等差數(shù)列的概念高二上學期數(shù)學蘇教版（2019）選擇性必修第一冊+

4.2等差數(shù)列①9，18，27，36，45，54，63，72，81.②38，40，42，44，46，48.⑤-2，-6，-10，-14，-18，-22，…⑥2，2，2，2，2，2，…觀察左側(cè)幾個數(shù)列，有什么共同特征？每個數(shù)減去它前面的數(shù)都是同一個數(shù)④ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，…③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6.一、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.數(shù)學符號語言：an-an-1=d(n≥2,n∈N*)或an+1-an=d(n∈N*)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù)注意幾點：1.“從第2項起”，因為首項沒有前一項；2.“同一個常數(shù)”；3.求公差時，可用an+1-an=d或an-an-1=d，注意用后面的式子時，必須要求n≥2,n∈N*.重點二、等差數(shù)列的通項公式已知{an}是等差數(shù)列，所以有an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a2-a1=d,……？個n-1兩邊分別相加得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.1.定義以a1為首，d為公差的等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d.2.公式的推導另法：{an}是等差數(shù)列，則有累加法an=an-1+d=an-2+=an-3+d+d2dd+d+d3d……=a1+d+d+d+…+d(n-1)d例1（1）求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項；（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？（3）已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3-4n，則數(shù)列{an}的首項和公差分別是多少？二、等差數(shù)列的通項公式3.等差數(shù)列通項公式的變形應用已知等差數(shù)列{an}中的任意兩項an，am(n,m∈N*,m≠n)，則an=a1+(n-1)dam=a1+(m-1)dan-am=(n-m)dan=am+(n-m)d已知等差數(shù)列中的任意兩項即可求得其公差，進而求得其通項公式.例2已知等差數(shù)列{an}中，a10=18，a30=78，求數(shù)列{an}的通項公式.三、等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系an=a1+(n-1)dan=dn+(a1-d)

令p=d，q=a1-d，則an=pn+q，其中p，q為常數(shù)，由此可以得出{an}是首項為p+q，公差為p的等差數(shù)列一次函數(shù)的形式等差數(shù)列的第二種判定方法：通項公式法等差數(shù)列的圖象是直線y=dx+(a1-d)上均勻分布的一群孤立的點.例3已知(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點，求數(shù)列{an}的通項公式.三、等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系nanOnanOanO四、等差數(shù)列的性質(zhì)1.等差中項5，10，15，20，25，30，…有三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項，即a,A,b成等差數(shù)列等差數(shù)列的第三種判定方法：等差中項法注：在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項an-1,an,an+1(n≥2,n∈N*)，則an是an-1和an+1的等差中項，反之亦成立.【數(shù)列{an}是等差數(shù)列2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*)】推廣：從第二項起，每一項都是與它前后等距的兩個數(shù)的等差中項.例4（1）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1與a2的等差中項為1，a2與a3的等差中項為2，則公差d是多少？（2）若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x+y+z的值為______.題型一：等差數(shù)列的判定例5已知數(shù)列{an}的通項公式如下，分別判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列：（1）an=4-2n；（2）（3）an=n2+n.題型一：等差數(shù)列的判定例6已知成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列.題型一：等差數(shù)列的判定例7（1）已知數(shù)列{an}滿足求數(shù)列{an}的通項公式；（2）數(shù)列{an}滿足且求an.四、等差數(shù)列的性質(zhì)2.若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（m,n,p,q∈N*）推廣：若m+n+t=p+q+r，則am+an+at=ap+aq+ar（m,n,p,q∈N*）特別的，(1)若m+n=2p，則am+an=2ap（m,n,p∈N*）(2)有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和：a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=….3.下標成等差數(shù)列的項ak，ak+m，ak+2m，…組成以md為公差的等差數(shù)列.四、等差數(shù)列的性質(zhì)4.數(shù)列{tan+}(t,是常數(shù)）是公差為td的等差數(shù)列.四、等差數(shù)列的性質(zhì)5.若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，則數(shù)列(t,是常數(shù))