2024-2025學年新教材高考數(shù)學第一課時導數(shù)的概念練習含解析選修2

PAGEPAGE10第一課時導數(shù)的概念課標要求素養(yǎng)要求1.了解導數(shù)概念的實際背景.2.知道導數(shù)是關于瞬時變更率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想.依據(jù)詳細的實例得到導數(shù)的概念，求函數(shù)的導數(shù)，培育學生的數(shù)學抽象與數(shù)學運算素養(yǎng).新知探究在實際生產(chǎn)生活中，我們須要探討一些物體的瞬時變更率，例如(1)摩托車的運動方程為s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示時間，知道它在某一時刻的瞬時速度就可以更好地指導運動員進行競賽；(2)冶煉鋼鐵時須要測定鐵水的瞬時溫度來確定其質(zhì)量標準；(3)凈化飲用水時須要依據(jù)凈化費用的瞬時變更率來限制凈化成本.問題上述實例中都涉及到某個量的瞬時變更率，在數(shù)學意義上，這些事實上是某個量的函數(shù)的瞬時變更率，它在數(shù)學上稱為什么？提示函數(shù)的導數(shù).1.平均變更率比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變更率.2.導數(shù)導數(shù)是函數(shù)的平均變更率，當自變量的增量趨于0時的極限假如當Δx→0時，平均變更率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的導數(shù)(也稱為瞬時變更率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).拓展深化[微推斷]1.函數(shù)在x＝x0處的導數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變更的快慢程度.(×)提示導數(shù)反映的是函數(shù)在某一點處的變更的快慢程度，非在某區(qū)間上的.2.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)值與Δx的正、負無關.(√)3.設x＝x0＋Δx，則Δx＝x－x0，則Δx趨近于0時，x趨近于x0，因此，f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0).(√)[微訓練]1.設函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變?yōu)?.1時，函數(shù)的平均變更率為()A.2.1 B.1.1C.2 D.0解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1.1）－f（1）,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.答案A2.設f(x)＝2x＋1，則f′(1)＝________.解析f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f([2（1＋Δx）＋1]－（2×1＋1）,Δx)＝2.答案2[微思索]1.導數(shù)或瞬時變更率可以反映函數(shù)變更的什么特征？提示導數(shù)或瞬時變更率可以反映函數(shù)在某一點處變更的快慢程度.2.函數(shù)的平均變更率與瞬時變更率有什么區(qū)分和聯(lián)系？提示(1)平均變更率與瞬時變更率的區(qū)分：平均變更率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變更的快慢，瞬時變更率刻畫函數(shù)值在x＝x0處變更的快慢.(2)平均變更率與瞬時變更率的聯(lián)系：當Δx趨于0時，平均變更率eq\f(Δy,Δx)趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)在x＝x0處的瞬時變更率，它是一個固定值.題型一求函數(shù)的平均變更率【例1】已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)計算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變更率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；④0.01.(2)依據(jù)(1)中的計算，當Δx越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變更率有怎樣的變更趨勢？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.①當Δx＝2時，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②當Δx＝1時，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③當Δx＝0.1時，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④當Δx＝0.01時，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)當Δx越來越小時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變更率漸漸變大，并接近于－3.3.規(guī)律方法求平均變更率的主要步驟：(1)先計算函數(shù)值的變更量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再計算自變量的變更量Δx＝x2－x1.(3)得平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).【訓練1】求函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率，并求當x0＝2，Δx＝0.1時平均變更率的值.解函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq\o\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.當x0＝2，Δx＝0.1時，函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間[2，2.1]上的平均變更率為6×2＋3×0.1＝12.3.題型二導數(shù)定義的干脆應用【例2】利用導數(shù)的定義，求f(x)＝eq\r(x2＋1)在x＝1處的導數(shù).解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(（1＋Δx）2＋1)－eq\r(2)＝eq\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－eq\r(2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)，∴f′(1)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)＝eq\f(（Δx）2＋2Δx,Δx[\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2)])＝eq\f(Δx＋2,\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2).規(guī)律方法求一個函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的變更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)；(3)取極限，得導數(shù)f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx).【訓練2】求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù).解因為Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2，所以f′(1)＝2，即函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù)為2.題型三導數(shù)概念的應用【例3】已知f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：(1)eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；(2)eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).解(1)∵eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,x0－（x0－Δx）)＝f′(x0)，即eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＝k.∴eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)＝eq\f(k,2).(2)∵eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,（x0＋Δx）－（x0－Δx）)，即eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0－Δx，x0＋Δx]上平均變更率.∴當Δx→0時，eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)必趨于f′(x0)＝k，∴eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝k，∴eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2k.