2025版新教材高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)42蝗制新人教A版必修第一冊

同步練習(xí)42弧度制必備學(xué)問基礎(chǔ)練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．下列說法中，錯誤的是()A．半圓所對的圓心角是πB．長度等于半徑的弦所對的圓心角是1弧度C．周角的大小等于2πD．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑2．750°化成弧度為()A．eq\f(25π,6)B．eq\f(14π,3)C．eq\f(11π,2)D．eq\f(17π,3)3．若α＝3，則它是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角4．將－1665°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－eq\f(5π,4)－8πB．eq\f(3π,4)－8πC．eq\f(5π,4)－10πD．eq\f(3π,4)－10π5．[2024·安徽宣城高一期末]已知扇形的半徑為2，圓心角為45°，則扇形的弧長是()A．45B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2)D．906．[2024·浙江紹興高一期末]一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角等于()A.eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．17．[2024·河北保定高一期末]扇形的周長為6厘米，面積為2平方厘米，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A．1B．4C．4或1D．2或18．[2024·重慶銅梁高一期末](多選)下列給出的各角中，與－eq\f(2π,3)終邊相同的角有()A．eq\f(4π,3)B．－eq\f(8π,3)C．eq\f(7π,3)D．eq\f(16π,3)9．(多選)下列命題正確的是()A．終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B．終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．在－4π～0范圍內(nèi)全部與eq\f(π,4)角終邊相同的角為－eq\f(15π,4)和－eq\f(7π,4)D．第三象限角的集合為{α|π＋2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}二、填空題(每小題5分，共15分)10．終邊在直線y＝x上的角的集合是________．11．已知角α的終邊與角β終邊關(guān)于y軸對稱，則α，β的關(guān)系是β＝________．12．[2024·河北邢臺高一期末]已知某扇形的周長為27，其圓心角為1，則該扇形的面積為________．三、解答題(共20分)13．(10分)已知α＝1690°.(1)把α表示成2kπ＋β的形式，其中k∈Z，β∈[0，2π)；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且θ∈[－4π，－2π).14．(10分)[2024·河南南陽高一期中]時間經(jīng)過2小時20分鐘，時針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？各等于多少弧度？關(guān)鍵實(shí)力提升練15．(5分)[2024·湖南永州高一期末]玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采納傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝．某扇環(huán)形玉雕(扇環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分)尺寸(單位：cm)如圖所示，則該玉雕的面積為()A．2700cm2B．3500cm2C．4300cm2D．4800cm2[答題區(qū)]題號12345678915答案16.(5分)[2024·重慶巴蜀中學(xué)高一期末]已知某機(jī)械裝置有兩個相互嚙合的齒輪，大輪有48齒，小輪有18齒．假如小輪的轉(zhuǎn)速為120轉(zhuǎn)/分鐘，大輪的半徑為10cm，則大輪圓周上的一點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的弧長為________cm.17．(10分)已知扇形的圓心角為α，半徑為r.(1)若扇形的周長是定值C(C>0)，求扇形的最大面積及此時α的值；(2)若扇形的面積是定值S(S>0)，求扇形的最小周長及此時α的值．同步練習(xí)42弧度制必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：B解析：對于A，因?yàn)榘雸A的弧長為l＝eq\f(1,2)×2πr＝πr，所以其所對的圓心角為α＝eq\f(l,r)＝π，故A正確；對于B，長度等于半徑的弦與弦的兩端點(diǎn)到圓心的半徑構(gòu)成了等邊三角形，易知其所對的圓心角為eq\f(π,3)，故B錯誤；對于C，明顯，周角的大小等于2π，故C正確；對于D，因?yàn)閳A心角α＝1，所以其所對的弧長為l＝|α|r＝r，即1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑，故D正確．故選B.2．答案：A解析：依據(jù)角度制轉(zhuǎn)化弧度制公式得750°×eq\f(π,180°)＝eq\f(25π,6).故選A.3．答案：B解析：1rad≈57°，故α＝3rad≈171°，故α在其次象限．故選B.4．