A為小圓面直徑一端點(diǎn)；

作小圓面的直徑AD,連接PD,則PD必過球心。；

第二步：H為MBC的外心，所以0H」平面ABC;算出小圓面的半徑HD=r,OH=^PA;

第三步、用勾股定理：R=Vr2+OH2

知識點(diǎn)四.切瓜模型

I.當(dāng)棱錐的側(cè)面垂直與底面垂直時(shí)

2.假設(shè)平面ABC_L平面BCD,其中ri為平面BCD的外接圓半徑4為它的垂面

A

ABC的半徑，/為兩個(gè)垂面的交線。

結(jié)論：

二心二+心目

知識點(diǎn)四.正棱錐和普通的棱錐外接球

題設(shè)：P的投影落在AABC的外心上

第一步:確定球心0的位置，取3BC的外心H,則P,0,H三點(diǎn)共線；

第二步:算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=h;

第三步:勾股定理：OH2+AH2=OA2

即：（h-R）2+r2=R2,解出R

題型分類

題型1墻角模型

?類型1兩兩垂直型（特別是四個(gè)面都是直角三角形）

【方法總結(jié)】方法:找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2=/+〃+C2，即2火=，4+法+C2,

求出H

常見的類型：

【例題1-1］（2022春?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中）已知三棱錐。一Z7Z7O中，□口=4,□□=5，口□=6,

側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直，則三棱錐外接球表面積為.

【答案】?

【分析】以□□、口口、口為棱構(gòu)造一個(gè)長方體，三棱錐口-?？凇５耐饨忧蚓褪情L方體的外接球，表

示棱長，求得外接球半徑，由此能求得該球的表面積.

【詳解】三棱錐口-OZ7E勺側(cè)棱DO,00,00兩兩垂直，且長度分別為OO=4，□口=5，口口=6,

旦口，口，口,。都在同一個(gè)球面上（如圖所示）,

以口口、□□、。。為棱構(gòu)造一個(gè)長方體，這個(gè)球就是長方體的外接球,

設(shè)正方體的相鄰三條棱長分別為x,y,z,

則4+=16,U+O2=25,行+U=36,

故仃+仃+廳=弓，

2

設(shè)三棱推夕忖妾球半徑為R,則（2。2=^+^+O=y,

??.該球的表面積為O=4TTQ2=4TTx弓=?.

ON

故答案為：—

【變式1-1]1.（2023?高一單元測試）三棱錐A-BCD中，口平面BCD,□□1口口,2口口=□□=

CD=2,則該三棱錐的外接球表面積為（）

.3n-9n_

A-TB-TC.9nD.36n

【答案】C

【分析】由題可知，可將三棱錐補(bǔ)成長方體，求長方體的外接球的表面積即可.

【詳解】由口￡71平面BCD,口□，知三棱錐A-BCD可補(bǔ)形為以AD,DC,BD為三條棱的長方

體，如圖所示,

三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R,

則（202=□仃+口己+□仃=1+4+4=9,所以該三棱錐的外接球表面積為Z7=4n仃=9n.

故選：C.

【變式1-D2（2023?全國?高一專題練習(xí)底直三棱柱口口14中，口口=口口=2，□口1=2V2,

z□□口=》則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.4TlB.8nC.16nD.24Tl

【答案】c

【分析】由條件得該直三棱柱底面為等腰直角三角形，補(bǔ)全為長方體求外接球半徑即可得表面積.

【詳解】

因?yàn)椤酢?口口=2,乙□□□=T，所以△。。力等腰直角三角形，

將直三棱柱-4□、&補(bǔ)全為如圖長方體。。?！?口口、a4,

則長方體的外接球即直三棱柱的外接球，

因?yàn)椤蹩?口口=2,=2V2,所以外接球直徑2。=□□、=舊+22+（2V2）2=4,

所以外接球半徑0=2,表面積。=4n仃=16TL

故選：C.

