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文檔簡介

軸對(duì)稱與將軍飲馬問題專題練習(xí)

一、兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)

1、如圖,直線/外不重合的兩點(diǎn)A、B,在直線/上求作一點(diǎn)C,使得4C+BC的長度最

短,作法為:①作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8,.②連接A夕與直線/相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C

為所求作的點(diǎn).在解決這個(gè)問題時(shí)沒有運(yùn)用到的知識(shí)或方法是().

A.轉(zhuǎn)化思想

B.三角形的兩邊之和大于第三邊

C.兩點(diǎn)之間,線段最短

D.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角

2、如圖,MN是正方形ABC。的一條對(duì)稱軸,點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PC+PD

).

C.60°D.無法確定

3、如圖,AABC是等邊三角形,是BC邊上的高,£是AC的中點(diǎn),P是上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC與PE的和最小時(shí),NCPE的度數(shù)是().

A.30°B.45°C.60°D.90°

4、如圖,PQ為△A2C邊上的兩個(gè)定點(diǎn),在2C邊上求作一點(diǎn)M,使PM+QM最短.(保

留作圖痕跡,不寫作法,無需證明)

5、如圖,解答下列問題:

①畫出△ABC關(guān)于),軸對(duì)稱的圖形△ABICI.

②在x軸上找出點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短.(保留作圖痕跡)

6、在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(2,6),B(4,0),在y軸上求一點(diǎn)尸,使AA8P

的周長最小.

(1)在坐標(biāo)系中畫出4、B兩點(diǎn)的位置.

(2)畫出點(diǎn)P的位置.

(3)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

7、在如圖的正方形網(wǎng)格中,每一個(gè)小正方形的邊長為1.格點(diǎn)三角形4BC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線

交點(diǎn)的三角形)的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(-4,6),(-2,2),(-1,4).

(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的其中A,B,C的對(duì)稱點(diǎn)分別為4,

Ci.

(2)請(qǐng)?jiān)趛軸上求作一點(diǎn)P,使APBC的周長最小.

8、如圖,邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分

(1)畫出AAOB關(guān)于直線軸對(duì)稱后圖形△A'O'B'.

(2)點(diǎn)P在x軸上使△APB周長最小時(shí),在圖中畫出點(diǎn)P.(請(qǐng)保留作圖痕跡)

(3)求出AAOB的面積.

二、一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)

9、如圖,ZAOB=a,點(diǎn)P是NAOB內(nèi)的一定點(diǎn),點(diǎn)M、N分別在。4、。8上移動(dòng),當(dāng)

△的周長最小時(shí),NMPN的值為().

4.90°+〃.B.90°+-G.

2

C.180°-iz.D.1800-2a.

10、如圖,點(diǎn)尸是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn),OP=6c〃?,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線0A和射線08

上的動(dòng)點(diǎn),△PMN周長的最小值是6CT?,則NAOB的度數(shù)是().

11、如圖,在四邊形ABC。中,ZA=ZC=90°,ZABC=a,在A8,8c上分別找一點(diǎn)E、

F,使ADEF的周長最小,此時(shí),NEDF=().

B.90°--a

2

D.1800-2a

2

12、如圖,點(diǎn)尸關(guān)于04、0B的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D,連接CZ),交0A于M,交0B于

N,若C£>=18c〃?,則△PMN的周長為cm.

13、如圖,點(diǎn)P在NA08的內(nèi)部,點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線04。8的對(duì)稱點(diǎn),線

段MN交。4、。8于點(diǎn)E、F,若APEF的周長是20cm,則線段MN的長是cm.

14、已知:如圖,點(diǎn)P為NAO8內(nèi)一點(diǎn),分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA,。8的對(duì)稱點(diǎn)Pi,Pi,

連接PP2,交OA于點(diǎn)",交于點(diǎn)N,PIP2=15,則的周長為;若

Z(9=40°,則NMPN='

P2

15、如圖,等腰△ABC底邊8c的長為4a”,面積是12cm2,腰A8的垂直平分線E尸交AC

于點(diǎn)F,垂足為E,若M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),D為EF上一動(dòng)點(diǎn),則BC+MD的最小值為

______cm.

16、如圖,已知點(diǎn)P在銳角/AOB內(nèi)部,ZAOB=a,在08邊上存在一點(diǎn)。,在0A邊上

存在一點(diǎn)C,能使PD+OC最小,此時(shí)NFDC=.