答案：D解析：－1665°＝－1800°＋135°＝－10π＋eq\f(3π,4).故選D.5．答案：C解析：因?yàn)閳A心角的弧度數(shù)為eq\f(π,4)，所以扇形的弧長是eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2).故選C.6．答案：B解析：依據(jù)題意：作圖如圖所示，AB＝OA＝OB＝r，則△OAB為等邊三角形，故∠BOA＝eq\f(π,3).故選B.7．答案：C解析：設(shè)圓心角為α，半徑為r，依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6,\f(1,2)αr2＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2,α＝1)).故選C.8．答案：ABD解析：由題意可知，與－eq\f(2π,3)終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝－\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))，由此可得，k＝1時，α＝eq\f(4π,3)，即A正確；k＝－1時，α＝－eq\f(8π,3)，即B正確；α＝eq\f(7π,3)時，k＝eq\f(3,2)?Z，所以C錯誤；k＝3時，α＝eq\f(16π,3)，即D正確．故選ABD.9．答案：AC解析：終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}，故A正確；由于角度制和弧度制不能混用，故B錯誤；全部與eq\f(π,4)角終邊相同的角可以表示為{α|α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z}，則在－4π～0范圍內(nèi)，取k＝－2，－1，得α＝－eq\f(15π,4)，α＝－eq\f(7π,4)，故C正確；第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))，故D錯誤．故選AC.10．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z)).解析：直線y＝x為平分一、三象限的直線，取第一象限的銳角eq\f(π,4)，則與eq\f(π,4)終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}．11．答案：β＝π－α＋2kπ，k∈Z解析：因?yàn)榻铅恋慕K邊與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，在一個周期[0，2π)中，α＋β＝π或α＋β＝3π，即β＝π－α或β＝3π－α，所以由周期性知β＝π－α＋2kπ，k∈Z.12．答案：eq\f(81,2)解析：設(shè)該扇形的半徑為r，圓心角為1，則扇形的弧長l＝r.由已知可得l＋2r＝3r＝27，解得r＝9，則其面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×9×9＝eq\f(81,2).13．解析：(1)α＝1690°＝4×360°＋250°＝8π＋eq\f(25π,18).(2)∵α＝8π＋eq\f(25π,18)，設(shè)θ＝eq\f(25π,18)＋2nπ(n∈Z)，由θ∈[－4π，－2π)可得－4π≤eq\f(25π,18)＋2nπ<－2π，解得－eq\f(97,36)≤n<－eq\f(61,36)，∵n∈Z，則n＝－2，故θ＝eq\f(25π,18)－4π＝－eq\f(47π,18).14．解析：每經(jīng)過1分鐘，時針轉(zhuǎn)了－eq\f(360°,12×60)＝－0.5°，分針轉(zhuǎn)了－eq\f(360°,60)＝－6°，時間經(jīng)過2小時20分鐘，則時針轉(zhuǎn)了－0.5°×140＝－70°，等于－70°×eq\f(π,180°)＝－eq\f(7π,18)，則分針轉(zhuǎn)了－6°×140＝－840°，等于－840°×eq\f(π,180°)＝－eq\f(14π,3).關(guān)鍵實(shí)力提升練15．解析：如圖，設(shè)∠AOB＝α，OB＝r，由弧長公式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60＝αr,120＝α（r＋30）))，解得α＝2，r＝30，設(shè)扇形COD，扇形AOB的面積分別為S1，S2，則該玉雕的扇面面積約為S1－S2＝eq\f(1,2)×120×(30＋30)－eq\f(1,2)×60×30＝2700(cm2).故選A.16．答案：15π解析：由題意知，小輪每秒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為120÷60＝2，則每秒大輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為eq\f(2×18,48)＝eq\f(3,4)，所以大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長為eq\f(3,4)×2π×10＝15π.17．解析：(1)由題意知，扇形的圓心角為α，半徑為r，設(shè)扇形的弧長為l，若扇形的周長是定值C(C>0)，則2r＋l＝C，即l＝C－2r，又由扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(C－2r)r＝－r2＋eq\f(1,2)Cr＝－(r－eq\f(C,4))2＋eq\f(C2,16)，當(dāng)r＝eq\f(C,4)時，扇形的面積取得最大值，此時最大值為eq\f(C2,16)，此時l＝C－2r＝eq\f(C,2)，又由扇形的弧長公式，可得eq\f(C,2)＝α×eq\f(C,4)，解得α＝2.(2)由扇形的圓心角為α，半徑為r，設(shè)扇形的弧長為l，若扇形的面積