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專題20冪函數(shù)【知識點梳理】知識點一:冪函數(shù)概念形如的函數(shù),叫做冪函數(shù),其中為常數(shù).知識點詮釋:冪函數(shù)必須是形如的函數(shù),冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量x,系數(shù)為1,指數(shù)為常數(shù).例如:等都不是冪函數(shù).知識點二:冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象:(1);(2);(3);(4);(5).知識點詮釋:冪函數(shù)隨著的取值不同,它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同,但它們有一些共同的性質(zhì):(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1);(2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象上凸;(3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下:(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象;(2)若冪函數(shù)的定義域為或,作圖已完成;若在或上也有意義,則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù),則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象;如果為奇函數(shù),則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象.3、冪函數(shù)解析式的確定(1)借助冪函數(shù)的定義,設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值.(2)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì),分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征.(3)如函數(shù)是冪函數(shù),求的表達(dá)式,就應(yīng)由定義知必有,即.4、冪函數(shù)值大小的比較(1)比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)不便于利用單調(diào)性時,可與0和1進(jìn)行比較.常稱為“搭橋”法.(2)比較冪函數(shù)值的大小,一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性,然后由單調(diào)性判斷值的大?。?3)常用的步驟是:①構(gòu)造冪函數(shù);②比較底的大?。虎塾蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大?。绢}型歸納目錄】題型一:冪函數(shù)的概念題型二:冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用題型三:冪函數(shù)的單調(diào)性題型四:冪函數(shù)的奇偶性題型五:冪值大小的比較題型六:定點問題題型七:定義域問題題型八:值域問題題型九:解不等式問題題型十:冪函數(shù)綜合問題【典例例題】題型一:冪函數(shù)的概念例1.(2023·高一課時練習(xí))下列函數(shù)為冪函數(shù)的是(
)A. B. C. D.例2.(2023·江西吉安·高一永新中學(xué)??计谥?下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(
)A. B. C. D.例3.(2023·江西贛州·高一??计谥?在函數(shù),中,冪函數(shù)的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3變式1.(2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點,則的值為(
)A. B. C. D.變式2.(2023·高一課時練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象過點,則等于(
)A. B.0 C. D.1變式3.(2023·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學(xué)??计谀?已知冪函數(shù)在上是減函數(shù),則n的值為(
)A. B.1 C.3 D.1或變式4.(2023·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)??计谥?函數(shù)是冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則(
)A. B.C.或 D.或題型二:冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用例4.(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖,下列3個冪函數(shù)的圖象,則其圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是(
)A.①,②,③ B.①,②,③C.①,②,③ D.①,②,③例5.(2023·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末)若點在冪函數(shù)的圖象上,則的圖象大致是(
)A. B. C. D.例6.(2023·高一課時練習(xí))已知冪函數(shù)(且互質(zhì))的圖象關(guān)于y軸對稱,如圖所示,則(
)A.p,q均為奇數(shù),且B.q為偶數(shù),p為奇數(shù),且C.q為奇數(shù),p為偶數(shù),且D.q為奇數(shù),p為偶數(shù),且變式5.(2023·全國·高一專題練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則的大致圖象是(
)A. B.C. D.變式6.(2023·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則該冪函數(shù)的大致圖象是(
)A. B.C. D.題型三:冪函數(shù)的單調(diào)性例7.(2023·高一課時練習(xí))下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是(
)A. B. C. D.例8.(2023·重慶·高一校聯(lián)考期中)下列函數(shù)中是奇函數(shù),又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是(
)A. B. C. D.例9.(2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則在定義域內(nèi)(
)A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.有最大值 D.有最小值變式7.(2023·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí))下列函數(shù)中,在區(qū)間上是增函數(shù)的是(
)A. B. C. D.變式8.(2023·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)校考期末)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
)A. B. C. D.變式9.(2023·福建·高一廈門一中校考期中)已知函數(shù)的增區(qū)間為(
)A. B. C. D.變式10.(2023·高一單元測試)冪函數(shù)是奇函數(shù),且在是減函數(shù),則整數(shù)a的值是(
)A.0 B.0或2 C.2 D.0或1或2變式11.(2023·山西大同·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)的圖像過點,則對的表述正確的有(
)A.是奇函數(shù),在上是減函數(shù) B.是奇函數(shù),在上是增函數(shù)C.是偶函數(shù),在上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),在上是減函數(shù)題型四:冪函數(shù)的奇偶性例10.(2023·山西呂梁·高一統(tǒng)考期中)冪函數(shù)的圖象過點,則關(guān)于該冪函數(shù)的下列說法正確的是(
)A.經(jīng)過第一象限和第三象限 B.經(jīng)過第一象限C.是奇函數(shù) D.是偶函數(shù)例11.(2023·廣東清遠(yuǎn)·高一校聯(lián)考期中)已知冪函數(shù)的圖像過點,則()A.是奇函數(shù),在上是減函數(shù)B.是偶函數(shù),在上是減函數(shù)C.是奇函數(shù),在上是增函數(shù)D.是偶函數(shù),在上是減函數(shù)例12.(2023·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末)若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,則(
)A.或4 B. C.4 D.2變式12.(2023·廣西貴港·高一統(tǒng)考期末)若冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,解析式的冪的指數(shù)為整數(shù),在上單調(diào)遞減,則(
)A. B.或 C. D.或變式13.(2023·廣東珠海·高一珠海市第一中學(xué)??计谥?已知常數(shù)在上有最大值,若的最小值為,則(
)A.0 B.3 C.4 D.5題型五:冪值大小的比較例13.(2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學(xué)??计谥?已知冪函數(shù),對任意的且,滿足,若,,,則的值(
)A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷例14.(2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)??茧A段練習(xí))已知,則下列不等關(guān)系中一定成立的是(
