新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.5正態(tài)分布(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A級(jí)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]某廠生產(chǎn)的零件外徑X~N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件,測(cè)得其外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認(rèn)為()A.上午生產(chǎn)狀況正常,下午生產(chǎn)狀況異樣B.上午生產(chǎn)狀況異樣,下午生產(chǎn)狀況正常C.上午、下午生產(chǎn)狀況均正常D.上午、下午生產(chǎn)狀況均異樣2.[探究點(diǎn)一]如圖所示是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線的圖象,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是()A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ33.[探究點(diǎn)二]已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率約為()A.0.9545 B.0.0455C.0.9773 D.0.022754.[探究點(diǎn)二]已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(100,4),若P(m≤X≤104)≈0.1359,則m等于()A.100 B.101C.102 D.1035.[探究點(diǎn)二]已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.6827,則σ=,P(|X-2|≤4)≈.

6.[探究點(diǎn)二]某班有50名學(xué)生,一次考試的數(shù)學(xué)成果ξ聽從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成果在110分以上的人數(shù)為.

7.[探究點(diǎn)一、二]已知某地外來(lái)務(wù)工人員年均收入X聽從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.(1)寫出此地外來(lái)務(wù)工人員年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式;(2)估計(jì)此地外來(lái)務(wù)工人員年均收入在8000~8500元的人數(shù)所占的百分比.8.[探究點(diǎn)二]在某次大型考試中,某班同學(xué)的成果聽從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成果在80~85分的有17人,則該班成果在90分以上的同學(xué)約有多少人?B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.若隨機(jī)變量X的正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=12πe-x22,X在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1,p2,則pA.p1>p2 B.p1<p2 C.p1=p2 D.不確定10.已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(100,102),則下列選項(xiàng)不正確的是()A.E(X)=100 B.D(X)=100C.P(X≥90)≈0.84135 D.P(X≤120)≈0.9987511.在某市高三質(zhì)量檢測(cè)考試中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成果X聽從正態(tài)分布N(98,100).已知參與本次考試的全市學(xué)生有9455人,假如某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成果是108分,那么他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第()A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名12.(多選題)已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其正態(tài)曲線在(-∞,80]上單調(diào)遞增,在[80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且P(72≤X≤88)≈0.6827,則()A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)≈0.97725D.P(64<X<72)≈0.135913.(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A.設(shè)隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B6,12,則P(X=3)=516B.已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.9,則P(0≤X≤2)=0.4C.已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,則P(X>2)的值為1+D.已知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,則E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+314.已知隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)=12πe-(x-1)22,x∈R15.[2024廣東佛山二模]某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚,記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù),則E(Y)=.