【變式1-1]3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方

早1000多年在《九章算術(shù)》中揩底面為矩形且T則棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬如圖口-□□□口

是陽馬，強(qiáng)□□□□,□口=5,口口=3,□□=4.則該陽馬的外接球的表面積為（）

【答案】B

【分析】由題目條件有OO1口□,□□\□□,□□工則陽馬的外接球與以O(shè)O,口□,OO為

長寬高的長方體的外接球相同.

【詳解】因礴□□□□,￡7￡7u平面ABCD,￡7Z7u平面ABCD,

則?！?1口口,□□1口口,又因四邊形ABCD為矩形，則。。1

則陽馬的外接球與以S,口□‘長寬高的長方體的外接球相同.

又口口=5,口口=3,.則外接球的直徑為長方體體對角線，故外接球半徑為：□=

、□日+口己+口曰_V32+42+52_5夜

2―2一—'

則外接球的表面積為：0=4TT4=4TTq=50n.

故選：B

【變式1-1]4.（2022春?甘肅蘭州?高一蘭州五十一中?？计谀┰谌忮F。一□□田,□□=□□=

4,□□=8,口口=8,Z7Z71口口,□□工□□,則該三棱錐外接球的表面積為.

【答案】80￡7

/標(biāo)'作口口,口揖口口,E，根據(jù)已知條件可得的外接球即為O-

?？凇?5勺外接球，連接口￡7,應(yīng)用勾股定理、線面垂直的判定可得￡701面￡7。。、□□遹口□口，再

由線面垂直的性質(zhì)有OO1口□、口□、口□,則?！蚩诳??？趦蓛纱怪?，進(jìn)一步得到口一口□口曲

外接球即長寬高分別為的長方體的夕14妾球，即可求外接球的面積.

【詳解】由題設(shè)，A為等腰直角三角形，作□□“口邑口口,。依于E,

所以。邊長為4的正方形，則0-005勺外接球即為。-。的外接球,

連接OZ7,又□□工口四口口工口口,

而□□IOU,UEJc□口=U,故ZZ7Z71面Z7ZZ7ZZ7,又口ZZ7u面ZZ7/Z7O,

所以。Z7_LDO,即。。J_DC,

在□□△口□為口d+C[3=口U,又□口=□□=4,口□=口口=8,故。^+口邙■=g,

所以□□工□口,而□□工□道口口門口□=□,取□□遹□□□,又□□遁□□□,

所以O(shè)Z7J.口□,即口□,

綜上,口□,口口,口。兩兩垂直，則〃-。叱7。的外接球即長寬高分別為口口□口,。。的長方體的外接

球，

所以。-￡7000勺外接球半徑。=竿='力"爐=2V5,則外接球的表面積為40行=80口.

故答案為：80口.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作口□“□□,□□“□翦□口，口故才E,連接￡70,應(yīng)用勾股定理、正方形性

質(zhì)及線面垂直的判定和性質(zhì)證明口□,?？趦纱怪?，轉(zhuǎn)化為求長方體的外接球面積.

【變式1-1]5.（2021春?山西呂梁?高一統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為2的正方形。。口。中，U,儂■別

是口□,?？谏字悬c(diǎn)，將^□口□,△□□口,△口口叫到沿口口,口□,斤起，模口,口,Z7E點(diǎn)

重合于點(diǎn)方，則四面體方-勺外接球的表面積為（）

A.240B.12/7C.6口D.3D

【答案】C

【分析】由四面體方-or7。的棱o'a方a方。兩兩垂直，將它補(bǔ)形成長方體，求出該長方體的體對角

線即可得解.

【詳解】依題意，O￡71[JLJ.dUl.do,￡7￡71DD,且。'。=2,方￡7=Z7￡7=1,如圖:

D

幺'1-?\-----------二

于是得四面體o'-go?？梢匝a(bǔ)形成以。'ao'a方o為相鄰三條棱的長方體，該長方體與四面體o'-

s中）外接球相同，

四面體方-?？?。的外接球的半徑R,則有2R為長方體的體對角線長,

即20=\lJlJ2-+d[3+￡7'/^=V6,從而有40。2=￡7（2O）2=6a

所以四面體。'-。。型外接球的表面積為6/7

故選：C

【變式1-1]6.（2022春?河北石家莊?高一?？计谥校┮阎L方體〃。。。-方。'中，dd=V3,

OZ7'=1,方。與平面OO。'方所成角的正弦值為f,則該長方體的外接球的表面積為.