)A. B. C. D.例15.(2023·山東聊城·高一山東聊城一中??计谥?已知,則(
)A. B. C. D.變式14.(2023·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中)設(shè),,,則(
)A. B. C. D.變式15.(2023·福建南平·高一統(tǒng)考期中)下列比較大小中正確的是(
)A. B.C. D.題型六:定點問題例16.(2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末)當(dāng)時,函數(shù)的圖象恒過定點A,則點A的坐標(biāo)為________.例17.(2023·上海徐匯·高一位育中學(xué)校考階段練習(xí))已知,則函數(shù)的圖象恒過的定點的坐標(biāo)為__.例18.(2023·高一課時練習(xí))冪函數(shù)的圖像恒過定點______.變式16.(2023·高一課時練習(xí))有關(guān)冪函數(shù)的下列敘述中,錯誤的序號是______.①冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱或者關(guān)于軸對稱;②兩個冪函數(shù)的圖像至多有兩個交點;③圖像不經(jīng)過點的冪函數(shù),一定不關(guān)于y軸對稱;④如果兩個冪函數(shù)有三個公共點,那么這兩個函數(shù)一定相同.變式17.(2023·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)(為不等于0的常數(shù))的圖象恒過定點P,則P點的坐標(biāo)為_______.變式18.(2023·河南濮陽·高一濮陽一高校考期中)不論實數(shù)取何值,函數(shù)恒過的定點坐標(biāo)是___________.題型七:定義域問題例19.(2023·浙江·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù),則此函數(shù)的定義域為________.例20.(2023·高一課時練習(xí))冪函數(shù)的定義域是______.例21.(2023·全國·高一專題練習(xí))已知冪函數(shù)的定義域為,則實數(shù)______.變式19.(2023·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)??茧A段練習(xí))函數(shù)的定義域是______.變式20.(2023·高一課時練習(xí))若有意義,則實數(shù)的取值范圍是________變式21.(2023·山東菏澤·高一階段練習(xí))已知,則的定義域為____________.題型八:值域問題例22.(2023·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)校考期中)函數(shù)在區(qū)間[-4,-2]上的最小值是____.例23.(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的值域為________.例24.(2023·河北石家莊·高一石家莊市第九中學(xué)??计谥?若冪函數(shù)的圖象過點,則的值域為____________.變式22.(2023·全國·高一專題練習(xí))已知,設(shè)函數(shù),其定義域為或,則函數(shù)的最小值為______.變式23.(2023·高一課時練習(xí))已知冪函數(shù),該函數(shù)的值域為_________.變式24.(2023·高一課時練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象過,那么在上的最大值為_____________.題型九:解不等式問題例25.(2023·重慶·高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.例26.(2023·甘肅張掖·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象過點,若,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.例27.(2023·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)過點,則的解集為(
)A. B. C. D.變式25.(2023·江蘇蘇州·高一星海實驗中學(xué)??计谥?不等式的解為(
)A. B. C. D.變式26.(2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)校考期中)若,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.變式27.(2023·福建三明·高一校聯(lián)考期中)若,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[,+∞) B.(-∞,] C.(,] D.[,]變式28.(2023·高一課時練習(xí))已知冪函數(shù),若,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.變式29.(2023·山東泰安·高一山東省泰安第二中學(xué)??茧A段練習(xí))已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,不等式的解集為(
)A. B. C. D.題型十:冪函數(shù)綜合問題例28.(2023·四川廣安·高一??茧A段練習(xí))已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求m的值及函數(shù)的解析式;(2)若函數(shù)在上的最大值為3,求實數(shù)a的值.例29.(2023·高一單元測試)已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.例30.(2023·遼寧遼陽·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的解析式;(2)若正數(shù)滿足,若不等式恒成立.求的最大值.變式30.(2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)是偶函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式;(2)若,求x的取值范圍.變式31.(2023·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)為偶函數(shù),.(1)若,求;(2)已知,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,求的取值范圍.變式32.(2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式;(2)若,,求a的取值范圍.【過關(guān)測試】一、單選題1.(2023·高一課時練習(xí))下列命題中正確的是(
)A.當(dāng)時函數(shù)的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過和點C.若冪函數(shù)是奇函數(shù),則是定義域上的增函數(shù)D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限2.(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)記,則(
)A. B.C. D.3.(2023·遼寧本溪·高一??茧A段練習(xí))若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則(
)A. B.3 C.或3 D.1或4.(2023·云南怒江·高一??计谀?若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過,則(
)A. B.3 C. D.5.(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中??奸_學(xué)考試)下列不等式一定成立的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.(2023·山東棗莊·高一棗莊八中??茧A段練習(xí))下列函數(shù)中,在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(
)A. B. C. D.7.(2023·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末)函數(shù)是冪函數(shù),對任意,且,滿足,若,且,,則的值(
)A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷8.(2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則該冪函數(shù)的大致圖象是(
)A. B.C. D.二、多選題9.(2023·全國·高一專題練習(xí))下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的有(
)A. B. C. D.10.(2023·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末)下圖為冪函數(shù)的大致圖象,則的解析式可能為(
)A. B.C. D.11.(2023·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末)冪函數(shù),,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.函數(shù)是偶函數(shù)C. D.函數(shù)的值域為12.(2023·全國·高一專題練習(xí))若函數(shù),則(
)A.的圖象經(jīng)過點和B.當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過點時,為奇函數(shù)C.當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過點時,為偶函數(shù)D.當(dāng)時,存在使得三、填空題13.(202
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