2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)6.1數(shù)列的概念及表示習(xí)題

.1數(shù)列的概念及表示基礎(chǔ)篇固本夯基考點數(shù)列的概念及表示1.(2024湖南大聯(lián)考,6)數(shù)列{an}滿意a1=1,且an=2an-1-1,n為偶數(shù),2an-1+2,nA.4B.7C.10D.12答案B2.(2024甘肅二模,5)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若Sn=n2+2n,則a2024=()A.4043B.4042C.4041D.2024答案A3.(2024福建漳州三模,8)已知數(shù)列{an}滿意an+2=an+1-an,n∈N*,a1=1,a2=2,則a2024=()A.-2B.-1C.1D.2答案B4.(2024四川綿陽三模,9)已知數(shù)列{an}滿意:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),則a9+a10=()A.47B.48C.49D.410答案C5.(2024河南新鄉(xiāng)期末,9)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他撰寫的《算盤全書》中提出一個數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,該數(shù)列與自然界的很多現(xiàn)象有親密關(guān)系,在科學(xué)探討中有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)列{an}滿意a1=a2=1,an+2=an+an+1(n∈N*),則該數(shù)列的前1000項中,為奇數(shù)的項共有()A.333項B.334項C.666項D.667項答案D6.(2024屆貴陽一中10月月考,11)記首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且n≥2時,an(2Sn-1)=2Sn2,則S10的值為(A.110B.113C.116答案D7.(2024屆哈爾濱六中期中,15)已知數(shù)列{an}滿意a1=1,a2=-2,an+2=-1an(n∈N*),則該數(shù)列前26項的和為答案-108.(2024浙江,11,4分)我國古代數(shù)學(xué)家楊輝,朱世杰等探討過高階等差數(shù)列的求和問題,如數(shù)列n(n+1)2就是二階等差數(shù)列.數(shù)列n(n+1)2(n∈答案109.(2024新高考Ⅰ,14,5分)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為.

答案3n2-2n10.(2024河南洛陽二模,14)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n-1,an>22024成立,則n的最小值為.

答案202411.(2024上海,8,5分)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn,且滿意Sn+an=2,則S5=.

答案31綜合篇知能轉(zhuǎn)換考法一利用Sn與an的關(guān)系求通項公式1.(2024江西八所重點中學(xué)聯(lián)考,10)已知正項數(shù)列{an},Sn是{an}的前n項和,且Sn=an2+12an-14,則SnA.n24+15n4C.32n2+52nD.n答案A2.(2024陜西延安中學(xué)期末,9)數(shù)列{an}滿意a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2(n∈N*),則a1a2a3…a10=(A.1255B.1-1210C.1-答案A3.(2024屆安徽安慶懷寧中學(xué)模擬一,15)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an+Sn=b,a2a4=14,則數(shù)列{an}的通項公式為答案an=14.(2024屆山西長治其次中學(xué)月考,16)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿意an2=2an·Sn-1,則滿意an≥110的最大的正整數(shù)n答案255.(2024課標(biāo)Ⅰ,14,5分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=.

