統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第八節(jié)曲線與方程學(xué)生用書

第八節(jié)曲線與方程·最新考綱·1．了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系．2．了解圓錐曲線的簡(jiǎn)潔應(yīng)用．3．理解數(shù)形結(jié)合的思想．·考向預(yù)料·考情分析：求曲線的軌跡方程及利用方程探討軌跡的性質(zhì)仍是高考考查熱點(diǎn)，題型多出現(xiàn)在解答題的第(1)問．學(xué)科素養(yǎng)：通過軌跡方程的求解考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個(gè)學(xué)問點(diǎn)1．曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．2．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟3．求軌跡方程的四個(gè)常用方法(1)干脆法：干脆利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0.(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先依據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)．(3)定義法：先依據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義干脆寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依靠于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的改變而改變，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程．二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件．2．曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系(1)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線．()(3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的．()(4)方程y＝x與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．()(二)教材改編2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．雙曲線B．雙曲線左邊一支C．一條射線D．雙曲線右邊一支3．和點(diǎn)O(0，0)，A(c，0)距離的平方和為常數(shù)c的點(diǎn)的軌跡方程為____________________．(三)易錯(cuò)易混4．(忽視隱含限制條件)方程(2x＋3y－1)(x-3－1)＝0表示的曲線是()A．兩條直線B．兩條射線C.兩條線段D．一條直線和一條射線5．(忽視P不在x軸上)已知A(－2，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿意∠APO＝∠BPO，其中O為原點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程是________．(四)走進(jìn)高考6．[2024·浙江卷]已知a，b∈R，ab>0，函數(shù)f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)(s，t)的軌跡是()A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一干脆法求軌跡方程[基礎(chǔ)性]1．[2024·杭州調(diào)研]已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且QP·QF＝FP·FQ，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x2．已知M(－2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)反思感悟干脆法求曲線方程的一般步驟(1)建立合理的直角坐標(biāo)系；(2)設(shè)出所求曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何條件或等量關(guān)系用坐標(biāo)表示為代數(shù)方程；(3)化簡(jiǎn)整理這個(gè)方程，檢驗(yàn)并說明所求的方程就是曲線的方程．干脆法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系“翻譯”為代數(shù)方程，要留意“翻譯”的等價(jià)性．[提示]對(duì)方程化簡(jiǎn)時(shí)，只要前后方程解集相同，證明一步可以省略，必要時(shí)可說明x，y的取值范圍．考點(diǎn)二定義法求軌跡方程[綜合性][例1]已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程．聽課筆記：一題多變1．(變條件)若例1中的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”，則圓心P的軌跡方程為________________________________________________________________________．2．(變條件)若例1中圓M，N方程分別變?yōu)椤皥AM：(x＋4)2＋y2＝2；圓N：(x－4)2＋y2＝2”，其余條件不變，求C的方程．反思感悟定義法求軌跡方程的解題策略(1)在利用圓錐曲線的定義法求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則依據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程．(2)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，假如不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知?jiǎng)訄AP恒過定點(diǎn)14，0，且與直線x＝－14相切．求動(dòng)圓P考點(diǎn)三代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程[綜合性][例2]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：x22＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿意NP＝(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且OP·PQ＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.聽課筆記：反思感悟相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟(1)明確主動(dòng)點(diǎn)(已知曲線上的動(dòng)點(diǎn))P(x0，y0)，被動(dòng)點(diǎn)(要求軌跡的動(dòng)點(diǎn))M(x，y)；(2)尋求關(guān)系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)；(3)將x0，y0代入已知曲線方程；(4)整理關(guān)于x，y的關(guān)系式得M的軌跡方程．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知點(diǎn)F(4，0)，H418，0，△ABC的兩頂點(diǎn)A(－2，0)，B-12，0，且點(diǎn)C滿意(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)設(shè)a＝(5，0)，b＝(0，3)，OC'＝(a·OC，b·OC)，求動(dòng)點(diǎn)C第八節(jié)曲線與方程積累必備學(xué)問三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：因?yàn)閨PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以N(2，0)為端點(diǎn)向右的一條射線．答案：C3．解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知(x-02+y-02)2＋(x-c2即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝04．解析：由(2x＋3y－1)(x-3－1)＝0得：2x＋3y－1＝0或x-3－1＝0.即2x＋3y－1＝0(x≥3)為一條射線，或x＝4為一條直線．答案：D5．解析：因?yàn)锳(－2，0)，B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且∠APO＝∠BPO，所以點(diǎn)O在∠APB的平分線與AB的交線上，故PAPB＝AOOB＝2，設(shè)P(x，y)(y≠0)，則x+22+y2x-12+y2＝2，整理可得點(diǎn)答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)6．解析：由題意得f(s－t)f(s＋t)＝[f(s)]2，即[a(s－t)2＋b][a(s＋t)2＋b]＝(as2＋b)2，即(as2＋at2－2ast＋b)·(as2＋at2＋2ast＋b)＝(as2＋b)2，即(as2＋at2＋b)2－(2ast)2－(as2＋b)2＝0，即(2as2＋at2＋2b)at2－4a2s2t2＝0，即－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，所以－2as2＋at2＋2b＝0(t≠0)或t＝0，所以s2ba-t22ba＝1或t＝0.當(dāng)t≠0時(shí)，平面上點(diǎn)(s，答案：C提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)．∵QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.答案：A2．解析：設(shè)P(x，y)，∵△MPN為直角三角形，∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M(jìn)，N，P不共線，∴x≠±2，∴軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D考點(diǎn)二例1解析：由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左，右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為x24+一題多變1．解析：因?yàn)閳AM與圓N相內(nèi)切，設(shè)其切點(diǎn)為A，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M、圓N都外切，所以動(dòng)圓P的圓心在MN的連線上，且經(jīng)過點(diǎn)A，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是射線AM的反向延長(zhǎng)線(不含切點(diǎn)A)，其方程為：y＝0(x<－2)．答案：y＝0(x<－2)2．解析：設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，∴|PM|＝r＋2，|PN|＝r－2.∴|PM|－|PN|＝22，又M(－4，0)，N(4，0)，∴|MN|＝8.∴22＜|MN|.由雙曲線定義知，P點(diǎn)軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴方程為x22-y2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：由題意得動(dòng)圓P的圓心到點(diǎn)14，0的距離與它到直線x＝－14的距離相等，∴圓心P的軌跡是以14，0為焦點(diǎn)，直線x＝－14為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝12，∴動(dòng)圓P圓心的軌跡M考點(diǎn)三例2解析：(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝2NM得x0＝x，y0＝2因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以x2因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2.(2)由題意知F(－1，0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