【答案】5口

【分析】作?？?，口口,垂足為E,連接方。，BE,證得NOO'0是Z7'a與平面口O。'。'所成的平面角，

進(jìn)而可以求出?？凇拈L度，然后根據(jù)長方體的對角線是其外接球的直徑，進(jìn)而可以求出球直徑，從而結(jié)合

球的表面積公式可以求出結(jié)果.

【詳解】作□口，垂足為E,連接BE,因?yàn)榭谪平面□□□,且口廿u平面口口仃廿,

所以平面￡7001平面。口方方,又因?yàn)槠健雒婵诳诳?平面口口U仃,O￡7u平面ABC,所以￡701平

面口口仃仃,因此N/J方儂方O與平面￡70?！剿傻钠矫娼?

又口口=?'I,DD=J（V3）2+DO=+nd.

J（可+儼

V3r

.-.sinz￡7￡7'O=—=《=f,解得?！?=1.

d口J3+Z7O2

故該長方體的體對角線為J12+（75）2+[2=倔設(shè)長方體的外接球的半徑為O,則2。=V5，解得〃=坐

2

.,該長方體的外接球的表面積為。==4￡7x停）=50.

故答案為：5A

?類型2對棱垂直推理兩兩垂直

【方法總結(jié)】特別的：正四面體、正三棱錐對棱相互垂直、四個(gè)面全都是直角三角形）

【例題1-2]（2022?高一課時(shí)練習(xí)）如圖在正三棱錐口口3,口,儂別是棱。中）中點(diǎn)，皿

棱叩上的一點(diǎn)，目口□=；□□,□□\□口,若□口=2V2,則此正三棱錐O一勺外接球的體

A.12Z7B:口C.8V3L7D.A△口

【答案】D

【分析】根據(jù)題意證明oaoa。。兩兩垂直，將三棱錐放入棱長為2的正方體，兩者外接球體積相同，

求得正方體外接球體積即可得出答案.

【詳解】因?yàn)樵凇骺诳谧?口，二分別是棱oa口廳勺中點(diǎn)，

所以,因?yàn)榭诳谌丝诳?所以立7_L□口,

因?yàn)槿忮F。一口為正三棱錐,所以O(shè)O1對棱垂直)，

又因?yàn)閛aoou面uuc□□=□,

所以□□上面口口口,因?yàn)榭凇?UUu面口口口,所以。DJ.□□,□□，口口,

在□□4口口唧,口d+DCP=口已,

因?yàn)槿忮F〃。班正三棱錐,所以△是等腰三角形，△口口。是等邊三角形，

所以￡70=,□□=

所以口^+Z7ZJ2=ud,即□口,

所以口□,口口,。。兩兩垂直，

將此三棱錐放入正方體中，此正方體的面對角線長等于。。長,為2代，

則該正方體棱長為2,外接球半徑6l(l)2+(警?=V3,

正方體外接球體積O=I口仃4￡7x(V3)3=4靠口,

此正三棱錐。-的外接球體積和正方體外接球體積相同，為48a

故選：D

【變式1-2]1.(2017?遼寧沈陽?高一東北育才學(xué)校校考階段練習(xí))在正三棱推S-ABC中，外接球的表

面積為36n,M,N分別是SC,BC的中點(diǎn)，且MNXAM,則此三棱錐側(cè)棱SA=()

A.1B.2C.V3D.2V3

【答案】D

【分析】利用球的表面積公式，算出球的半徑R=3.由題意可證出MN_L平面SAC,可得SB_L平面SAC,

從而得出NASB=NBSC=NASC=90°.因此將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角

線就是球的直徑，利用正方體對角線公式即可算出SA長.