?p

D

17、如圖,在四邊形ABC。中,NB=/D=90°,ZC=65°,M、N分別是邊BC,CD上的動(dòng)

點(diǎn),當(dāng)△4MN的周長最小時(shí),NMAN=

18、如圖,。是NABC內(nèi)一點(diǎn),80=4,ZABC=30°,設(shè)M是射線BA上一點(diǎn),N是射線

BC上一點(diǎn),則^MND的周長的最小值是

19、如圖,已知鈍角三角形ABC的面積為20,最長邊48=10,8。平分NABC,點(diǎn)、M、N

分別是BQ、BC上的動(dòng)點(diǎn),則CM+MN的最小值為

20、如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=6,ZACB=75°,AO_LBC于。,點(diǎn)M、N分別是線

段AB、線段AO上的動(dòng)點(diǎn),則MN+BN的最小值是

21、如圖,在銳角AABC中,AC=6,4ABC的面積為15,/8AC的平分線交BC于點(diǎn)

D,M,N分別是A。和4B上的動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值是.

22、如圖,ZAOB=30°,0c=2,在。4上找一點(diǎn)M,在上找一點(diǎn)N,使得CM+MN最

小,求出此最小值.

A

23、如圖,已知點(diǎn)A是銳角/M0N內(nèi)的一點(diǎn).

(1)按要求畫圖:(不寫作法,尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡)

①分別作點(diǎn)A關(guān)于0M,0N的對(duì)稱點(diǎn)4,A”.

②試分別在0M、ON上確定點(diǎn)B,點(diǎn)C,使AABC的周長最小.

(2)若NM0245。時(shí),試判斷△ABC的形狀,并說明理由.

24、如圖,ZAOB=30°,點(diǎn)尸是乙408內(nèi)一點(diǎn),P0=8,在N40B的兩邊有點(diǎn)R、Q(均不

同于。),求APQR周長的最小值.

25、某班舉行晚會(huì),桌子擺成兩條直條(如圖中的A。,8。),A。桌面上擺滿了桔子,

8。桌面上擺滿了糖果,坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,請(qǐng)你幫

助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短.

26、如圖,在mZiABC中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=\O,A。是N8AC的平分

線.若匕。分別是4。和4c上的動(dòng)點(diǎn),求PC+P。的最小值.

軸對(duì)稱與將軍飲馬問題(基礎(chǔ)篇)專題練習(xí)

一、兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)

1、答案:D

分析:

解答:???點(diǎn)B和關(guān)于直線/對(duì)稱,且點(diǎn)C在/上,

CB=CB',

又所交/于C,且兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn),

??.C夕+CA最短,即C4+C8的值最小,將軸對(duì)稱最短路徑問題利用線段的性質(zhì)定理兩點(diǎn)之

間,線段最短,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,驗(yàn)證時(shí)利用三角形的兩邊之和大于第三邊.

2、答案:B

分析:

解答:MN是正方形ABCD的一條對(duì)稱軸,

:.PD=AP,

當(dāng)尸C+PD最小時(shí),即點(diǎn)P位于AC與的交線上,

此時(shí)/PCD=45。.

3、答案:C

分析:

解答:當(dāng)PC+PE最小時(shí),P在BE與的交點(diǎn)位置,

;△ABC是等邊三角形,

,ZACB=60°,

:。、E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),

???P為等邊△ABC的重心,

:.BELAC,

,11

NPCE=-ZACB=-x60°=30°,

22

ZCPE=90°-ZPC£=90°-30o=60°,

選C.

4、答案:作圖見解答.

分析:

解答:如圖所示:

5、答案:作圖見解答.

分析:

解答:所作圖形如圖所示:

(2)畫圖見解答.

(3)P(0,4).

分析:

(3)過點(diǎn)4作4川_1_》軸于M,

VA(2,6),

;.M(2,0),AM=6,

又,:B(4,0),

.??點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)夕(-4,0),

:.B'M=6=AM,

...為等腰直角三角形,

:.ZP'BO=45°,

:.△P'BO也為等腰直角三角形,

.*.B'O=PO=4,

:.P(0,4).

7、答案:(1)畫圖見解答.

(2)畫圖見解答.

分析:

解答:(1)關(guān)于y軸對(duì)稱,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)相反.

(2)作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Cl,連接GB,交y軸于點(diǎn)P.連接尸8,PC,此時(shí)△P8C周

長最小.

8、答案:(1)如圖所示:

(2)如圖所示:

(3)3.5.

分析:

(2)如圖所示:

y

222

二、一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)

9、答案:D

分析:

解答:分別作點(diǎn)P關(guān)于。A、。8的對(duì)稱點(diǎn)P、Pi,連接尸卜P2,交。4于

交08于N,則0Pi=0P=0P2,N0P\M=/MP0,

ZNP0=ZNPi0,

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP=PiM,PN=PW,

二△PMN的周長的最小值=21凡,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得/POP2=2ZA0B=2a,

.?.等腰40PiP2中,N0P1B+/OP2Pl=180。-2%

NMPN=Z0PM+Z0PN=Z0P\M+ZOP2M

=/0P|P2+/0P2Pl

=180°-2a,

分析:

解答:分別作點(diǎn)P關(guān)于。8,0A對(duì)稱點(diǎn)C、D,

連CD,分別交04、0B于點(diǎn)M、N,連OC、O。、PM、PN、MN,

:.PM=DM,OP=OD,ZCOB=ZPOB,NDOA=NPOA,

/.OC=OP=OD,ZAOB=;ZCOD,

,/MMN周長的最小值是bcm,

:.PM+PN+MN=6,

:.DM+CN+MN=6,BPCD=6=0P,

,OC=OD=CD,即4OCD為等邊三角形,

ZCOD=60°,

,ZAOB=30°.