答案-636.(2024安徽滁州重點中學(xué)質(zhì)監(jiān),16)已知數(shù)列{an},a1=2,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且對隨意n≥2,都有2ananSn-S答案an=2,7.(2024全國乙,19,12分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,bn為數(shù)列{Sn}的前n項積,已知2Sn+(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項公式.解析(1)證明:由bn=S1·S2·…·Sn可得,Sn=b1,n=1,bnbn-1,n≥2.由2Sn+1bn=2知,當(dāng)n=1時,2S1+1b1=2,即2b1+1b1=2,所以b1=S1=32,當(dāng)n≥2時,2bnbn-1(2)由(1)知,bn=32+(n-1)×12=n+22,故當(dāng)n≥2時,Sn=bnbn-1=n+2n+1,S1也符合該式,故Sn=n+2n+1(n∈N*),從而a1=S1=32,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1考法二利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項1.(2024安徽五校聯(lián)考二,7)在數(shù)列{an}中,a1=12且(n+2)an+1=nan,則它的前30項和S30=(A.3031B.2930C.2829答案A2.(2024陜西漢中二模,10)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2024=()A.122021-72C.-22024-1D.22024-1答案C3.(2024四川德陽重點中學(xué)月考,6)“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,記an為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列{an}的第n項,則a100的值為()A.5049B.5050C.5051D.5101答案B4.(2024屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾海拉爾二中期中,10)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《乘除通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所探討的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列,如數(shù)列1,3,6,10,前后兩項之差得到新數(shù)列2,3,4,新數(shù)列2,3,4為等差數(shù)列,這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的探討,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列,其前7項分別為3,4,6,9,13,18,24,則該數(shù)列的第19項為()A.171B.190C.174D.193答案C5.(2024安徽宣城調(diào)研二,14)若數(shù)列{an}滿意a1=1,且對于隨意的n∈N*,都有an+1-an=n+1,則數(shù)列1an的前n項和Sn=答案26.(2024河南駐馬店期末,15)已知數(shù)列{an}的首項為2,且滿意an+1=2an3an+1答案3-57.(2024課標(biāo)Ⅱ,19,12分)已知數(shù)列{an}和{bn}滿意a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}和{bn}的通項公式.解析(1)證明:由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因為a1+b1=1,所以{an+bn}是首項為1,公比為12的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因為a1-b1=1,所以{an-bn}是首項為1,公差為2(2)由(1)知,an+bn=12n-1,an所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12nbn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n8.(2024屆湖南名校10月聯(lián)考,19)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,a1+a22+a33+…+ann=an+1-2.等比數(shù)列{bn}(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.解析(1)a1+a22+a33+…+當(dāng)n≥2時,a1+a22+a33+…+①-②得ann=an+1-an,即nan+1=(n+1)an,所以an所以a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=21×32×43·…·n設(shè){bn}的公比為q,由b1=2,b2=4得q=42=2,所以bn=b1qn-1=2·2n-1=2n(2)因為an·bn=n·2n+1,所以Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+2,兩式相減得-Tn=22+23+24+…+2n+1-n·2n+2,-Tn=22(1-2n)1-2-n·2所以Tn=(n-1)·2n+2+4.考法三數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項1.(2024南昌四校聯(lián)考,7)已知an=n-122n-123(n∈N*),則在數(shù)列{an}的前A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a11答案D2.(2024黑龍江大慶質(zhì)檢,9)已知數(shù)列{an}滿意an=(3-a)n-3,n≤7,an-6,n>7(n∈N*),A.94,3B.94,3答案D3.(2024長沙長郡中學(xué)一模,6)已知數(shù)列{an}的首項a1=21,且滿意(2n-5)an+1=(2n-3)an+4n2-16n+15,則{an}的最小的一項是()A.a5B.a6C.a7D.a8答案A4.(2024屆河南名校聯(lián)盟11月月考,10)在公差為1的等差數(shù)列{an}中,a1=t,數(shù)列{bn}滿意bn=1+anan.若對隨意的n∈N*,bn≤b9恒成立,則實數(shù)tA.[-8,-7]B.(-8,-7)C.[-9,-8]D.(-9,-8)答案B5.(2024屆云南十五校11月聯(lián)考,16)已知數(shù)列{an}的首項a1=-19,其前n項和為Sn,且滿意1an+1-1an=11n(答案56.(2024屆黑龍江八校期中,21)已知各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=an+a1(n∈N*(1)求a1的值,并求an+1的解析式(用含an的式子表示);(2)若對于一切正整數(shù)n,有λSn+an≤3恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.解析(1)∵an>0,2Sn=an+a1(n∈N*),∴當(dāng)n=1時,2S1=a1+a1,又S1=a1,∴a1=1.由2Sn=an+a1,得4Sn=an2+2an+1,∴4Sn+1=an+12+2an+1+1.∴4Sn+1-4Sn=4an+1=an+12-an2+2an+1-2an,∴(an+1-an-2)(an+1+an)=0,∵an(2)由(1)可知,數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,∴an=2n-1(n∈N*),∴Sn=n2.由λSn+an≤3,得λn2+2n-1≤3,即λ≤4-2nn2=4n2-2n對一切正整數(shù)n恒成立,∴λ≤4n2-2nmin.令t=4n2-2n,則t=4n2-2n=41n7.(2024江西鷹潭二模,17)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且an-Sn=12n-12n(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=2an-5an,求數(shù)列{bn}解析(1)∵an-Sn=12n-12n∴an-1-Sn-1=12(n-1)-12(n-1)2(n①-②并整理得an-1=n-1(n≥2),∴an=n,n∈