【詳解】取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)BE、SE,

,?三棱錐S-ABC正棱錐,.-.SA=SC,BA=BC.

又.E為AC的中點(diǎn),.-.SE±AC且BE±AC

,..SE、BE是平面SBE內(nèi)的相交直線，

??.AC_L平面SBE,又SB在平面SBE內(nèi)

可得SB_LAC

又「MN是ASBC的中位線，

.-.MNllSB,可得MN_LAC

又「MN，AM，又AM,AC是平面SAC內(nèi)的相交直線,

平面SAC,結(jié)合MNIISB,可得SB_L平面SAC

又.三棱推S-ABC是正三棱錐，

.-.zASB=zBSC=zASC=90o,

因此將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，

設(shè)球的半徑為R,可得=36n,解得R=3,

.,Jm2+g+口仃=20=6,解之得SA=2V3

故選：D

s

【變式1-2]2.（2022春?廣西南寧?高一校聯(lián)考期末）在正三棱錐DDDV，□□工,

則正三棱錐。。夕卜接球的表面積為.

【答案】75n

【分析】將正三棱錐口-塞卜成正方體，根據(jù)正方體的對角線即為外接球的直徑，求得外接球半徑,

即可求得答案.

【詳解】由正三棱錐的性質(zhì)可得，?！?,OZ7,口口=￡70=5,

則將正三棱錐卜成如圖所示的正方體，

則正三棱錐口一口口》卜接球即為正方體的外接球，

所以正三棱錐〃一口口受卜接球的半徑為叵冬運(yùn)=竽，

所以正三棱錐。-006卜接球的表面積為4Tlx與=75TT,

故答案為：75n

【變式1-2】3.（2023?高一單元測試）正三棱錐勺側(cè)棱長為2,%口。0勺中點(diǎn)，目口口LUU.

則三梭推。-005卜接球的表面積為.

【答案】12n

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和線面垂直判定可知平面。OO,從而得到SJ.由

線面垂直判定可得OO1平面OO。，進(jìn)而確定三棱錐。-。。與正方體的一角，通過求解正方體的外

接球表面積即可得到結(jié)果.

【詳解】與□伊氤,□□=口□,=□□.：.￡7/71口□,口□，口口,

又UEJc□口=口,口口,口口（2^^口口口，：.□□L平面□□□,

■■□□u淬面□□□,：.\□□,又，□□,UUc□□=U,UU,UUcSp.?UUU,

???□□L平面□□□,又三棱錐口-口口%正三棱錐，二側(cè)面為全等的等腰直角三角形，

.??三棱錐Z7-Z7OH）如圖所示的棱長為2的正方體的一角，

???該正方體的外接球即為三棱錐。-Z7O。的外接球，

???正方體外接球半徑。=述2+2?+*=V3，，所求外接球表面積。=4口爐=12TT.

故答案為：12n.

?類型3對棱相等模型

【方法總結(jié)】方法：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD,

AD^BC,AC=BD）

第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；

第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為“，"c,AD=BC=x,AB^CD^y,AC=BD=z，列方

程組，

\a2+b2^x2

222

<b-+c2=y2=(2H)2^a1+b2+C2=十)+，一

c2+a1-z2

補(bǔ)充：VA_BCD=ahc一■-abcx4=—abc

第三步：根據(jù)墻角模型，2/?=力2+從+。2=/_y-±-

222

2+y2+z2^x+y+z~

R),R=，求出R,.

8

【例題1-3]（2023?全國?高一專題練習(xí)）四面體口一UUg,口口=□□=5,UU=□□=UU=

□□=6,則此四面體外接球的表面積為一.

【答案】n

【分析】將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個(gè)面的面對角線，則長方體的外接球即為四

面體口-勺外接球，利用數(shù)據(jù)計(jì)算長方體的體對角線即為外接球的直徑，可得球的表面積.

