滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第二十三章解直角三角形》單元測(cè)試卷-附答案

第第頁(yè)滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第二十三章解直角三角形》單元測(cè)試卷-附答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________(滿(mǎn)分150分，限時(shí)120分鐘)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分)1.(2023安徽淮南模擬)如果Rt△ABC的各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，那么銳角A的正弦值、余弦值()A.都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍B.都縮小為原來(lái)的1C.沒(méi)有變化D.不能確定2.(2023安徽宿州埇橋期末)三角函數(shù)sin30°、cos16°、cos43°之間的大小關(guān)系是()A.cos43°>cos16°>sin30°B.cos16°>sin30°>cos43°C.cos16°>cos43°>sin30°D.cos43°>sin30°>cos16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos50°，則銳角α的度數(shù)是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，則cosA的值為()A.55B.2555.(2023安徽阜陽(yáng)質(zhì)檢)下列運(yùn)算中，值為14的是A.sin45°×cos45°B.tan45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan60°)6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足為D，那么下列線(xiàn)段的比值不一定等于sinβ的是()A.ADBDB.ACABC.AD7.(2023安徽池州月考)如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則tanA的值是()A.55B.C.2D.108.【新考法】一配電房的示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，已知AB=3m，∠ABC=α，則房頂A離地面EF的高度為()A.(4+3sinα)mB.(4+3tanα)mC.4+3sinαm9.(2023安徽合肥廬江期末)如圖，在△ABC中，sinB=12，AB=8，AC=5，且∠C為銳角，cosC的值是A.35B.45C.310.【新情境·雙翼閘機(jī)】下圖是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī)示意圖，它的雙翼展開(kāi)時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為12cm，雙翼的邊緣AC=BD=64cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA=∠BDQ=30°.當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為()A.76cmB.(642+12)cmC.(643+12)cmD.64cm二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分)11.如果tanα=1，那么銳角α=度.

12.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC=6，AC=8，設(shè)∠BCD=α，則tanα=.

13.如圖，已知tanO=43，點(diǎn)P在邊OA上，OP=5，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，cosA=35，BC=12，D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段CD的垂線(xiàn)，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)(1)線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為;

(2)cos∠DBE的值為.