16.某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若干根對(duì)其直徑(單位:mm)進(jìn)行測(cè)量,得出這批鋼管的直徑X聽從正態(tài)分布N(65,4.84).(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時(shí),測(cè)得一根鋼管的直徑為73mm,他馬上要求停止生產(chǎn),檢查設(shè)備,請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)學(xué)問,推斷該質(zhì)檢員的確定是否有道理,并說(shuō)明推斷的依據(jù);(2)假如鋼管的直徑X在60.6mm~69.4mm之間為合格品(合格品的概率精確到0.01),現(xiàn)要從60根該種鋼管中隨意選擇3根,求次品數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.(精確到0.01)C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.某市教化局為了了解高三學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)狀況,對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試(滿分為100分),經(jīng)分析,全市學(xué)生體能測(cè)試成果X聽從正態(tài)分布N(80,σ2),已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué).(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成果在區(qū)間(80,85),(85,95),(95,100)內(nèi)各有一位同學(xué)的概率;(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成果在區(qū)間(75,85)內(nèi)的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).參考答案7.5正態(tài)分布1.A因測(cè)量值X為隨機(jī)變量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,記I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],則9.9∈I,9.3?I.故選A.2.D當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),正態(tài)曲線f(x)=12πe-x22在x=0處取最大值由正態(tài)曲線的性質(zhì),得當(dāng)μ肯定時(shí),曲線的形態(tài)由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,反之越“矮胖”.故選D.3.D由題知對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=0,所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)≈0.5-12×0.9545=0.4.C∵隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.6827,P(96≤X≤104)≈0.9545,∴P(102≤X≤104)≈12(0.9545-0.6827)=0.1359又P(m≤X≤104)≈0.1359,∴m=102.5.20.84∵X~N(4,σ2),∴μ=4.∵P(2≤X≤6)≈0.6827,∴μ∴σ=2.∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=12[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=12P(-2≤X≤10)+12P(2≤X≤6)≈12×0.9973+12×0.68276.10由題意知,P(ξ>110)=1-2P(故估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成果在110分以上的人數(shù)為0.2×50=10.7.解設(shè)此地外來(lái)務(wù)工人員年均收入X~N(μ,σ2),結(jié)合題圖可知,μ=8000,σ=500.(1)此地外來(lái)務(wù)工人員年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式為f(x)=15002πe-(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000≤X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%故此地外來(lái)務(wù)工人員年均收入在8000~8500元的人數(shù)所占的百分比約為34.135%.8.解∵成果聽從正態(tài)分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,則μ-σ=75,μ+σ=85.∴成果在[75,85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的68.27%,成果在[80,85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué),則34.135%x=17,解得x≈50.∵μ-2σ=70,μ+2σ=90,∴成果在[70,90]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的95.45%,成果在90分以上的同學(xué)約占全班同學(xué)的2.275%.50×2.275%≈1,故估計(jì)該班成果在90分以上的同學(xué)有1人.9.C由題意知μ=0,σ=1,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱,所以p1=p2.10.D∵隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(100,102),∴E(X)=μ=100,D(X)=σ2=102=100,故A,B正確;依據(jù)題意可得P(90≤X≤110)≈0.6827,P(80≤X≤120)≈0.9545,∴P(X≥90)≈0.5+12×0.6827=0.P(X≤120)≈0.5+12×0.9545=0.97725,故D錯(cuò)誤故選D.11.A因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)成果X聽從正態(tài)分布N(98,100),所以P(X>108)=12[1-P(88≤X≤108)]=12[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈12×(1-0.6827)=0.15865.所以012.ACD因?yàn)檎龖B(tài)曲線在(-∞,80]上單調(diào)遞增,在[80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱,所以μ=80,故A正確;因?yàn)镻(72≤X≤88)≈0.6827,結(jié)合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8,故B錯(cuò)誤;因?yàn)镻(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-0.9545)=12×0.0455=0.02275,所以P(X>64)≈0因?yàn)镻(X<72)=12(1-P(72≤X≤88))≈12×(1-0.6827)=0所以P(64<X<72)=P(X>64)-P(X>72)≈0.97725-(1-0.15865)=0.1359,故D正確.13.AB∵隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B6,12,則P(X=3)=C63×123×1-123=516∵隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2),∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線x=2,∵P(X≤4)=0.9,∴P(2≤X≤4)=0.4,∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正確;已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,則P(X>2)=12[1-P(|X|≤2)]=1已知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,則E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D錯(cuò)誤.14.x=10.1359由概率分布密度函數(shù)知μ=1,σ=1,所以正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且在x=1處取得最大值.依據(jù)正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)可知x=1為f(x)的極大值點(diǎn).由X~N(1,1)知P(2<X≤3)=12[P(-1≤X≤3)-P(0≤X≤2)]=12[P(1-2×1≤X≤1+2×1)-P(1-1≤X≤1+1)]≈12×(0.9545-0.6827)=015.1由題意,X~N(800,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=800對(duì)稱,所以P(X<800)=0.5.因?yàn)镻(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由題意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.16.解(1)由題得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,∴P(X>71.6)=1-P(58.4≤X≤71.6)(2)因?yàn)棣?65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由題意可知鋼管直徑滿意μ-2σ≤X≤μ+2σ為合格品,所以該批鋼管為合格品的概率約為0.95,所以在60根鋼管中,合格品約57根,次品約3根,隨意選擇3根,則次品數(shù)Y的可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=C3P(Y=1)=C3P(Y=2)=C3P(Y=3)=C3則次品數(shù)Y的分布列為Y0123P146311971711所以E(Y)=0×14631711+1×11978555+2×17134220+3×134220=17.解(1)P