【詳解】將四面體。-放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個(gè)面的面對角線,

如圖：

則長方體的外接球即為四面體。-￡70〃的外接球，

又長方體的體對角線即為外接球的直徑2〃，

設(shè)長方體的長寬高分別為a口,a,

則有4+￡^=36,￡^+2^=36,￡^+￡^=25,

所以爐+4+仃=:=44,

所以外接球的表面積為4Tl爐=yTl,

故答案為：yn

【變式1-3]1.在三棱錐P-/跋中，期=跋=5,□□=□□=尺,口口=□□=2^5,則三棱錐

。-46C的外接球的表面積為（）

A.72TB.8nC.24nD.29n

【答案】D

【分析】將棱錐補(bǔ)全為長方體，由長方體外接球直徑與棱長關(guān)系求直徑，進(jìn)而求其表面積.

【詳解】三麒P-/48C中，PA=BC=5,□□=口口=6,口口=DD=3/5,

構(gòu)造長方體使得面對角線分別為5,2后,舊,則長方體體對角線長等于三棱錐外接球直徑20，如圖所示,

222

設(shè)長方體棱長分別為a,b,c,則爐+d=20,D+D=25ILf+LJ=13,

貝！]仔+d+廳=29,即4仔=29,外接球表面積和d=2爾.

故選：D

【變式1-3]2.如圖，在三雌口一口口供,□□=□□=/,□□=□□=2,口口=口口=y/5,

則三棱錐。一仍卜接球的體積為（）

A.\l2UB.y/3DC./6UD.60

【答案】C

【分析】將三棱錐。-￡700放到長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a□，口，求出口口得三

棱錐P-ABC

外接球的半徑，即得解.

【詳解】解：由題意，口口=口口=6,口口=00=2,口口=□口=V5,將三跳￡7-口□朋

到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為2,45,

設(shè)長方體的長、寬、高分別為aa。，

則J廳+O2=y/3,J廳+d=2,y/cf+n2=V5,

解得￡7=1,0=42,0=43.

所以三棱錐。一。。仍卜接球的半徑〃=*3+￡/+3=苧.

???三棱錐。一8乙外接球的體積￡7=90爐=<60.

故選：C

【變式1-3]3.在三棱錐口一口口收,□口=□口=4,□□=□口=5,□口=□口=<11,則三

棱推O-?？?。6勺外接球的表面積為（）

A.26n.B.72nC.8n.D.24rx

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對角線長分別為4,5,V??的長方體，求出其體對角線長即可求解作答.

【詳解】三棱錐￡7-UDD￥,□□=□口=4,□□=□口=5,□口=□口=肝,

構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4,5,777,則長方體的對角線長等于三棱錐5卜接球

的直徑，如圖，

222Z2

設(shè)長方體的棱長分別為則0+^=16IU+D=25,D+D=77,則￡7?+￡/+=

26.

因此三棱錐。-z7oa外接球的直徑為信，

所以三棱錐。-006卜接球的表面積為布?（爭2=2瞅.

故選：A

題型2直棱柱的外接球（漢堡模型）

【方法總結(jié)】方法：存在一條棱垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），

它的外接圓半徑是「，滿足正弦定理）

?類型1直棱柱的外接球

【例題2-1]（2021春?浙江?高一校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱ABC—4口1□內(nèi),底面AABC是以角

B為直角的等腰直角三角形，且腰長為2,D為BC的中點(diǎn)，三棱柱體積O=4V2

求三棱柱的外接球的表面積和體積；

【答案】表面積160,體積券O;

【分析】先由三棱柱體積求出,再找出球心，勾股定理求出半徑，即可求出外接球的表面積和體積；

Q)

易知口□□□=~x2x2=2，三棱柱體積〃=口口、=2口口、=4V2，解得=20取口口

中點(diǎn)。,取中點(diǎn)ZZZ|,

連接交口a于口，易知匚為△口口闔外心,口為△口口1a的外心，為外接球的球心，口口=

V22+22=2A/2,

22

故外接球半徑為竿='（2"2閭一=2,故外接球表面積為4Ox22=16￡7,體積為23=￡7.