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿(mǎn)分16分)15.計(jì)算:2cos30°-tan260°16.(2023廣西梧州模擬)構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn)，某數(shù)學(xué)興趣小組在嘗試計(jì)算tan15°時(shí)，采用以下方法:如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB使BD=AB，連接AD，得∠D=15°，設(shè)AC=1，則AB=2，BC=3，所以tan15°=ACCD=12?3(2+3)×(2?3)=2-3，類(lèi)比這種方法，計(jì)算tan22.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿(mǎn)分16分)17.(2021廣東潮州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周長(zhǎng);(2)若AD=13BD，求tan∠ABC的值18.(2023安徽合肥瑤海期末)有一架長(zhǎng)為6米的梯子AB，將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地面所成的角記為α，地面與墻面互相垂直(如圖1所示).一般滿(mǎn)足50°≤α≤75°時(shí)，人才能安全地使用這架梯子.(1)當(dāng)梯子底端B距離墻面2.5米時(shí)，人是否能安全地使用這架梯子?(2)當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離地面最高時(shí)，梯子開(kāi)始下滑，如果梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點(diǎn)處停止，梯子底端B也隨之向后平移到地面上的點(diǎn)E處(如圖2所示)，此時(shí)人是否能安全地使用這架梯子?請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26)五、(本大題共2小題，每小題10分，滿(mǎn)分20分)19.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組成員在熱氣球A上看到橫跨河流兩岸的大橋BC，并測(cè)得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為53°和45°，已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長(zhǎng)度為75米，又知此時(shí)地面氣溫為20℃，海拔每升高100米，氣溫會(huì)下降約0.6℃，試求此時(shí)熱氣球(體積忽略不計(jì))附近的溫度.參考數(shù)據(jù):sin53°≈20.【方程思想】李老師給班級(jí)布置了一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量某廣場(chǎng)紀(jì)念碑的高度，使用卷尺和測(cè)角儀測(cè)量.如圖，紀(jì)念碑設(shè)在1.2m的石臺(tái)上，他們先在點(diǎn)B處測(cè)得紀(jì)念碑最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿水平方向前進(jìn)21m，到達(dá)點(diǎn)N處，在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，BM=CN=1.7m，求紀(jì)念碑的高度.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37，cos22°≈0.93tan22°≈0.40，2≈1.41)六、(本題滿(mǎn)分12分)21.【主題教育·生命安全與健康】某校為檢測(cè)師生體溫，在校門(mén)安裝了某型號(hào)測(cè)溫門(mén)，如圖，已知測(cè)溫門(mén)AD的頂部A距地面2.2m.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解測(cè)溫門(mén)的有效測(cè)溫區(qū)間，做了如下實(shí)踐:身高為1.6m的組員在地面N處時(shí)測(cè)溫門(mén)開(kāi)始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭B處測(cè)得A的仰角為20°，在地面M處時(shí)，測(cè)溫門(mén)停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭C處測(cè)得A的仰角為60°.求有效測(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度.(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73，額頭到地面的距離以身高計(jì)，計(jì)算結(jié)果精確到0.1m)七、(本題滿(mǎn)分12分)22.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1∶3，AB=16米，AE=24米.(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH;(2)求廣告牌CD的高度.(測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):2≈1.414，3≈1.732)八、(本題滿(mǎn)分14分)23.(2022四川自貢中考)某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下:(1)[探究原理]制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線(xiàn)一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線(xiàn)ON與鉛垂線(xiàn)OG相互重合(如圖①)，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線(xiàn)(如圖②)，此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON.請(qǐng)說(shuō)明這兩個(gè)角相等的理由;(2)[實(shí)地測(cè)量]如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為測(cè)樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹(shù)頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹(shù)高PH;(3≈1.73，結(jié)果精確到0.1米)(3)[拓展探究]公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH(如圖④)，同學(xué)們經(jīng)過(guò)討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F(E、F、H在同一直線(xiàn)上)，分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角為α、β，再測(cè)得E、F間的距離為m米，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米.求PH(用α、β、m表示).參考答案與解析1.CRt△ABC的各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍后，所得的三角形與Rt△ABC是相似的，∴銳角A的大小是不變的，∴銳角A的正弦值、余弦值沒(méi)有變化.2.C∵sin30°=cos60°，16°<43°<60°，余弦值隨著角度的增大而減小，∴cos16°>cos43°>sin30°.3.C∵sin(70°-α)=cos50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故選C.4.A在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，因?yàn)閠anA=ab=2，所以a=2b，由勾股定理得c=a2+所以cosA=bc=b5b5.Bsin45°×cos45°=22×22=1tan45°-cos230°=1-322=1-34=tan30°cos60°=3312=2(tan60°)-1=(3)-1=33，故D不符合題意6.AADBD不一定等于sinβ，∵△ABC是直角三角形，∴sinβ=ACAB，∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠B，∴sinβ=ADAC，∵△BCD是直角三角形，∴sinβ=CDBC，故D不符合題意7.B如圖，取格點(diǎn)D，連接BD由題意得AD2=22+22=8，BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，∴AD2+BD2=AB2∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中AD=22，BD=2，∴tanA=BDAD=2228.A過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖∵AD⊥BC，∠ABC=α，∴sinα=ADAB=AD3，∴AD=3sinαm，∴房頂A離地面EF的高度=AD+BE=(4+3sinα9.A如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD中，sinB=12，AB=8，∴AD=AB·sinB=8×1在Rt△ADC中，AC=5，∴CD=AC2?AD2=52?410.A如圖所示，過(guò)A作AE⊥CP于E，過(guò)B作BF⊥DQ于F，在Rt△ACE中，AE=12AC=12×64=32(cm)，同理可得BF=32cm，∵點(diǎn)A與B之間的距離為12cm，11.45解析∵tanα=1，∴銳角α=45度.12.3解析∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠α+∠B=∠A+∠B=90°，∴∠α=∠A∴tanα=tanA=68=313.17解析如圖，過(guò)P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D∵tanO=PDOD=43，∴設(shè)PD=4x，則OD∵OP=5，由勾股定理得(3x)2+(4x)2=52，∴x=1(已舍負(fù))，∴PD=4∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2，∴MD=ND=12MN在Rt△PMD中，由勾股定理得PM=MD2+14.(1)152(2)解析(1)在Rt△ABC中，cosA=ACAB=∴設(shè)AC=3x，則AB=5x，∴BC=AB2?A∵BC=12，∴4x=12，∴x=3，∴AB=15，AC=9，∵D是AB的中點(diǎn)∴CD=12AB=15(2)∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴△CBD的面積=12×△ABC的面積，∴12CD·BE=12×12AC·BC，∴152BE=12×9×12，∴BE=365，在Rt△BDE中cos∠DBE15.解析原式=2×32-(3)23×1+1-32=16.解析如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得AB=BD，則∠BAD=∠D.∵∠ABC=45°=∠BAD+∠D=2∠D，∴∠D=22.5°設(shè)AC=1，則BC=1，AB=2AC=2∴CD=CB+BD=CB+AB=1+2∴tan22.5°=tanD=ACCD=11+2=2?117.解析(1)如圖，連接BD，設(shè)BC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)F，∴BD=CD∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC.∵AB=CE，∴C△ABD=AC+CE=AE=1故△ABD的周長(zhǎng)為1.(2)設(shè)AD=x，∴BD=3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=BD2?AD∴tan∠ABC=ACAB=4x218.解析(1)在Rt△AOB中，cosα=OB∴OB=AB·cosα當(dāng)α=50°時(shí)，OB=AB·cosα≈6×0.64=3.84當(dāng)α=75°時(shí)，OB=AB·cosα≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此時(shí)人能安全地使用這架梯子.(2)此時(shí)人不能安全地使用這架梯子.理由如下:當(dāng)∠ABO=75°時(shí)∵sin∠ABO=AO∴AO=AB·sin75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點(diǎn)∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).當(dāng)∠ABO=50°時(shí)∵sin∠ABO=AO∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此時(shí)人不能安全地使用這架梯子.19.解析過(guò)A作AD⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，如圖所示則∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=AD∴CD=ADtan45°=AD1在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，∴BD=ADtan53°≈AD4由題意得AD-34AD=75，∴AD=300m，∵此時(shí)地面氣溫為20℃，海拔每升高100米，氣溫會(huì)下降約0.6℃，∴此時(shí)熱氣球(體積忽略不計(jì))附近的溫度約為20-300100×0.6=18.答:此時(shí)熱氣球(體積忽略不計(jì))附近的溫度約為18.2℃.20.解析延長(zhǎng)BC交AF于E，延長(zhǎng)AF交MN的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，如圖則四邊形BMNC、四邊形BMDE是矩形∴BC=MN=21m，DE=CN=BM=1.7m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE設(shè)AE=CE=xm∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan22°=AEBE=x21+x≈0.40，∴AE=14m∴AD=AE+ED=14+1.7=15.7(m)∴紀(jì)念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m).答:紀(jì)念碑的高度約為14.5m.21.解析延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E則DE=CM=BN=1.6m，BC=MN，∠AEB=90°∵AD=2.2m∴AE