分析:

解答:如圖,作點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)G,作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)H,

連接GH交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則此時(shí)△DEF的周長最小,

VZDAB+ZABC+ZDCB+ZADC^360°,ZDAB=ZDCB=90°,NABC=a

:.ZADC=3600-ZDAB-ZDCB-NABC=180°-a,

ZG+Z//=180°-ZADC=a,

:./EDF=ZADC-(ZADE+ZCDF)=180°-2a.

選D.

12、答案:18

分析:

解答:根據(jù)題意點(diǎn)P關(guān)于04、。8的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D,

故有例P=MC,NP=ND;

則CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm.

13、答案:20

分析:

解答:根據(jù)題意,EP=EM,PF=FN,

MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=4PEF的周長,

:.MN=20.

14、答案:15;100

分析:

解答:連接。P,OP\,OP1,PP1,PP2.

由對(duì)稱可知,MPi=MP,NP=NPz,

APMN的周長為MN+MP+NP=MN+MPI+NP2=PIP2=15.

由對(duì)稱可知,ZOPM=ZOPtM,ZOPN=ZOPiN,

:.NMPN=ZOPM+ZOPN=ZOP\M+ZOPW=180°-2ZAOB=100°.

15、答案:6

分析:

解答:連A£>,過A作ANJ_BC于N,

是A8的垂直平分線,

:.AD=BD,

:.DB+DM=AD+DM,

在AAOM中,AD+DM>AM,

:.(AD+DM)min=AM,

又M為BC上動(dòng)點(diǎn),

.?.當(dāng)時(shí)最小,即為AN,

V5a4BC=12ew2,BC=4cm,

AN=2x12-T4=6C/M.

16、答案:2a

分析:

解答:過P的作關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)尸,作產(chǎn)CLOA于C,交0B于D,

此時(shí)PD=PD',根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短可知PD+DC=P'C最短.

■:NPDB=P,DB,NCDO=NFDB>

:.ZCDO=ZPDB,

":P'C1.0A,ZAOB=a,

:.ZCDO=90°-a,

:.ZPDC=180°-2(900-a)=2a.

17、答案:50°

分析:

解答:作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為E,作A關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)F,

連接EF交BC,CD于點(diǎn)M,N.

此時(shí)AMN的周長就是最小的時(shí)候.

設(shè)NNAD=/F=a,NE=NBAM=0,

VZB=ZD=90°,ZC=65°,

,ZBAD=a+/i+ZMAN=\15°.

':2a+2/3+ZMAN=180°,

."+£=65°.

:.NMAN=/BAD-(a+在)=50°.

18、答案:4

分析:

解答:作。關(guān)于BA,BC的對(duì)稱點(diǎn)E,F.連接BE,BF.則當(dāng)M,N是CD與BA,8c的

交點(diǎn)時(shí),AMNC的周長最短,最短的值是E尸的長.

連接BE、BF,

,:D、E關(guān)于BA對(duì)稱,BE=BD,

:.NABE=NABD,

同理,NFBC=NDBC,BF=BD,

.../E8尸=2/ABC=60°,BE=BF,

.?.△BEF是等邊三角形.

:.EF=BE=BD=4.

故答案是:4.

B………1、C

19、答案:4

分析:

解答:過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,交8。于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN工BC于N,

平分/ABC,ME_LA8于點(diǎn)E,MNLBC于N,

:.MN=ME,

,CE=CM+ME=CM+MN的最小值.

???三角形ABC的面積為20,A2=10,

1

二一xl0xCE=20,

,CE=4.

即CM+MN的最小值為4.

故答案為4.

A

分析:

解答:如圖:CM即為最短距離.

ZBAC=30°,CMLAB,

c

21、答案:5

分析:

解答:如圖,作N關(guān)于A。的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MV,

作BATL4c于AT,交于Ml

BM+MN=BM+MNWBV',

.?.當(dāng)M與M,N與N”重合時(shí),BN”最小,

":S^ABC=--ACBN,,=15,AC=6,

2

解得BM,=5,

.?.BM+MN的最小值為5.

22、答案:6

分析:

解答:如圖所示,易得CM+M論百

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