【變式2-1】1.直三棱柱ABC-44G的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=8C=1,NABC=120°,

A4,=26，則球0的表面積為（）

A.47rB.8/C.16%D.24%

【答案】OAiBiCi的外接求半徑為百/弁=2ar=l,R2=r2+（竿）2=4,R=2.S球=4nR2=16n

1—1l—lLJJUN

【變式2-1］2.（2021?高一課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱口口。一口1口1口］中，乙口口□=90°,□□、=V3,

設(shè)其外接球的球心為0,已知三棱錐。-的體積為V3,則球0表面積的最小值為.

【答案】27￡7

【分析】設(shè)口口=口，。0=O,球的半徑為Z7,連接口口1,□1U交于點(diǎn)D,取口田氤口'連接口□,

即％三棱柱外接球球心，根據(jù)三棱錐體積可得aO司關(guān)系，表示出。，根據(jù)基本不等式可求得中］最小

值，從而得到球的表面積的最小值.

【詳解】如圖，因?yàn)槿庵鵲g-4&a是直三棱柱，目乙□□口=9?！?

設(shè)口口=口,口口=。，球的半徑為。，連接。a,a/于點(diǎn)。，取口唧氤口,連接s,

則二型」三棱柱六個(gè)定點(diǎn)的距離相等，即a為三棱柱外接球球心，目口口=；□□、吟,

又因?yàn)槿忮F?！腕w積為V3，即:x（□□*?=V5,即12,

所以口=《口守+口仃=＜寫B(tài)+倒=]竿+仁加口+卜竽,

當(dāng)且僅當(dāng)。=口=2狗時(shí)等號成立,

所以球中）表面積最小值為O=4Z7爐=270,

故答案為：27a

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真解析圖形，明確切

點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體

各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對

角線長等于球的直徑.

【變式2-1]3.一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面

上，且該六棱柱的體積為g,底面周長為3,則這個(gè)球的體積為

O

【解析】設(shè)正六邊形邊長為。，正六棱柱的高為力，底面外接圓的關(guān)徑為r，則a,底面積為

2

號h=1:.h=62+(-)=1,R=\,球的你只

【變式2-1]4.若球福直三棱柱SO-O7O7O7的外接球，三棱柱的高和體積都是4,底面是直角三

角形，則球。表面積的最小值是.

【答案】2On

【分析】由題意作圖，可得外接球半徑月滿足口?=（玲芻2+（今2,根據(jù)題意可得￡7。=2.

由球的表面積公式可得?？v=（C2+/J2+16）0,結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意得，在底面直角三角形△口口袋,設(shè)口口=口，口口=□,/口=90°,小,

設(shè)三棱柱的外接球的半徑為/?,則d=（^^）2+（乎，

又三棱柱的高和體積都為4,所以斑#=口皿口7口口乂4=4,得口口=2,

二棱柱2

所以三棱柱外接球的表面積為：

□g4皿=4口[（^^）^+（%=40（呼+4）=（g16）0

>（2口口+16）口=2?？诋?dāng)且僅當(dāng)。=□=后寸等號成立），

所以外接球的表面積的最小值為20D

故答案為：20U

?類型2直棱錐的外接球

【例題2-2]（2022春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）四棱錐口-口外接球

0的半徑為2,￡7。，平面ABCD,底面ABCD為矩形則平面PAD截球0所得的截

面面積為（）

A.4nB.3nC.2nD.n

【答案】B

【分析】根據(jù)外接球的球心到所有頂點(diǎn)距離相等,故可得球心。為。。的中點(diǎn)，即可根據(jù)截面的性質(zhì)求解

截面圓半徑.

【詳解】由題意可知，球心取的中點(diǎn)，因?yàn)椤蹩?□□工口□,口口=口所以平

面OOaROBl中點(diǎn)故平面。?！昵嚯x為:1,故截面圓的半徑為V?=7=73,截面面積

o

為n（VS）=3n

故選：B

【變式2-2]1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知在三棱推口一口。。中,□□上平面□□□,口口=

2b,0=4,00=2,則三棱錐0—00》卜接球的表面積為（）

A.亍B.15nC,—D.20n

【答案】C

【分析】求出三棱錐口o卜接球板平面口口。所得小圓圓心a位置及半徑，再確定球心中位置，

并求出球半徑即可計(jì)算作答.