規(guī)律方法由導數(shù)的定義可知，若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導，則f′(x)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，它僅與x0有關，與Δx無關，因此運用導數(shù)的定義時要明確公式的形式，當分子為f(1－Δx)－f(1)時，分母也應當是(1－Δx)－1，要留意公式的變形.【訓練3】(1)若函數(shù)f(x)可導，則eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)等于()A.－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C.－eq\f(1,2)f′(1) D.f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))(2)已知函數(shù)f(x)可導，且滿意eq\f(f（3）－f（3＋Δx）,Δx)＝2，則函數(shù)y＝f(x)在x＝3處的導數(shù)為()A.－1 B.－2C.1 D.2解析(1)eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\f(f[1＋（－Δx）]－f（1）,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1).(2)由題意，知f′(3)＝eq\f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝－2，故選B.答案(1)C(2)B一、素養(yǎng)落地1.在學習導數(shù)定義的過程中，培育了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，在應用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導數(shù)，提升數(shù)學運算素養(yǎng).2.在導數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必需選擇相應的形式，利用函數(shù)f(x)在點x0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.二、素養(yǎng)訓練1.函數(shù)y＝1在[2，2＋Δx]上的平均變更率是()A.0 B.1C.2 D.Δx解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.答案A2.已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及鄰近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A.4 B.4xC.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）2－2,Δx)＝4＋2Δx.答案C3.設函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于________.解析∵f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（Δx＋1）＋3－（a＋3）,Δx)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.答案34.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(1)＝________.解析f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.若eq\f(f（x0）－f（x0＋3Δx）,2Δx)＝1，求f′(x0).解因為eq\f(f（x0）－f（x0＋3Δx）,2Δx)＝－eq\f(3,2)×eq\f(f（x0＋3Δx）－f（x0）,3Δx)＝－eq\f(3,2)f′(x0)＝1.所以f′(x0)＝－eq\f(2,3).基礎達標一、選擇題1.如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點間的平均變更率是()A.1 B.－1C.2 D.－2解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.答案B2.設函數(shù)f(x)在點x0處旁邊有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A.f′(x)＝a B.f′(x)＝bC.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b解析∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝a＋bΔx.∴f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝a.答案C3.已知函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值為()A.－4 B.2C.－2 D.±2解析∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（m＋Δx）－f（m）,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)，∴f′(m)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)＝－eq\f(2,m2)，∴－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.答案±24.若可導函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿意eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，則f′(0)等于()A.－2 B.2C.－1 D.1解析∵f(x)圖象過原點，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，故選C.答案C5.設f(x)為可導函數(shù)，且滿意eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝－1，則f′(1)為()A.1 B.－1C.2 D.－2解析令x→0，則Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，所以eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝eq\f(f（1）－f（1－Δx）,Δx)＝f′(1)＝－1.答案B二、填空題6.已知函數(shù)y＝x3－2，當x＝2時，eq\f(Δy,Δx)＝________.解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）3－2－（23－2）,Δx)＝eq\f(（Δx）3＋6（Δx）2＋12Δx,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.答案(Δx)2＋6Δx＋127.已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時變更率為－8，則f(x0)＝________.解析由題知－8＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x0＋Δx）2＋1－（2xeq\o\al(2,0)＋1）,Δx)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.答案98.若f′(x0)＝2，則eq\f(f（x0）－f（x0＋Δx）,2Δx)＝________.解析eq\f(f（x0）－f（x0＋Δx）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－1.答案－1三、解答題9.一條水管中流過的水量y(單位：m3)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導數(shù)f′(2)，并說明它的實際意義.解因為eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f（2＋Δt）－f（2）,Δt)＝eq\f(3（2＋Δt）－3×2,Δt)＝3，所以f′(2)＝eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)的實際意義：水流在t＝2時的瞬時流速為3m3/s.10.求函數(shù)y＝2x2＋4x在x＝3處的導數(shù).解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（Δx）2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\f(Δy,Δx)＝(2Δx＋16)＝16.實力提升11.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導數(shù)為f′(x)，已知f′(0)>0，且對于隨意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f（1）,f′（0）)的最小值為________.解析由導數(shù)的定義，得f′(0)＝eq\f(f（Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(a（Δx）2＋b（Δx）＋c－c,Δx)＝[a·(Δx)＋b]＝b>0.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f（1）,f′（0）)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f