【詳解】因平面□□口,□□U平面口□□則□□工DDlHU，而□口=2V3,□□=

□□=A,

則￡7。=口口=2=口口,三棱錐口一OZ7〃的外接球漪平面SU所得小圓圓心&是正△□□口

中心，口、□=2，

連口□「則。a_L平面口?！?,取線段中點(diǎn)O,則球型球心。在過E垂直于直線勺垂面上,

連口口,如圖，

則四邊形OOO4是矩形口□、=□□=；□□=用，因此球比勺半徑。。有:口曰=口中+口子=

13

~31

所以三棱錐卜接球的表面積0=Qm

故選：C

【變式2-2]2.（2022春?重慶巴南?高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谌忮F。-□□功,□□]

口□,口口=□□=□□=2,口口=4,□□=2V5,則三棱錐。一005卜接球的表面積是（）

A.52ZJB.竽C.嚶D.平

【答案】B

【分析】利用勾股定理證得OO13,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得。O_L平面。OO,故三棱錐

。?？诘耐饨忧蛟谶^底面△外接圓圓心且垂直于底面△ooo的直線上，利用正弦定理求得△□□□

外接圓的半徑為。，再根據(jù)三棱錐卜接球的半徑為次出外接球半徑，即可得出答案.

【詳解】解：由口口=2,口口=4,口口=2通.

可得￡7行=口存+口d,所以O(shè)O1口□,

又□□L□□，□□門口□=□,且。。，￡7Z7u平面?！?〃，

所以Z7Z7,平面口OZ7,

故三棱錐。-外接球在過底面4口。5卜接圓圓心且垂直于底面△8。的直線上，

由正弦定理，可得△仍卜接圓的半徑為口=；x磊=2，

2sinoOV3

所以三棱錐口一。口。外接球的半徑為0=J（鑰2+仔=舊+目=碧,

所以三棱錐。一Z7〃a外接球的表面積為￡7=4。仃=4￡7x

64￡7

即三棱錐口一￡70%卜接球的表面積為。=4￡7萬=4￡7x~3~'

故選：B.

【變式2-2]3.（2022春?河北承德?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐￡705勺底面SO的斜二

測直觀圖為△add,已知ooi底面。oo,oo=Vs,do=co,nd=dd=aa=1,

則三棱錐005卜接球的體積。=.

【分析】先由斜二測畫法得，亨，再結(jié)合底面。。巾出外接球半徑,即可求解.

【詳解】■,

由題意得方方2口^.dd=^dd所以由斜二測畫法得，在原圖4口□田4口口口="口=2,

□□=4,

所以三棱錐。一外接球的半徑口=g+Dp+W="則0=：□仃=甯.

ZZOO

故答案為：竿

【變式2-214.（2022春?重慶九龍坡?高一四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在三棱錐。-

口口收，底面。。，為邊長為3的正三角形，側(cè)棱底面若三棱錐的外接球的體積為360,

則該三棱錐的體積為.

【答案】爭#|夜

【分析】由球體表面積公式可得半徑。=3,由正弦定理可得底面￡700外接圓半徑O=V3,根據(jù)線面垂

直易知￡7￡7=2>/仃-廳,最后應(yīng)用棱推的體積公式求體積.

【詳解】令外接球半徑為R,貝史必=36口,可得。=3,

又底面。。仍卜接圓半徑為O,則。==一=V3,

2sin600

若2為底面中心,。為。。中點(diǎn)，又□□]&□□□,

則球心O在過儂直于底面的直線上，如下圖示：

A

8

所以口。垂直平分。Z7,則2>/取-市=2V6,

所以三豌的體積戲□口?口皿口=：x2乃xgx32x弓=挈.

故答案為：竽

題型3切瓜模型

【方法總結(jié)】方法：面面垂直型基本圖形

一般情況下，倆面是特殊三角形.垂面型，隱藏很深的線面垂直型，

【例題3]（2022春?湖北恩施?高一校聯(lián)考期末）在三棱錐O-口口收，平面0OO1平面ABC,UH=

□□=□口=6,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.54nB.48TlC.42nD.36n

【答案】B

【分析】由題目條件確定出外接球的球心O是4口的外接圓的圓心，從而得到半徑和表面積.

【詳解】：所以△的外接圓的圓心為斜邊口口勺中點(diǎn)a

???口口=□□=□□=6,：.4等邊三角形，

連接,DD1口口,平面。Z7O1平面ABC,平面OOZ7C平面ABC=BC,口口心面ABC,/.□□1

面□□□,則球心A定在直線AN上.

△OO磔等邊三角形，可知0為小的外心，則0為該三棱錐外接球的球心.

因?yàn)椤酢?口□=口口=6,所以口口=2V3,則該三棱錐外接球的半徑為2遍.

o

故該三棱錐外接球的表面積為4TTx（2V3）=48n.

故選：B

【變式3-1J1(2022春?湖北鄂州?高一統(tǒng)考期末施三棱錐P-ABC中，平面PAB±￥?ABC.Z7Z7=□口=

Z7Z7=V3,z□□□=90。，Z7Z7=2,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()

A.5TIB.—C.8nD.20n

【答案】C

【分析】由面面垂直可得線面垂直，進(jìn)而可確定球心的位置在DO上，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)D,連接PE,WAB是等邊三角形，則￡701OZ7.因?yàn)槠矫?/p>

PAB上平面ABC,平面O￡7￡7n平面￡7。。=,￡7￡7u平面PAB,所以PE,平面ABC,又Z7￡7u平

面ABC,所以O(shè)O1□□過D作ODJL平面ABC,則ODl□□因?yàn)橐摇酢酢?90°,所以三棱錐P-ABC

的外接球的球心在DO上，設(shè)球心為0,連接OB,0P,設(shè)外接球半徑為R,由已知口￡7=yxV3=|,

□口=舊+(何2=用.口口=當(dāng)、口口=，在直角梯形PEDO中，口口=；口□=',4=

產(chǎn)+(|一口』,。=夜，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積￡7=4n仃=4nx(V2)2=8n.

故選:C.

p

c

【變式3-1]2.（2022春?山西大同?高一大同市第二中學(xué)校?？计谥校┣騉為三棱錐勺外接

球，△□□二皿都是邊長為2V5的正三角形，平面PBC1平面ABC,則球的表面積為（）

A.28Z7B.20Z7C.18HD.16Z7

【答案】B

【分析】取OO中點(diǎn)為T,以及△OOO的外心為&,△口口闔外心為口2，依據(jù)平面口OOJL平面

可知Z74O4為正方形，然后計(jì)算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計(jì)算.

【詳解】設(shè)。中點(diǎn)為T,△的外心為&,△□□彌外心為口2.

如圖

由4口口四匕ooa均為邊長為2V3的正三角形

則乙□□曲△?？?勺外接圓半徑為舛=2,

2smoO

又因?yàn)槠矫鍼BJ平面ABC,所以4。，平面。,可知口、a

且口2口=口、口,過口,4分別作平面￡7￡7口平面002勺垂線相交于口

點(diǎn)OSU為三棱錐。-的外接球的球心,

且四邊形0a皿是邊長為J22-(V3)2=1的正方形，

所以外接球半徑。=、口呂+口24=VTT4=V5,

則球的表面積為200,

故選：B.

【變式3-1]3.(2023春?全國?高一專題練習(xí))已知四棱錐?？诳?。的每個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上,

側(cè)面底面OOO。，底面口口口與邊長為2的正方形，口口=V5,口口=1,則四棱推?！?/p>

卜接球的體積為.

【答案】乎#，.

【分析】由已知條件可證得Si平面口。口口，則得四棱錐外接球的直徑是以AB